Geschwindigkeitsmomente: Die Dynamik erfassen: Einblicke in Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was sind Geschwindigkeitsmomente

Im Bereich des Computersehens sind Geschwindigkeitsmomente gewichtete Durchschnittswerte der Intensitäten von Pixeln in einer Bildsequenz, ähnlich wie Bildmomente, jedoch in Zusätzlich zur Beschreibung der Form eines Objekts beschreiben Sie auch seine Bewegung durch die Bildfolge. Geschwindigkeitsmomente können zur automatisierten Identifizierung einer Form in einem Bild verwendet werden, wenn Informationen über die Bewegung für deren Beschreibung von Bedeutung sind. Derzeit gibt es zwei etablierte Versionen von Geschwindigkeitsmomenten: kartesisch und Zernike.

Wie Sie profitieren

(I) Einblicke und Validierungen zu den folgenden Themen :

Kapitel 1: Geschwindigkeitsmomente

Kapitel 2: Navier-Stokes-Gleichungen

Kapitel 3: Mittlerer quadratischer Fehler

Kapitel 4: Starrer Rotor

Kapitel 5: Richtungsstatistik

Kapitel 6: Kreisförmige Verteilung

Kapitel 7: Von Mises-Verteilung

Kapitel 8: Reis Verteilung

Kapitel 9: Verpackte Normalverteilung

Kapitel 10: Varianz-Gamma-Prozess

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zu Geschwindigkeitsmomenten.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung von Geschwindigkeitsmomenten in vielen Bereichen.

Für wen sich dieses Buch eignet

Berufstätige, Studenten und Absolventen Studenten, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen oder die Informationen für Velocity Moments jeglicher Art hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 5. Mai 2024

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Kapitel 1: Geschwindigkeitsmomente

Ähnlich wie bei Bildmomenten handelt es sich bei Geschwindigkeitsmomenten um gewichtete Mittelwerte der Intensitäten von Pixeln in einer Sequenz von Fotos. Geschwindigkeitsmomente definieren jedoch nicht nur die Form eines Objekts, sondern charakterisieren auch seine Beweglichkeit über die Bildsequenz hinweg. Geschwindigkeitsmomente können verwendet werden, um die automatische Identifizierung einer Form in einem Bild zu unterstützen, wenn die Beschreibung der Bewegung signifikant ist. Derzeit gibt es zwei akzeptierte Versionen von Geschwindigkeitsmomenten: Kartesisch

Berechnung des kartesischen Moments eines einzelnen Bildes

{\displaystyle m_{pq}=\sum _{x=1}^{M}\sum _{y=1}^{N}x^{p}y^{q}P_{xy}}

wobei M N und die Dimensionen des Bildes sind, {\displaystyle P_{xy}} ist die Intensität des Pixels an der Stelle (x,y) im Bild und {\displaystyle x^{p}y^{q}} ist die Basisfunktion.

Diese kartesischen Momente sind die Grundlage für kartesische Geschwindigkeitsmomente.

Ein kartesisches Geschwindigkeitsmoment {\displaystyle vm_{pq\mu \gamma }} ist definiert durch

{\displaystyle vm_{pq\mu \gamma }=\sum _{i=2}^{images}\sum _{x=1}^{M}\sum _{y=1}^{N}U(i,\mu ,\gamma )C(i,p,g)P_{i_{xy}}}

wobei M und N wiederum die Abmessungen des Bildes sind, {\displaystyle images} ist die Anzahl der Bilder in der Sequenz und {\displaystyle P_{i_{xy}}} ist die Intensität des Pixels an der Stelle (x,y) im Bild i .

{\displaystyle C(i,p,q)} wird aus Zentralmomente entnommen und hinzugefügt, um die Gleichungsübersetzung invariant zu machen, definiert als

{\displaystyle C(i,p,q)=(x-{\overline {x_{i}}})^{p}(y-{\overline {y_{i}}})^{q}}

wobei \overline {x_{i}} die x Koordinate des Massenschwerpunkts für das Bild i und ähnlich für y ist.

{\displaystyle U(i,\mu ,\gamma )} führt die Geschwindigkeit in die Gleichung ein, da

{\displaystyle U(i,\mu ,\gamma )=({\overline {x_{i}}}-{\overline {x_{i-1}}})^{\mu }({\overline {y_{i}}}-{\overline {y_{i-1}}})^{\gamma }}

wobei {\displaystyle {\overline {x_{i-1}}}} die x Koordinate des Massenschwerpunkts für das vorherige Bild ist, i-1 und wieder ähnlich für y .

Nach der Berechnung des kartesischen Geschwindigkeitsmoments kann es wie folgt normalisiert werden:

{\displaystyle {\overline {vm_{pq\mu \gamma }}}={\frac {vm_{pq\mu \gamma }}{A*I}}}

Dabei A ist die durchschnittliche Fläche des Objekts in Pixeln und I die Anzahl der Bilder.

Jetzt ist der Wert unabhängig von der Anzahl der Fotos in einer Sequenz und der Größe des Elements.

Da sowohl kartesische Momente als auch kartesische Geschwindigkeitsmomente nicht-orthogonal sind, können unterschiedliche Momente eng miteinander verbunden sein. Diese Geschwindigkeitsmomente bieten jedoch Translation und Skaleninvarianz (es sei denn, die Skala ändert sich innerhalb der Bildsequenz).

Der Zernike-Moment eines einzelnen Bildes wird berechnet durch

{\displaystyle A_{mn}={\frac {m+1}{\pi }}\sum _{x}\sum _{y}[V_{mn}(r,\theta )]^{*}P_{xy}}

wobei ^{*} das komplexe Konjugat bezeichnet, m eine ganze Zahl zwischen {\displaystyle 0} und ist \infty , und n eine ganze Zahl ist, die {\displaystyle m-|n|} gerade und  ist {\displaystyle |n|

Um Zernike-Momente zu bestimmen, wird das Bild, Ein relevanter Teil des Bildes wird auf die Einheitsscheibe abgebildet, dann {\displaystyle P_{xy}} ist die Intensität des Pixels an dem Punkt (x,y) auf der Scheibe und {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1} ist eine Einschränkung der Werte von x und y .

Die Koordinaten werden dann in die Polarform umgewandelt und r \theta sind die Polarkoordinaten des Punktes (x,y) auf der Einheitsscheibenkarte.

{\displaystyle V_{mn}(r,\theta )} leitet sich von Zernike-Polynomen ab und ist definiert durch

{\displaystyle V_{mn}(r,\theta )=R_{mn}(r)e^{jn\theta }}{\displaystyle R_{mn}(r)=\sum _{s=0}^{\frac {m-|n|}{2}}(-1)^{s}F(m,n,s,r)}{\displaystyle F(m,n,s,r)={\frac {(m-s)!}{s!({\frac {m+|n|}{2}}-s)!({\frac {m-|n|}{2}}-s)!}}r^{m-2s}}

Momente der Zernike-Geschwindigkeit basieren auf diesen Zernike-Momenten.

Ein Zernike-Geschwindigkeitsmoment {\displaystyle A_{mn\mu \gamma }} ist definiert durch

{\displaystyle A_{mn\mu \gamma }={\frac {m+1}{\pi }}\sum _{i=2}^{images}\sum _{x=1}\sum _{y=1}U(i,\mu ,\gamma )[V_{mn}(r,\theta )]^{*}P_{i_{xy}}}

wobei {\displaystyle images} wiederum die Anzahl der Bilder in der Sequenz und {\displaystyle P_{i_{xy}}} die Intensität des Pixels an dem Punkt (x,y) auf der Einheitsscheibe ist, der aus dem Bild abgebildet ist i .

{\displaystyle U(i,\mu ,\gamma )} führt die Geschwindigkeit auf die gleiche Weise wie in den kartesischen Geschwindigkeitsmomenten in die Gleichung ein und {\displaystyle [V_{mn}(r,\theta )]^{*}} stammt aus der obigen Zernike-Momente-Gleichung.

Ähnlich wie die kartesischen Geschwindigkeitsmomente können die Zernike-Geschwindigkeitsmomente mit der gleichen Formel normalisiert werden.

{\displaystyle {\overline {A_{mn\mu \gamma }}}={\frac {A_{mn\mu \gamma }}{A*I}}}

Dabei A ist die durchschnittliche Fläche des Objekts in Pixeln und I die Anzahl der Bilder.

Aufgrund der Tatsache, dass Zernike-Geschwindigkeitsmomente von orthogonalen Zernike-Momenten abgeleitet werden, bieten sie weniger korrelierte und kompaktere Beschreibungen als kartesische Geschwindigkeitsmomente. Darüber hinaus bieten Zernike-Geschwindigkeitsmomente Translation und Skaleninvarianz (auch wenn sich die Skala innerhalb der Sequenz ändert).

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) sind partielle Differentialgleichungen, die die Bewegung viskoser flüssiger Substanzen beschreiben, die Namensgeber waren Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes. Beide waren französische Ingenieure und Physiker.

Sie sind das Ergebnis jahrzehntelanger Forschung und schrittweiser Theorieentwicklung, die sich von 1822 (Navier) bis 1842-1850 (Stokes) erstreckten.

Impulserhaltung und -ausgleich werden quantitativ durch die Navier-Stokes-Gleichungen für Newtonsche Flüssigkeiten ausgedrückt. Eine Zustandsgleichung, die Druck, Temperatur und Dichte miteinander verbindet, wird manchmal daneben gestellt. Unter der Annahme, dass die Spannung im Fluid gleich dem Produkt aus einer diffundierenden viskosen Komponente (proportional zum Geschwindigkeitsgradienten) und einem Druckterm ist, ergeben sie sich aus der Anwendung des zweiten Gesetzes von Isaac Newton auf die Bewegung des Fluids. Die Navier-Stokes-Gleichungen ähneln den Euler-Gleichungen, aber die Euler-Gleichungen modellieren nur die viskose Strömung, während die Navier-Stokes-Gleichungen auch die Viskosität berücksichtigen. Mit diesem Kompromiss in der mathematischen Struktur gehen die verbesserten analytischen Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichung einher, die eine parabolische Gleichung sind (d.h. sie sind nie vollständig integrierbar).

Die Physik vieler Phänomene von wissenschaftlichem und technischem Interesse kann durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden, was sie zu einem nützlichen Werkzeug macht. Sie können sie verwenden, um alles zu simulieren, vom Wetter über Meeresströmungen bis hin zur Wasserströmung in einer Leitung und Luftströmung über einen Flügel. Flugzeug- und Automobilbau, Blutflussforschung, Kraftwerksbau, Umweltverträglichkeitsprüfung und viele weitere Bereiche profitieren alle von den vollständigen und vereinfachten Navier-Stokes-Gleichungen. Sie können verwendet werden, um die Magnetohydrodynamik zu modellieren und zu analysieren, wenn sie mit den Maxwell-Gleichungen gekoppelt sind.

Auch im rein mathematischen Sinne sind die Navier-Stokes-Gleichungen von enormem Interesse. Die Existenz von glatten Lösungen in drei Dimensionen, d.h. Lösungen, die an allen Standorten in der Domäne endlos differenzierbar (oder auch nur