Mediale Achse: Erkundung des Kerns von Computer Vision: Enthüllung der medialen Achse

Von Fouad Sabry

Was ist die mediale Achse?

Die mediale Achse eines Objekts ist die Menge aller Punkte, die mehr als einen nächstgelegenen Punkt auf der Objektgrenze haben. Ursprünglich als topologisches Skelett bezeichnet, wurde es 1967 von Harry Blum als Werkzeug zur biologischen Formerkennung eingeführt. In der Mathematik wird der Abschluss der medialen Achse als Schnittort bezeichnet.

Wie Sie davon profitieren

(I) Erkenntnisse und Validierungen zu Folgendem Themen:

Kapitel 1: Mediale Achse

Kapitel 2: Kurve

Kapitel 3: Voronoi-Diagramm

Kapitel 4: Incenter

Kapitel 5: Verknüpfungszahl

Kapitel 6: Grundlegende Domäne

Kapitel 7: Wess?Zumino?Witten-Modell

Kapitel 8: Topologisches Skelett

Kapitel 9: Ridge Detection

Kapitel 10: Gerades Skelett

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zur medialen Achse.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der medialen Achse in vielen Bereichen.

Für wen sich dieses Buch eignet

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten , Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen oder die Informationen für jede Art von medialer Achse hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 12. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Mediale Achse

Die Mittellinie ist die Sammlung von Positionen innerhalb eines Elements, die der Grenze in mehr als einer Richtung am nächsten liegen. Das topologische Skelett wurde erstmals 1967 von Harry Blum als Mittel zur biologischen Formerkennung entwickelt. Der Schnittort ist ein mathematisches Objekt, das den Abschluss der medialen Achse darstellt.

In 2D ist der Ort der Kreismittelpunkte, die an zwei oder mehr Punkten tangential zur Kurve C verlaufen, die mediale Achse einer Teilmenge S, die durch die Kurve C im planaren Raum begrenzt ist, vorausgesetzt, dass alle diese Kreise in S enthalten sind. (Daher muss S die mediale Achse enthalten.) Die mediale Achse eines einfachen Polygons ist ein Baum, dessen Äste die Eckpunkte sind und dessen Blätter gerade Linien oder Parabeln sein können.

Eine Definition der medialen Achsentransformation beinhaltet die Radiusfunktion der maximal beschrifteten Scheiben (MAT). Die Rekonstruktion der ursprünglichen Form des Gebiets ist dank der medialen Achsentransformation möglich, die ein umfassender Formdeskriptor ist (siehe auch Formanalyse).

Die Symmetriemenge, von der die mediale Achse ein Teil ist, ist auf ähnliche Weise definiert, enthält aber auch Kreise, die nicht Teil von S sind. (Daher geht die Symmetriemenge von S, genau wie das Voronoi-Diagramm einer Menge von Punkten, typischerweise ewig weiter.)

Wenn 2D-Kreise in k-dimensionale Hypersphären umgewandelt werden, wird die mediale Achse auf k-dimensionale Hyperflächen anwendbar. Die Zeichen- und Objektidentifikation profitiert von der medialen 2D-Achse, während die mediale 3D-Achse die Oberflächenrekonstruktion des physikalischen Modells und die Reduzierung der Dimensionalität komplexer Modelle umfasst. Die gelieferte Menge ist homotopisch gleich der medialen Achse einer beliebigen begrenzten offenen Menge in einer beliebigen Dimension.

Wenn S durch eine Einheitsgeschwindigkeitsparametrisierung gegeben ist \gamma :{\mathbf {R}}\to {\mathbf {R}}^{2} und \underline {T}(t)={d\gamma \over dt} der Einheitstangensvektor an jedem Punkt ist.

Ein Bitangentenkreis hat die Koordinaten (Mittelpunkt, c) und (Radius, r), wenn

(c-\gamma (s))\cdot \underline {T}(s)=(c-\gamma (t))\cdot \underline {T}(t)=0,|c-\gamma (s)|=|c-\gamma (t)|=r.\,

In den meisten Fällen kann ein Höcker in einen Symmetriesatz aufgenommen werden, der eine eindimensionale Kurve bildet. Jeder Scheitelpunkt von S entspricht einem Endpunkt der Symmetriemenge.

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Kurve

Eine Kurve (auch gekrümmte Linie genannt) ist ein mathematisches Objekt mit linienartigen Eigenschaften, aber nicht unbedingt einer geraden Linie.

Eine Kurve kann intuitiv als die Markierung eines sich bewegenden Punktes verstanden werden. Dies ist die ursprüngliche Definition aus Euklids Elementen, die vor fast zweitausend Jahren geschrieben wurde: Die Linie, die sich krümmt

In der zeitgenössischen mathematischen Theorie wird eine Kurve folgendermaßen definiert: Konkret ist eine Kurve die Projektion eines Intervalls auf einen topologischen Raum durch eine stetige Funktion. Parametrische Kurven sind solche, deren Definition durch eine Funktion gegeben ist, die als Parametrisierung bezeichnet wird. Um sie von eingeschränkteren Kurven wie differenzierbaren Kurven zu unterscheiden, bezeichnen wir sie in diesem Artikel manchmal als topologische Kurven. Mit Ausnahme von Ebenenkurven (die Vereinigungen von Kurven und isolierten Punkten sind) und algebraischen Kurven deckt diese Beschreibung die überwiegende Mehrheit der mathematisch untersuchten Kurven ab (siehe unten). Implizite Kurven sind eine Art Niveaukurve oder algebraische Kurve, die typischerweise durch implizite Gleichungen definiert werden.

Topologische Kurven bilden jedoch eine sehr große Klasse, und einige von ihnen haben nicht das konventionelle Aussehen von Kurven und können nicht einmal gezeichnet werden. Raumfüllende Kurven und fraktale Kurven sind Beispiele dafür. Eine Kurve gilt nur dann als differenzierbar, wenn die definierende Funktion unterschieden werden kann. Dies trägt dazu bei, dass die Kurve immer gleich aussieht.

Die Nullmenge eines Polynoms in zwei Unbestimmten ist eine algebraische Kurve in der Ebene. Die Nullmenge einer endlichen Menge von Polynomen, die auch die zusätzlichen Kriterien erfüllt, eine algebraische Varietät der Dimension eins zu sein, wird als algebraische Kurve bezeichnet. Die Kurve gilt nur dann als über k definiert, wenn die Polynomkoeffizienten Elemente des Körpers k sind. Algebraische Kurven sind die Vereinigung topologischer Kurven, wenn k das Feld der reellen Zahlen ist, wie es üblich ist. Eine komplexe algebraische Kurve, die aus topologischer Sicht keine Kurve, sondern eine Fläche ist und oft als Riemannsche Fläche bezeichnet wird, erhält man, wenn man komplexe Nullstellen berücksichtigt. Algebraische Kurven, die über anderen Feldern gebildet wurden, wurden ausgiebig untersucht, obwohl es sich nicht um Kurven im üblichen Sinne handelt. Die moderne Kryptographie macht ausgiebigen Gebrauch von algebraischen Kurven über einem endlichen Körper.

Kurven waren schon immer faszinierend, noch bevor sie in der Mathematik studiert wurden. Viele Kunstwerke und Dinge des täglichen Bedarfs aus prähistorischer Zeit weisen ihre dekorative Verwendung auf. Es erfordert sehr wenig Aufwand, eine Kurve oder zumindest den Anschein einer Kurve mit einem Stock und etwas Sand zu zeichnen.

Der zeitgemäßere Begriff Kurve wurde historisch durch den Ausdruck Linie ersetzt. Infolgedessen wurden das, was wir heute einfach Linien nennen, früher als gerade Linien und rechte Linien bezeichnet, um sie von gekrümmten Linien zu unterscheiden. Eine Linie zum Beispiel wird in Buch I von Euklids Elementen als "eine breite