Krummlinige Perspektive: Erforschung der Tiefenwahrnehmung in der Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was ist die krummlinige Perspektive

Die krummlinige Perspektive, auch Fünf-Punkte-Perspektive genannt, ist eine grafische Projektion, die zum Zeichnen von 3D-Objekten auf 2D-Oberflächen verwendet wird. Es wurde 1968 von den Künstlern und Kunsthistorikern Andr? Barre und Albert Flocon in dem Buch La Perspective curviligne, das 1987 als Curvilinear Perspective: From Visual Space to the Constructed Image ins Englische übersetzt und von der University of California Press veröffentlicht wurde.

How you wird davon profitieren

(I) Erkenntnisse und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Krummlinige Perspektive

Kapitel 2: Sphärisches Koordinatensystem

Kapitel 3: Tetraeder

Kapitel 4: N-Kugel

Kapitel 5: Stereografische Projektion

Kapitel 6: Ellipsoid

Kapitel 7: Konforme Geometrie

Kapitel 8: 3D-Projektion

Kapitel 9: Oberflächenintegral

Kapitel 10: Volumenelement

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zur krummlinigen Perspektive.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der krummlinigen Perspektive in vielen Bereichen.

Für wen dieses Buch richtet sich an

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen oder die Informationen hinausgehen und sich mit einer krummlinigen Perspektive befassen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 5. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Gekrümmte Perspektive

Die gekrümmte Perspektive, ebenfalls ein Fünf-Punkt-Blickwinkel, ist eine grafische Projektion, die verwendet wird, um dreidimensionale Dinge auf zweidimensionalen Oberflächen darzustellen.

Sie wurde 1968 von den Künstlern und Kunsthistorikern André Barre und Albert Flocon in dem Buch La Perspective curviligne (La Perspective curviligne) formell kodifiziert. In Analogie zu einem Fisheye-Objektiv wird die gekrümmte Perspektive informell als Fisheye-Standpunkt bezeichnet. In der Computeranimation und Motion Graphics wird er auch als Miniaturplanet bezeichnet.

Das Arnolfini-Porträt (1434) des flämischen Primitiven Jan van Eyck enthält ein frühes Beispiel für eine ungefähre Fünf-Punkt-Krümmungsperspektive. Das Selbstbildnis im konvexen Spiegel (um 1524) des manieristischen Malers Parmigianino und der Blick auf Delft (1652) des niederländischen Malers Carel Fabritius aus dem Goldenen Zeitalter sind spätere Beispiele.

Im Jahr 1959 erhielt Flocon ein Exemplar von Grafiek en tekeningen von M. C. Escher, dessen Verwendung von gekrümmter und gekrümmter Perspektive die Theorie, die Flocon und Barre entwickelten, stark inspirierte. Sie begannen eine ausgedehnte Beziehung, in deren Verlauf Escher Flocon als Seelenverwandten bezeichnete.

Der Ansatz kombiniert sowohl gekrümmte perspektivische Linien als auch eine Reihe von geraden, konvergierenden Linien, um das Bild auf der Netzhaut des Auges, die selbst kugelförmig ist, besser nachzuahmen als die klassische lineare Perspektive, die nur gerade Linien verwendet, aber an den Rändern extrem verzerrt ist.

Es werden vier, fünf oder mehr Fluchtpunkte verwendet:

In der Fünf-Punkte-Perspektive (Fisheye) werden vier Fluchtpunkte um den Umfang eines Kreises herum angeordnet und mit Norden, Westen, Süden und Osten beschriftet.

Die Vierer- oder Unendlich-Punkte-Perspektive ist diejenige, die der Perspektive des menschlichen Auges (wohl) am nächsten kommt und gleichzeitig für die Darstellung unmöglicher Räume geeignet ist. So wie die Fünf-Punkt-Perspektive das gekrümmte Äquivalent der Ein-Punkt-Perspektive ist, so ist die Vier-Punkt-Perspektive das Äquivalent zur Zwei-Punkt-Perspektive.

Wie bei der Zwei-Punkt-Perspektive kann auch bei diesem Ansatz eine vertikale Linie als Horizontlinie verwendet werden, um gleichzeitig eine Wurmperspektive und eine Vogelperspektive zu ermöglichen. Es werden vier oder mehr gleich verteilte Punkte entlang einer Horizontlinie verwendet, alle vertikalen Linien werden senkrecht zur Horizontlinie konstruiert, und Orthogonalen werden mit einem Kompass erstellt, der auf eine Linie eingestellt ist, die in einem 90-Grad-Winkel durch jeden der vier Fluchtpunkte verläuft.

Die Abstände a und c zwischen dem Betrachter und der Wand sind größer als b, so dass nach dem Prinzip, dass ein Objekt mit zunehmender Entfernung vom Betrachter schrumpft, die Wand geschrumpft wird und an ihren Rändern verzerrt erscheint.

Wenn ein Punkt die kartesischen Koordinaten in drei Dimensionen (x,y,z) hat:

{\displaystyle P_{\mathrm {3D} }=(x,y,z)}

Angabe des Abstands vom Punkt zum Ursprung durch d = √x2

+ y2 + z2

, Folglich ist der Übergang des Punktes zu einem krummlinigen Bezugssystem mit dem Radius R

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)}

(Wenn d = 0 ist und der Punkt am Ursprung liegt, ist seine Projektion undefiniert)

Dies wird erreicht, indem der 3D-Punkt zunächst auf eine Kugel mit dem Radius R projiziert wird, die am Ursprung zentriert ist, so dass ein Bild des Punktes mit Koordinaten entsteht.

{\displaystyle P_{\mathrm {sphere} }=(x,y,z)*\left({\frac {R}{d}}\right)}

Dann wird eine parallele Projektion parallel zur z-Achse verwendet, um den Punkt auf der Kugel bei z = R auf das Papier zu projizieren und so das Ergebnis zu erzielen.

{\displaystyle P_{\mathrm {image} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}},R\right)}

Da es irrelevant ist, dass das Papier auf der z = R-Ebene aufliegt, lassen wir die z-Koordinate des Bildpunktes außer Acht und ergeben

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)=R*\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

Da eine Änderung R nur auf eine Skalierung hinausläuft, wird sie in der Regel als Einheit charakterisiert, wodurch die Formel weiter vereinfacht wird:

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {x}{d}},{\frac {y}{d}}\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

Eine Linie, die nicht durch den Ursprung verläuft, wird als Großkreis auf die Kugel projiziert, die dann als Ellipse auf die Ebene projiziert wird. Es ist eine Eigenschaft einer Ellipse, dass ihre Längsachse ein Durchmesser des Begrenzungskreises ist.

Ankunft von Kaiser Karl IV. in der Basilika Saint-Denis, von Jean Fouquet

Parmigianino, Porträt seiner selbst in einem konvexen Spiegel

Detail eines konvexen Spiegels aus dem 14. Jahrhundert in Jan van Eycks Arnolfini-Porträt.

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Sphärisches Koordinatensystem

Um die Position eines Punktes im dreidimensionalen Raum mithilfe eines sphärischen Koordinatensystems anzugeben, werden drei Zahlen verwendet: der radiale Abstand vom Ursprung, der Polarwinkel, gemessen vom Zenit, und der azimutale Winkel der orthogonalen Projektion auf der Ebene, die durch den Ursprung verläuft und orthogonal zum Zenit ist. Es ist wie das polare Koordinatensystem, aber in drei Dimensionen.

Der Begriff radialer Abstand bezieht sich auf den Abstand entlang der radialen Achse eines Kreises. Breitengrad, Zenitwinkel, Normalwinkel und Neigungswinkel sind alles Bezeichnungen für den Polarwinkel.

Wenn der Radius konstant gehalten wird, bilden die beiden Winkelkoordinaten ein kugelförmiges Koordinatensystem.

Unterschiedliche Ressourcen und Felder können unterschiedliche Symbole verwenden und die Koordinaten in einer anderen Reihenfolge anordnen.

In diesem Artikel wird die in der Physik häufig anzutreffende ISO-Konvention verwendet: (r,\theta ,\varphi ) Sie gibt den radialen Abstand, den Polarwinkel und den Azimut des Kompasses an.

Im Gegensatz dazu gibt mehrere mathematische Texte, {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} oder (r,\theta ,\varphi ) gibt den radialen Abstand, den azimutalen Winkel, den polaren Winkel an, wobei die Bedeutungen von θ und φ vertauscht werden.

Es werden auch mehr Redewendungen verwendet, z. B. ist der Abstand r von der z-Achse, daher ist es wichtig, die Interpretation der Symbole zu überprüfen.

Positionen werden in der Sprache der geographischen Koordinatensysteme ausgedrückt, Breitengrad ist die Metrik, die zur Lokalisierung von Objekten, Längengrad, Statur (Höhe) verwendet wird.

Es existieren verschiedene Himmelskoordinatensysteme, von denen jedes seine eigene Grundebene und einen eigenen Satz von Begriffen für die verschiedenen Winkel- und Linearmessungen hat.

Die in der Mathematik verwendeten sphärischen Koordinatensysteme verwenden normalerweise das Bogenmaß anstelle von Grad und messen den azimutalen Winkel gegen den Uhrzeigersinn von der x-Achse zur y-Achse und nicht im Uhrzeigersinn von Norden (0°) nach Osten (+90°) wie das horizontale Koordinatensystem.

Anstatt den Polarwinkel zu verwenden, könnte man den Höhenwinkel verwenden, d. h. den Winkel von der horizontalen Ebene zur positiven Z-Achse, 0 Grad Höhe über dem Horizont; Ein negativer Höhenwinkel wird als Neigungswinkel bezeichnet.

Das sphärische Koordinatensystem ist eine Verallgemeinerung des polaren Koordinatensystems für die Verwendung in drei Dimensionen. Es kann auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden, wo es als hypersphärisches Koordinatensystem bezeichnet wird.

Ein sphärisches Koordinatensystem wird definiert, indem ein Ursprungspunkt und zwei Referenzrichtungen (Zenit und Azimut) ausgewählt werden, die senkrecht zueinander stehen. Durch diese Auswahl wird eine Referenzebene festgelegt, die den Ursprung und die Senkrechte zum Zenit enthält. Dann können wir die sphärischen Koordinaten eines Punktes P wie folgt definieren:

Der radiale Abstand, oft auch als Radius bezeichnet, ist der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten, z. B. O und P.

In Bezug auf die Bezugsebene ist der Azimut (oder azimutale Winkel) der vorzeichenbehaftete Winkel, der durch die orthogonale Projektion des Liniensegments OP gebildet wird.

Der Polarwinkel oder die Neigung ist der Winkel, der zwischen der Zenitrichtung und der OP-Linie gebildet wird.

Die Richtung des Azimuts wird festgelegt, indem eine Richtung gewählt wird, die eine positive Drehung relativ zum Zenit macht. Die Definition eines Koordinatensystems beinhaltet diese scheinbar willkürliche Entscheidung.

Um den Höhenwinkel zu berechnen, dividieren Sie den Winkel, der zwischen dem OP-Liniensegment und der Referenzebene gebildet wird, durch 2, wenn der Zenit auf der positiven Achse liegt.

Entsprechend sind es 90 Grad (π/

2

Bogenmaß) abzüglich des Neigungswinkels.

Wenn die Neigung null oder 180 Grad (π Bogenmaß) beträgt, kann Azimut nach Belieben gewählt werden.

Unter der Annahme eines Nullradius können Azimut und Neigung nach Belieben gewählt werden.

Der Positionsvektor eines gegebenen Punktes P ist der Vektor von O, dem Ursprung, nach P.

Es gibt eine Reihe von verschiedenen Möglichkeiten, wie die drei Koordinaten dargestellt werden können, und für die richtige Reihenfolge, in der sie zu bilden sind.

Die Verwendung von (r,\theta ,\varphi ) zur Bezeichnung von radialem Abstand, Neigung (oder Höhe) bzw. Azimut wird routinemäßig in der Physik als Methode verwendet, ISO 80000-2:2019 ist die Norm, die dies regelt, ISO 31-11 oder früher (1992).

Dieser Artikel muss unter Berücksichtigung des Vorstehenden der ISO-Norm entsprechen {\displaystyle (r,\theta ,\varphi ),} und den radialen Abstand, den Polarwinkel und den Azimut des Kompasses angeben.

Einige Autoren (einschließlich Mathematiker) verwenden jedoch ρ für die radiale Entfernung, φ für die Neigung (oder Höhe) und θ für den Azimut und stellen fest, dass der Abstand r von der z-Achse entfernt ist, was "eine natürliche Progression von der herkömmlichen Notation für