Level-Set-Methode: Weiterentwicklung der Computer Vision, Erforschung der Level-Set-Methode

Von Fouad Sabry

Was ist die Level-Set-Methode

Die Level-Set-Methode (LSM) ist ein konzeptioneller Rahmen für die Verwendung von Level-Sets als Werkzeug für die numerische Analyse von Oberflächen und Formen. LSM kann numerische Berechnungen mit Kurven und Flächen auf einem festen kartesischen Gitter durchführen, ohne diese Objekte parametrisieren zu müssen. LSM erleichtert die Durchführung von Berechnungen für Formen mit scharfen Ecken und Formen, die die Topologie ändern. Diese Eigenschaften machen LSM effektiv für die Modellierung von Objekten, die sich im Laufe der Zeit ändern, wie beispielsweise das Aufblasen eines Airbags oder ein im Wasser schwimmender Öltropfen.

Ihre Vorteile

(I) Einblicke und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Level-Set-Methode

Kapitel 2: Navier?Stokes-Gleichungen

Kapitel 3: Greensche Funktion

Kapitel 4: Hämorheologie

Kapitel 5: Autoregressives Modell

Kapitel 6: Blasius-Grenzschicht

Kapitel 7: Gesamtvariation abnehmend

Kapitel 8: Godunovs Theorem

Kapitel 9: Wirbelgittermethode

Kapitel 10: Phasenfeldmodell

( II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zur Level-Set-Methode.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der Level-Set-Methode in vielen Bereichen.

Wer dieses Buch ist für

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen oder die Informationen für jede Art von Level-Set-Methode hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 11. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Level-Set-Methode

Bei der numerischen Analyse von Flächen und Formen bieten Level-Set-Methoden (LSM) eine konzeptionelle Grundlage für den Einsatz von Level-Sets. Das Level-Set-Modell ist nützlich, weil es es ermöglicht, numerische Berechnungen mit Kurven und Flächen auf einem festen kartesischen Gitter durchzuführen, ohne diese Objekte parametrisieren zu müssen (dies wird als Eulerscher Ansatz bezeichnet). Die Level-Set-Technik ermöglicht auch die mühelose Verfolgung von Strukturen, die topologischen Veränderungen unterliegen, wie z. B. solche, die Bifurkation, Okklusion oder die Umkehrung dieser Prozesse erfahren. Diese Eigenschaften machen den Level-Set-Ansatz nützlich, um Phänomene zu simulieren, die sich im Laufe der Zeit ändern, wie z. B. das Aufblasen eines Airbags oder ein Öltropfen, der im Wasser schwimmt.

Das rechte Diagramm erläutert zahlreiche Schlüsselpunkte des Level-Set-Ansatzes.

Man kann in der oberen linken Ecke eine Form erkennen; das heißt, ein geschlossener Raum mit einem geordneten Rahmen.

Darunter ist die rote Fläche der Graph einer Ebenenmengenfunktion \varphi , die diese Form bestimmt, wobei der blaue Bereich für die xy-Ebene steht.

Die Begrenzung der Form ist dann die Null-Level-Menge von \varphi , während die Form selbst die Menge von Punkten in der Ebene ist, für die \varphi positiv (Innenseite der Form) oder Null (an der Grenze) ist.

In der ersten Spalte erfährt das Shape durch Gabelung eine topologische Transformation. Die Parametrisierung der Grenzen der Form und die Verfolgung ihrer Entwicklung zur numerischen Beschreibung dieses Übergangs wäre eine Herausforderung. Um Parametrisierungen für die beiden resultierenden Kurven zu erstellen, benötigt man einen Algorithmus, der den Punkt identifizieren kann, an dem sich die Form in zwei Hälften teilt. Im Gegensatz dazu wurde die Level-Set-Funktion nur in der unteren Zeile nach unten übersetzt. In Fällen wie diesen, in denen der Umgang mit der Form selbst das Nachdenken und Berücksichtigen all der verschiedenen Verformungen erfordern würde, die die Form erleiden könnte, kann es wesentlich bequemer sein, mit der Form über ihre Level-Set-Funktion zu arbeiten.

Innerhalb einer einzelnen Ebene läuft die Level-Set-Methode also darauf hinaus, eine geschlossene Kurve \Gamma (wie in unserem Beispiel die Formgrenze) mit einer Hilfsfunktion \varphi , kurz Level-Setting Function, darzustellen.

\Gamma wird als Null-Level-Menge von \varphi durch

{\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},}

und die level-set-Methode manipuliert \Gamma implizit durch die Funktion \varphi .

Es \varphi wird angenommen, dass diese Funktion positive Werte innerhalb des durch die Kurve begrenzten Bereichs und \Gamma negative Werte außerhalb annimmt.

Wenn sich die Kurve \Gamma mit einer Geschwindigkeit in die Normalenrichtung bewegt v , erfüllt die Level-Set-Funktion \varphi die Level-Set-Gleichung

\frac{\partial\varphi}{\partial t} = v|\nabla \varphi|.

Hier |\cdot | ist die euklidische Norm (üblicherweise durch einzelne Balken in PDEs bezeichnet) und t die Zeit.

Eine partielle Differentialgleichung sieht folgendermaßen aus: eine Gleichung der Hamilton-Jacobi-Art, und es gibt numerische Lösungen, z. B. mit einem kartesischen Gitter und endlichen Differenzen.

Betrachten Sie einen Einheitskreis in {\textstyle \mathbb {R} ^{2}} , der sich ständig in sich selbst zusammenzieht, d.h.

Mit konstanter Geschwindigkeit bewegen sich alle Punkte am Rand des Kreises entlang der Richtung der Normalen, die nach innen zeigt.

Die Kugel wird kleiner, bis sie zu einem Punkt wird.

Wenn ein Entfernungsfeld von vornherein angelegt wird (z.

Vorzeichenbasierter euklidischer Abstand zur Randfunktion, positiv innen, außen (negativ auf dem ersten Kreis), Die Kreisnormale ist der normalisierte Gradient dieses Körpers.

Wenn ein konstanter Wert im Laufe der Zeit vom Feld subtrahiert wird, haben die resultierenden Felder eine kreisförmige Nullebene (die ursprüngliche Grenze), die schließlich zu einem Punkt zusammenfällt. Da dies dasselbe ist wie die Zeitintegration der Eikonalgleichung für eine konstante Frontgeschwindigkeit, können wir daraus schließen, dass.

Die G-Gleichung wird verwendet, um die momentane Flammenoberfläche bei der Verbrennung zu charakterisieren.

1979 führte Alain Dervieux den Level-Set-Ansatz ein, der später von Stanley Osher und James Sethian populär gemacht wurde. Es hat weit verbreitete Verwendung in so unterschiedlichen Bereichen wie Computational Biology, Computational Geometry und Computational Fluid Dynamics gefunden.

Es wurden mehrere Level-Set-Datenstrukturen erstellt, um die Level-Set-Technik für die Verwendung in Computerumgebungen zugänglicher zu machen.

Numerische Strömungsmechanik

Verbrennung

Trajektorien-Planung

Optimierung

Bildverarbeitung

Computergestützte Biophysik

Parameterraum und dynamischer Raum visualisiert in diskreter, komplizierter Dynamik

Um ein mathematisches Modell an der Grenzfläche zweier Flüssigkeiten auszuführen, müssen wir die Wechselwirkungen zwischen den Flüssigkeiten dämpfen. Dies erfordert die Verwendung einer ganz bestimmten Funktion: Methode zum Verdichten von Pegelsätzen.

Als Spin-off ist der Begleiter des LSM, der CompactLSM, der bei der Auflösung von LSM-Gleichungen hilft.

Es hat Anwendungen in der numerischen Strömungssimulation, zum Beispiel: Wenn die Wasser-Luft-Wechselwirkung diskretisiert werden soll, dann garantieren Kompakt 6. Ordnung eine schnelle und präzise Lösung der Gleichungen an der Grenzfläche (Monteiro 2018).

Das LSM verwendet eine Abstandsfunktion, um bestimmte Flüssigkeiten zu identifizieren. Der kleinste Wert einer Abstandsfunktion zwischen dem Analysepunkt und der Schnittstelle ist 1. Positive Werte dieser Abstandsfunktion zeigen das Vorhandensein einer Flüssigkeit an, negative Werte zeigen das Vorhandensein der anderen an und Null zeigt die Position der Grenzfläche an, wie durch die entsprechenden Isolinien (2D) oder Isoflächen (3D) dargestellt.

Wie integriert man bei der Verwendung des Compact Level Set-Ansatzes die Heaviside-Funktion?

Aufgrund der Diskontinuität der spezifischen Masse und Viskosität am Kontakt führt ein unzureichendes Management der Flüssigkeit in der Nähe der Grenzfläche sowohl zu übermäßigen Diffusionsproblemen (Grenzflächenverbreiterung) als auch zu numerischen Schwingungen.

Um die Auswirkungen dieser Probleme zu reduzieren, verwendet der Level-Set-Ansatz eine graduelle, zellenbezogene Heaviside-Funktion, die die Schnittstellenposition explizit definiert ( \varphi =0 ).

Die Grenzfläche bleibt jedoch durchgehend flüssig, mit einer Dicke auf der gleichen Skala wie eine Zelle, so dass keine Störungen auf der gleichen Skala wie das Netz eingeführt werden, da die Grenzfläche einen diskontinuierlichen Übergang von einer Zelle zur nächsten impliziert (Unverdi und Tryggvason, 1992).

Bei der Rekonstruktion der Materialeigenschaften der Strömung, wie Dichte und Schubspannung, kommt hier eine weitere Funktion von Markern {\displaystyle I(\varphi )} vom Typ Heaviside zum Einsatz:

wobei \delta ein empirischer Koeffizient ist, ist die Norm 1; 5 und \Delta ist die charakteristische Diskretisierung des Problems, die mit dem modellierten Phänomen variieren.

Der Wert von \delta stellt eine Schnittstelle mit einer Dicke von drei Zellen dar und stellt somit {\displaystyle \delta \Delta } die Hälfte der Dicke der Schnittstelle dar.

Beachten Sie, dass diese Technik, Virtuelle Dicke, an der Schnittstelle existiert, da sie nach einer kontinuierlichen Funktion modelliert ist.

Physikalische Eigenschaften, einschließlich kinematischer Viskosität und spezifischer Masse, werden wie folgt ermittelt:

wobei \rho _{1} , \rho _{2} , v_{1} und v_{2} die spezifische Masse und kinematische Viskosität der Flüssigkeiten 1 und 2 sind.

Ähnliche Analogien gelten für die Anwendung von Gleichung 2 auf die anderen Fluideigenschaften.

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) sind partielle