Radon-Transformation: Aufdecken verborgener Muster in visuellen Daten

Von Fouad Sabry

Was ist die Radon-Transformation

In der Mathematik ist die Radon-Transformation die Integraltransformation, die eine auf der Ebene definierte Funktion f in eine auf der (zwei- dimensionaler) Raum von Linien in der Ebene, dessen Wert an einer bestimmten Linie gleich dem Linienintegral der Funktion über dieser Linie ist. Die Transformation wurde 1917 von Johann Radon eingeführt, der auch eine Formel für die Umkehrtransformation bereitstellte. Radon enthielt außerdem Formeln für die Transformation in drei Dimensionen, bei denen das Integral über Ebenen übernommen wird. Später wurde es auf höherdimensionale euklidische Räume und allgemeiner im Kontext der Integralgeometrie verallgemeinert. Das komplexe Analogon der Radon-Transformation ist als Penrose-Transformation bekannt. Die Radon-Transformation ist weithin anwendbar auf die Tomographie, die Erstellung eines Bildes aus den Projektionsdaten, die mit Querschnittsscans eines Objekts verbunden sind.

Ihre Vorteile

(I) Erkenntnisse und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Radon-Transformation

Kapitel 2: Fourier-Transformation

Kapitel 3: Bessel Funktion

Kapitel 4: Faltungssatz

Kapitel 5: Diskrete Fourier-Transformation

Kapitel 6: Fourier-Reihe

Kapitel 7: Integration durch Teile

Kapitel 8: Fraktionale Fourier-Transformation

Kapitel 9: Mellin-Transformation

Kapitel 10: Poisson-Kernel

(II) Beantwortung der Öffentliche Top-Fragen zur Radontransformation.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der Radontransformation in vielen Bereichen.

Für wen dieses Buch gedacht ist

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen oder die Informationen für jede Art von Radontransformation hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 28. Apr. 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Radon-Umwandlung

Für jede Funktion f, die auf der Ebene definiert ist, bildet die Radontransformation sie auf eine Funktion Rf ab, die auf dem (zweidimensionalen) Raum der Linien in der Ebene definiert ist, wobei der Wert von Rf an einer gegebenen Linie das Linienintegral von f entlang dieser Linie ist. Johann Radon beschrieb die Transformation erstmals 1917 und gab auch eine Formel für ihre Umkehrung. Das Integral wird über Ebenen ausgewertet, wie in den dreidimensionalen Transformationsformeln von Radon zu sehen ist (die Integration über Linien wird als Röntgentransformation bezeichnet). Sie wurde schließlich über den Bereich der integralen Geometrie hinaus auf höherdimensionale euklidische Räume ausgedehnt. Die Penrose-Transformation ist die ausgeklügelte Version der Radon-Transformation. In der Tomographie, bei der ein Bild aus Projektionsdaten rekonstruiert wird, die mit Querschnittsscans eines Objekts verbunden sind, wird häufig die Radontransformation verwendet.

Wenn eine Funktion f eine unbekannte Dichte darstellt, werden die Projektionsdaten nach Abschluss eines tomographischen Scans durch die Radontransformation dargestellt.

Da die Radontransformation invertiert werden kann, kann die ursprüngliche Dichte aus den Projektionsdaten rekonstruiert werden, was die mathematische Grundlage für die tomografische Rekonstruktion liefert, ähnlich wie bei der iterativen Rekonstruktionstechnik.

Da es sich bei der Radontransformation einer nicht-zentroidalen Punktquelle um eine Sinuskurve handelt, werden die resultierenden Daten oft als Sinogramm bezeichnet. Infolgedessen sieht die Radontransformation einer Ansammlung kleiner Objekte wie ein Haufen verschmierter Sinuswellen mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen in einem Diagramm aus.

Die Radontransformation findet Anwendung in der Reflexionsseismologie, der Computertomographie (CAT), der Elektronenmikroskopie makromolekularer Anordnungen einschließlich Viren und Proteinkomplexen und der Lösung hyperbolischer partieller Differentialgleichungen.

Sei {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)} eine Funktion, die die drei Regularitätsbedingungen erfüllt:

{\displaystyle f({\textbf {x}})} Das Doppelintegral {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} , das den ganzen Boden bedeckt, konvergiert; für jeden beliebigen Punkt (x,y) auf der Ebene gilt es, dass

{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}

Beim Wechsel zu einer Radonmatrix Rf ist , eine Funktion, die auf dem Raum der Geraden {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} durch das Linienintegral entlang jeder dieser Linien definiert ist, wie z.B.:

{\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}

Konkret kann die Parametrisierung einer beliebigen Geraden L in Bezug auf die Bogenlänge z immer geschrieben werden:

{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}

wobei s der Abstand von L vom Ursprung und \alpha der Winkel ist, den der Normalenvektor L mit der X -Achse bildet.

Daraus folgt, dass die Größen {\displaystyle (\alpha ,s)} als Koordinaten auf dem Raum aller Geraden in betrachtet werden können \mathbb {R} ^{2} . In diesen Achsen ist die Radontransformation wie folgt definiert:

{\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}

Allgemeiner ausgedrückt  ist im n -dimensionalen euklidischen Raum \mathbb {R} ^{n} die Radontransformation einer Funktion, f die die Regularitätsbedingungen erfüllt, eine Funktion Rf auf dem Raum \Sigma _{n} aller Hyperebenen in \mathbb {R} ^{n} .

Um es einfach auszudrücken:

{\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}

wenn das Integral in Bezug auf das Maß der natürlichen Hyperflächen durchgeführt wird d\sigma (Verallgemeinerung des {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } Terms aus dem 2 -dimensionalen Fall).

Beachten Sie, dass jedes Element von \Sigma _{n} als Lösungsort einer Gleichung charakterisiert ist \mathbf {x} \cdot \alpha =s , wobei {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} ein Einheitsvektor und {\displaystyle s\in \mathbb {R} } ist.

Daher kann die n -dimensionale Radon-Transformation als Funktion auf {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} } via:

{\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}

Es ist auch möglich, die Radontransformation noch weiter zu verallgemeinern, indem man stattdessen k überdimensionale affine Unterräume von \mathbb {R} ^{n} integriert.

Eine häufige Anwendung dieses Rahmens ist die Röntgentransformation und die Integration entlang gekrümmter Linien.

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Radon-Transformation und der Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation einer einzelnen Variablen ist wie folgt definiert:

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}

Für eine Funktion eines 2 -Vektors \mathbf {x} =(x,y) gilt die Fourier-Transformation in einer Dimension:

{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}

Der Einfachheit halber bezeichnen Sie {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} .

Als logische Konsequenz besagt das Fourier-Scheiben-Theorem:

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}

wo \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).

Somit ist die zweidimensionale Fourier-Transformation der Anfangsfunktion entlang einer Linie im Neigungswinkel \alpha die einzige variable Fourier-Transformation der Radon-Transformation (gemessen am Winkel \alpha ) dieser Funktion.

Die Radon-Transformation und ihre Umkehrung können mit diesen Informationen berechnet werden.

Dieser Befund ist n-dimensional verallgemeinerbar:

{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}

Eine Ergänzung zur Radon-Transformation ist die duale Radon-Transformation.

Beginnend mit einer Funktion g auf dem Raum \Sigma _{n} ist die duale Radontransformation die Funktion {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} auf Rn , die definiert ist durch:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}

Das Integral wird hier über die Menge aller Hyperebenen übernommen, die mit dem Punkt einfallen {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} , und das Maß d\mu ist das eindeutige Wahrscheinlichkeitsmaß für die Menge {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} invariant unter Drehungen um den Punkt \mathbf {x} .

Insbesondere ist die duale Transformation der Radontransformation in der zweiten Dimension gegeben durch:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}

Da die duale Transformation eine Funktion, die auf jeder Linie in der Ebene angegeben ist, verschmiert oder projiziert, um ein Bild zu erzeugen, wird sie im Bereich der Bildverarbeitung oft als Rückprojektion bezeichnet.

Bezeichnen wir \Delta den Laplaceian, definiert \mathbb {R} ^{n} durch:

{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}

Hierbei handelt es sich um einen Differentialoperator zweiter Ordnung, der per Definition rotationsinvariant ist.

Auf \Sigma _{n} ist die radiale zweite Ableitung Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s) ebenfalls rotationsinvariant.

Für diese beiden differentiellen Operatoren sind die Radontransformation und ihr Dual gekoppelte Operatoren in dem Sinne, dass:

{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}

Die translationale Darstellung von Lax und Philips basiert auf der Verflechtungseigenschaft, die für die Analyse von Lösungen der Wellengleichung im höherdimensionalen Raum nützlich ist. Dies wird als dimensionale Aufspaltungstechnik verwendet, um mehrdimensionale Sachverhalte in eindimensionale zu vereinfachen.

Der Prozess der Rekonstruktion erzeugt das Bild (oder die Funktion f im vorherigen Abschnitt) aus seinen Projektionsdaten.

Inverse Probleme wie die Rekonstruktion.

Für die einfache Situation von zwei Dimensionen ist die am häufigsten verwendete analytische Formel zur Wiederherstellung f der Radontransformation die Formel für die gefilterte Rückprojektion oder die Radon-Inversionsformel:

{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }

wobei so h ist, dass {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} .

Der Convolution-Kernel h wird in der Literatur als Rampenfilter bezeichnet.

Intuitiv ist die Formel für die gefilterte Rückprojektion, ähnlich wie die Differenzierung, für die {\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)} , Der Filter scheint eine Funktion analog zu einer Ableitung auszuführen.

Grob gesagt gibt der Filter also allem eine klarere Identität.

Die Radoninversion wird quantitativ wie folgt als schlecht dargestellt:

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}

wobei {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}} das zuvor definierte Adjungierte zur Radon-Transformation ist.

Somit {\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} haben wir für :

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}

Die komplexe Exponentialfunktion {\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} ist also eine Eigenfunktion von {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}} mit Eigenwert {\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}} .

Die singulären Werte von {\mathcal {R}} sind {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}} also .

Da diese singulären Werte dazu neigen, {\displaystyle 0} {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} ist , ist unbegrenzt.

Die iterative Rekonstruktion ist rechenintensiver als der Ansatz der gefilterten Rückprojektion, der ihre Verwendung einschränkt. Bei Diskontinuität oder Rauschen kann der Ansatz der gefilterten Rückprojektion jedoch aufgrund der schlechten Stellung der Radoninversion nicht durchführbar sein. Viele Forscher interessieren sich für iterative Rekonstruktionsmethoden (z. B. iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance), da sie das Potenzial haben, Metallartefakte, Rauschen und Dosierung in der rekonstruierten Ausgabe zu reduzieren.

Die Radontransformation und die entsprechenden Inversionsformeln sind verfügbar und sowohl explizit als auch recheneffizient.

Die Radonumwandlung in n Dimensionen kann durch die folgende Formel invertiert werden:

{\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}

wobei {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} , und die Potenz der Laplace-Funktion {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} als Pseudo-Differentialoperator definiert wird, falls erforderlich durch die Fourier-Transformation:

{\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}

Bei der logikbasierten Berechnung wird die Potenz der Laplace-Funktion mit der dualen Transformation umgewandelt R^{*} , um Folgendes zu erhalten:

{\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}

wobei {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}} die Hilbert-Transformation in Bezug auf die s-Variable ist .

Mit nur zwei Achsen erscheint der Bediener in der {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}} Bildverarbeitung als Rampenfilter.

Man kann direkt aus dem Fourier-Scheibensatz und der Änderung der Variablen für die Integration beweisen, dass für eine kompakt gestützte stetige Funktion {\displaystyle f} zweier Variablen:

{\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}H_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}

So kann in einem Bildverarbeitungskontext das Originalbild {\displaystyle f} aus den Sinogramm-Daten wiederhergestellt werden {\displaystyle Rf} , indem ein Rampenfilter (in der s Variablen) angewendet und dann zurückprojiziert wird.

Sowohl die Filter- als auch die Rückprojektionsprozesse sind rechnerisch einfach;