Zweidimensionales geometrisches Modell: Verständnis und Anwendungen in Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was ist ein zweidimensionales geometrisches Modell

Ein zweidimensionales geometrisches Modell ist ein geometrisches Modell eines Objekts als zweidimensionale Figur, normalerweise auf der euklidischen oder kartesischen Ebene.

Wie Sie profitieren

(I) Einblicke und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: 2D-Geometriemodell

Kapitel 2: Dimension

Kapitel 3: Euklidische Geometrie

Kapitel 4: Topologie

Kapitel 5: Vektorgrafiken

Kapitel 6: 2D-Computergrafik

Kapitel 7: Geometrisches Grundelement

Kapitel 8: Diskrete Geometrie

Kapitel 9: Konstruktive Volumengeometrie

Kapitel 10: Geometrische Modellierung

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zu zweidimensionalen geometrischen Modellen.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung zweidimensionaler geometrischer Modelle in Viele Bereiche.

Für wen dieses Buch gedacht ist

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen hinausgehen möchten Informationen für jede Art von zweidimensionalem geometrischem Modell.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 5. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Geometrisches 2D-Modell

Ein geometrisches 2D-Modell ist eine Darstellung eines Objekts in zwei Dimensionen, in der Regel auf der euklidischen oder kartesischen Ebene.

Auch wenn alle Materialelemente dreidimensional sind, reicht ein geometrisches 2D-Modell in der Regel für flache Objekte wie Scherenschnitte und Blechmaschinenteile aus. Ein weiteres Beispiel sind Kreise, die Gewitter darstellen sollen und von oben betrachtet flach erscheinen.

einfache geometrische Formen

Darstellung der Grenzen

Boolesche Operationen, die auf Polygone angewendet werden

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Dimension

Die Dimension eines mathematischen Raumes (oder Objekts) wird in der Physik und Mathematik informell als die kleinste Anzahl von Koordinaten definiert, die erforderlich sind, um einen beliebigen Punkt darin zu spezifizieren. Folglich hat eine Linie eine Dimension (1D), da nur eine Koordinate erforderlich ist, um einen Punkt auf ihr zu identifizieren, z. B. den Punkt bei 5 auf einem Zahlenstrahl. Eine Fläche, z. B. die Begrenzung eines Zylinders oder einer Kugel, hat eine Dimension von zwei (2D), da zwei Koordinaten erforderlich sind, um einen Punkt darauf anzugeben – z. B. werden ein Breiten- und Längengrad benötigt, um einen Punkt auf der Oberfläche einer Kugel zu finden. Ein zweidimensionaler euklidischer Raum ist ein ebenenbasierter zweidimensionaler Raum. Das Innere eines Würfels, Zylinders oder einer Kugel ist dreidimensional (3D), da für die Lokalisierung eines Punktes in diesen Bereichen drei Koordinaten erforderlich sind.

Raum und Zeit sind in der klassischen Physik unterschiedliche Entitäten und beziehen sich auf absoluten Raum und Zeit. Dieses Bild der Welt ist ein vierdimensionaler Raum, aber nicht der, der erforderlich ist, um den Elektromagnetismus zu erklären. Die vier Dimensionen (4D) der Raumzeit bestehen aus Ereignissen, die weder geografisch noch zeitlich absolut sind, sondern relativ zur Bewegung eines Beobachters bekannt sind. Die pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben die Raumzeit mit Materie und Gravitation. Der Minkowski-Raum nähert sich zunächst dem Universum ohne Gravitation an. Die Superstringtheorie hat 10 Dimensionen (6D-Hyperraum + 4D), Supergravitation und M-Theorie haben 11 Dimensionen (7D-Hyperraum + 4D), und der Zustandsraum der Quantenmechanik ist ein unendlichdimensionaler Funktionsraum.

Die Idee der Dimension ist nicht auf physische Gegenstände beschränkt. Hochdimensionale Räume kommen in der Mathematik und den Naturwissenschaften häufig vor. Sie können euklidische Räume oder allgemeinere Parameterräume oder Konfigurationsräume sein, wie in der Lagrange- oder Hamilton-Mechanik; Dies sind abstrakte Räume, die sich von dem physischen Raum unterscheiden, in dem wir uns befinden.

Die Dimension eines Objekts ist in der Mathematik grob gesagt die Anzahl der Freiheitsgrade eines bewegten Punktes auf dem Objekt. Mit anderen Worten, die Bemaßung ist die Anzahl der unabhängigen Parameter oder Koordinaten, die erforderlich sind, um die Position eines begrenzten Punktes auf dem Objekt zu definieren. Zum Beispiel ist die Dimension eines Punktes Null; Die Bemaßung einer Linie ist eins, da sich ein Punkt entlang einer Linie nur in eine Richtung (oder deren Gegenrichtung) bewegen kann. Die Abmessung einer Ebene ist zwei usw.

Die Dimension eines Objekts ist eine intrinsische Eigenschaft in dem Sinne, dass sie unabhängig von der Dimension des Raumes ist, in den das Ding eingebettet ist oder eingebettet werden kann. Kurven, z. B. Kreise, haben eine Bemaßung, da die Position eines Punktes auf einer Kurve durch seinen vorzeichenbehafteten Abstand entlang der Kurve von einem festen Punkt auf der Kurve bestimmt wird. Dies ist unabhängig von der Tatsache, dass eine Kurve, sofern es sich nicht um eine Linie handelt, nicht in einen euklidischen Raum mit einer Dimension kleiner als zwei eingebettet werden kann.

Die Dimension des euklidischen n-Raumes En ist n.

Wenn man versucht, auf verschiedene Arten von Räumen zu verallgemeinern, ist es wichtig, dass man mit der Frage konfrontiert wird: Was macht En n-dimensional? Eine Antwort ist, dass man, um eine feste Kugel in En mit kleinen Kugeln mit einem Radius ε zu bedecken, in der Größenordnung von ε−n solcher kleinen Kugeln benötigt.

Diese Erkenntnis führt zur Definition der Minkowski-Dimension und einer komplexeren Variante, der Hausdorff-Distanz.

Zum Beispiel sieht der Rand einer Kugel in En lokal wie En-1 aus, was zu dem Begriff der induktiven Dimension führt.

Während diese Begriffe in En übereinstimmen, erweisen sie sich bei der Untersuchung größerer Räume als unterschiedlich.

Ein Tesserakt ist ein Beispiel für ein Objekt mit vier Dimensionen. Mathematiker drücken dies in der Regel als Der Tesserakt hat die Dimension 4 oder Die Dimension des Tesserakts ist 4 oder 4D aus, obwohl außerhalb der Mathematik der Begriff Dimension typischerweise als Ein Tesserakt hat vier Dimensionen verwendet wird.

Obwohl der Begriff der höheren Dimensionen auf René Descartes zurückgeht, begann die bedeutende Entwicklung der höherdimensionalen Geometrie erst im 19. Jahrhundert durch die Bemühungen von Arthur Cayley, Henry Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli und Bernhard Riemann.

1854 Habilitationsschrift von Riemann, Schläflis Theorie der vielfachen Kontinuität von 1852 und John T. Hamiltons Entdeckung der Quaternionen.

Graves' Entdeckung der Oktonien im Jahr 1843 signalisierte den Beginn der höherdimensionalen Geometrie.

In diesem Teil werden einige der wichtigsten mathematischen Definitionen von Dimensionen diskutiert.

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer beliebigen Basis für den Raum oder die Anzahl der Koordinaten, die erforderlich sind, um einen Vektor auszudrücken. Dieses Konzept der Dimension (die Kardinalität einer Basis) wird häufig als Hamel-Dimension oder algebraische Dimension bezeichnet, um es von anderen Dimensionskonzepten zu unterscheiden.

Für die unfreie Situation verallgemeinert sich dies auf das Konzept der Länge eines Moduls.

Es ist möglich, die eindeutig spezifizierte Dimension jeder verbundenen topologischen Mannigfaltigkeit zu berechnen. Lokal ist eine verbundene topologische Mannigfaltigkeit homöomorph zum euklidischen n-Raum, wobei n die Dimension der Mannigfaltigkeit ist.

Zu jedem Zeitpunkt ist die Dimension der verknüpften differenzierbaren Mannigfaltigkeiten auch die Dimension des Tangentenvektorraums.

Auf dem Gebiet der geometrischen Topologie wird die Mannigfaltigkeitstheorie durch die relative Einfachheit der Dimensionen 1 und 2 definiert. Die hochdimensionalen Beispiele mit n > 4 werden durch die Bereitstellung von zusätzlichem Arbeitsraum vereinfacht; Darüber hinaus sind die Instanzen n = 3 und 4