Isometrische Projektion: Erforschung der räumlichen Wahrnehmung in Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was ist isometrische Projektion

Isometrische Projektion ist eine Methode zur visuellen Darstellung dreidimensionaler Objekte in zwei Dimensionen in technischen und technischen Zeichnungen. Es handelt sich um eine axonometrische Projektion, bei der die drei Koordinatenachsen gleichermaßen perspektivisch verkürzt erscheinen und der Winkel zwischen zwei von ihnen 120 Grad beträgt.

Ihre Vorteile

(I) Erkenntnisse und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Isometrische Projektion

Kapitel 2: Orthographische Projektion

Kapitel 3: 3D-Projektion

Kapitel 4: Euler-Winkel

Kapitel 5: Rotationsmatrix

Kapitel 6: Quaternionen und räumliche Rotation

Kapitel 7: Schrägprojektion

Kapitel 8: Transformationsmatrix

Kapitel 9: Gimbal Lock

Kapitel 10: Tetraeder

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zu isometrische Projektion.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der isometrischen Projektion in vielen Bereichen.

Für wen dieses Buch gedacht ist

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über Grundkenntnisse oder Informationen für jede Art von isometrischer Projektion hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 4. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Isometrische Projektion

In technischen und ingenieurwissenschaftlichen Zeichnungen wird die isometrische Projektion verwendet, um ein zweidimensionales Bild eines dreidimensionalen Objekts zu erstellen. Dabei handelt es sich um eine axonometrische Projektion, bei der der Winkel zwischen zwei beliebigen Achsen 120 Grad beträgt und alle drei um den gleichen Betrag verkürzt zu sein scheinen.

Isometrisch, aus dem Griechischen für gleiches Maß, ist eine Projektion, bei der die Skala entlang aller Achsen konstant bleibt (im Gegensatz zu einigen anderen Formen der grafischen Projektion).

Wenn Sie einen Ansichtspunkt auswählen, in dem die Projektionen der x- und y-Achse rechte Winkel bilden, erhalten Sie eine isometrische Perspektive, y, wobei sowohl die x- als auch die z-Achse äquivalent sind, oder 120°.

Wenn man zum Beispiel einen Würfel verwendet, tut man dies, indem man seinen Blick aufmerksam auf das Gesicht dieser Person richtet.

Als nächstes wird der Würfel ±45° um die vertikale Achse gedreht, gefolgt von einer Drehung von ca. 35,264° (genau arcsin ¹⁄√³ oder arctan ¹⁄√², Es ist senkrecht zur x-Achse und hat etwas mit dem magischen Winkel zu tun.

Wie im Bild zu sehen ist, ist der Umfang der resultierenden 2D-Darstellung eines Würfels ein regelmäßiges Sechseck, wobei alle schwarzen Linien die gleiche Länge und die Flächen aller Flächen des Würfels gleich sind.

Du kannst den Look ohne Mathematik erhalten, indem du ein Blatt isometrisches Millimeterpapier unter dein normales Zeichenpapier legst.

Auch hier gilt: Eine 3D-Szene kann aus einer isometrischen Perspektive betrachtet werden.

Zu Beginn muss die Kamera auf Bodenhöhe und parallel zu den Koordinatenachsen sein, sie wird zuerst horizontal (um die vertikale Achse) um ±45°, dann um 35,264° um die horizontale Achse gedreht.

Die isometrische Projektion kann man sich auch als Blick in das Innere eines Würfels vorstellen, der von einer der oberen Ecken aus gesehen wird und sich zur gegenüberliegenden Wand, der unteren Ecke, bewegt.

Die x-Achse bildet eine rechte Diagonale, die y-Achse fällt auf einer Diagonale nach unten und nach links und entlang der z-Achse vertikal nach oben ab.

Die Höhe auf dem Bild dient auch als Tiefenindikator.

Die entlang der Achsen gezeichneten Linien stehen in einem Winkel von 120° zueinander.

Eine Kamera mit diesen Eigenschaften würde ein telezentrisches Objekt-Raum-Objektiv benötigen, genau wie bei jeder axonometrischen oder orthogonalen Projektion, um sicherzustellen, dass die projizierten Längen konstant bleiben, wenn sich der Beobachter von der Kamera entfernt.

Der Begriff isometrisch wird häufig fälschlicherweise verwendet, um axonometrische Projektionen zu beschreiben. Tatsächlich gibt es jedoch drei verschiedene axonometrische Projektionen: schräge, dimetrische und isometrische.

Die isometrische Projektion erfordert zwei Ansichten, eine von oben und eine von unten. Wenn man bedenkt, wie widersprüchlich der Wert der zweiten erscheinen mag, verdient sie eine Klarstellung.

Stellen wir uns zunächst einen Würfel mit Seiten der Länge 2 vor, der auf den Punkt zentriert ist, an dem sich die Achsen treffen, was bedeutet, dass jede seiner Flächen einen Achsenschnittpunkt hat, der genau 1 Einheit vom Ursprung entfernt ist.

Wir können die Länge der Linie von ihrem Mittelpunkt bis zur Mitte einer beliebigen Kante als √2 mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Durch Drehen des Würfels um 45° auf der x-Achse, um (1, 1, 1) zu betonen, wird aus (1) (1), 0, √2) wie im Diagramm dargestellt.

Die zweite Drehung zielt darauf ab, den gleichen Punkt auf die positive z-Achse zu bringen, und muss daher eine Drehung mit einem Wert ausführen, der dem Arkustangens von ¹⁄√² entspricht, was ungefähr 35,264° entspricht.

Eine isometrische Perspektive kann aus einem von acht verschiedenen Blickwinkeln erreicht werden, abhängig von der Richtung des Oktanten des Beobachters.

Die isometrische Transformation von einem Punkt ax,y,z im 3D-Raum zu einem Punkt bx,y im 2D-Raum mit Blick auf das erste Oktant kann mathematisch mit Rotationsmatrizen wie folgt geschrieben werden:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}

wobei α = Bogensin(tan 30°) ≈ 35,264° und β = 45° ist.

Wie oben erwähnt, handelt es sich dabei um eine Drehung um die vertikale (hier y) Achse um β, gefolgt von einer Drehung um die horizontale (hier x) Achse um α.

Der nächste Schritt ist eine orthogonale Projektion auf der xy-Ebene:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}

Durch Drehen auf die gegenüberliegenden Seiten und anschließendes Umkehren der Ansichtsausrichtung erhalten wir die anderen sieben Auswahlmöglichkeiten.

Das Konzept der Isometrie existierte seit Jahrhunderten in einer grundlegenden empirischen Form, bis es von Professor William Farish (1759-1837) definiert wurde.

Die isometrische Projektion lässt wie alle parallelen Projektionen Objekte gleich groß erscheinen, unabhängig davon, ob sie sich in der Nähe oder in der Ferne des Betrachters befinden. Dies ist zwar nützlich für architektonische Entwürfe, bei denen genaue Maße erfasst werden müssen, erzeugt jedoch eine Illusion von Verzerrung, da das menschliche Sehvermögen und die Fotografie normalerweise nicht auf diese Weise funktionieren. Wie rechts oder oben gezeigt, kann dies auch zu Situationen führen, in denen die Beurteilung von Tiefe und Höhe schwierig ist. Die Penrose Stairs sind ein Beispiel für eine scheinbar widersprüchliche oder unmögliche Form, die sich daraus ergeben kann.

Isometrische Grafiken, auch bekannt als parallele Projektionsgrafiken, werden häufig in Videospielen und Pixelkunst verwendet, anstatt direkt nach unten oder zur Seite zu schauen, wird der Blickwinkel verzerrt, um Details in der Umgebung zu zeigen, die sonst verborgen wären, wodurch eine Illusion von Tiefe in drei Dimensionen entsteht.

Trotz der Beschriftung verwenden jedoch nicht alle isometrischen Computergrafiken tatsächlich einen isometrischen Blickwinkel, die x-, y- und z-Achsen sind nicht unbedingt um 120° zueinander ausgerichtet.

Stattdessen werden mehrere Perspektiven betrachtet, in der Regel wird eine dimetrische Projektion mit einem Pixelverhältnis von 2:1 verwendet.

Die Begriffe ³⁄⁴-Perspektive , ³⁄⁴-Ansicht , 2,5D, Pseudo-3D und Pseudo-2D sind ebenfalls gebräuchliche Synonyme, wobei es je nach Situation einige feine Unterschiede in der Interpretation geben kann.

Mit dem Aufkommen leistungsfähigerer 3D-Grafiktechnologien und der Verlagerung hin zu Spielen, die sich auf Action und unverwechselbare Charaktere konzentrieren, ist die isometrische Projektion immer seltener geworden.

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Orthogonale Projektion

Die orthogonale Projektion (auch orthogonale Projektion und Analemma) führt zu einer affinen Transformation jeder Bildebene auf der Betrachtungsfläche. Bei einer schrägen Projektion sind die Projektionslinien nicht orthogonal zur Projektionsebene.

Bei der Multiview-Projektion kann sich orthogonal auf eine Technik beziehen, bei der die Hauptachsen oder -ebenen des Motivs parallel zur Projektionsebene verlaufen, um die primären Ansichten zu erstellen. Wenn die Hauptebenen oder -achsen eines Objekts in einer orthogonalen Projektion nicht parallel zur Projektionsebene sind, handelt es sich um eine axonometrische Darstellung oder eine Hilfsansicht. (Axonometrische Projektion und Parallelprojektion sind gleichbedeutend.) Pläne, Ansichten und Schnitte sind Untertypen von primären Ansichten. Isometrische, dimetrische und trimetrische Projektionen sind Untertypen von Hilfsansichten.

Ein telezentrisches Objektiv, das eine orthogonale Projektion liefert, ist ein Objekt-Raum-Objektiv.

Die folgende Matrix definiert eine einfache orthogonale Projektion auf die z = 0-Ebene:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Für jeden Punkt v = (vx, v, y, vz) wäre der Punkt umgerechnet Pv

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Häufig ist es vorteilhafter, homogene Koordinaten zu verwenden. Für homogene Koordinaten kann die obige Transformation wie folgt ausgedrückt werden:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Für jeden homogenen Vektor v = (vx, vy, vz, 1) wäre der Vektor Pv nach der Transformation

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

In der Computergrafik wird eine der am häufigsten verwendeten Matrizen für die orthogonale Projektion durch das 6-Tupel (links, rechts, unten, oben, nah, fern) angegeben, das die Schnittebenen angibt. Diese Ebenen erstellen einen Rahmen mit der kleinsten Ecke bei (links, unten, -nah) und der größten Ecke bei (rechts, oben, -weit) (rechts, oben, -weit).

Der Rahmen wird dann auf den Einheitswürfel skaliert, der definiert ist, indem er seine minimale Ecke bei (1,1,1) und seine größte Ecke bei (1,1,1) hat. (1,1,1).

Die folgende Matrix stellt die orthogonale Transformation dar:

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Dies kann als eine Skalierung S gefolgt von einer Verschiebung T entsprechend der Form ausgedrückt werden

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Die Umkehrung der Projektionsmatrix P−1, Sie kann als Unprojektionsmatrix verwendet werden:

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Isometrische Projektion, dimetrische Projektion und trimetrische Projektion sind drei Untertypen der orthogonalen Projektion, abhängig vom genauen Winkel, in dem die Ansicht von der orthogonalen Ansicht abweicht. In axonometrischen Zeichnungen, wie auch in anderen Formen von Diagrammen, wird eine Raumachse typischerweise vertikal dargestellt.

In der isometrischen Ansicht, der am weitesten verbreiteten Art der axonometrischen Projektion, die in technischen Zeichnungen verwendet wird, ist die Blickrichtung so, dass alle drei Raumachsen proportional zusammengedrückt zu sein scheinen und ein gemeinsamer Winkel von 120° zwischen ihnen besteht.

Da die durch die Verkürzung verursachte Verzerrung gleichmäßig ist, bleiben die Proportionen zwischen den Längen erhalten, und die Achsen haben den gleichen Maßstab. Dies erleichtert das direkte Messen anhand der Zeichnung.

Ein weiterer Vorteil ist, dass 120°-Winkel nur mit Zirkel und Lineal leicht konstruiert werden können.

Bei der dimetrischen Projektion ist die Blickrichtung so, dass zwei der drei Raumachsen gleichermaßen komprimiert erscheinen, wobei der damit verbundene Maßstab und die Darstellungswinkel durch den Betrachtungswinkel bestimmt werden. Der Maßstab der dritten Richtung wird individuell festgelegt. Dimetrische Zeichnungen enthalten in der Regel ungefähre Bemaßungen.

Bei der trimetrischen Projektion ist die Blickrichtung so, dass die drei Raumachsen ungleichmäßig komprimiert erscheinen. Die Skala entlang jeder der drei Achsen und die Winkel zwischen ihnen werden unabhängig voneinander anhand des Betrachtungswinkels bestimmt. In trimetrischen Zeichnungen sind Bemaßungsnäherungen üblich, obwohl die trimetrische Perspektive in technischen Zeichnungen selten verwendet wird.

Bei der Multiview-Projektion werden bis zu sechs Bilder eines Objekts erzeugt, die als Primäransichten bezeichnet werden, wobei jede Projektionsebene parallel zu einer der Koordinatenachsen des Objekts verläuft. Die relative Positionierung der Ansichten wird durch eines von zwei Schemata bestimmt: Projektion des ersten Winkels oder Projektion des