Anisotrope Diffusion: Verbesserung der Bildanalyse durch anisotrope Diffusion

Von Fouad Sabry

Was ist anisotrope Diffusion

In der Bildverarbeitung und Computer Vision ist anisotrope Diffusion, auch Perona-Malik-Diffusion genannt, eine Technik, die darauf abzielt, Bildrauschen zu reduzieren, ohne wesentliche Teile zu entfernen des Bildinhalts, typischerweise Kanten, Linien oder andere Details, die für die Interpretation des Bildes wichtig sind. Anisotrope Diffusion ähnelt dem Prozess, der einen Skalenraum erzeugt, in dem ein Bild auf der Grundlage eines Diffusionsprozesses eine parametrisierte Familie von nach und nach immer unschärferen Bildern erzeugt. Jedes der resultierenden Bilder in dieser Familie wird als Faltung zwischen dem Bild und einem 2D-isotropen Gaußschen Filter angegeben, wobei die Breite des Filters mit dem Parameter zunimmt. Dieser Diffusionsprozess ist eine lineare und rauminvariante Transformation des Originalbildes. Die anisotrope Diffusion ist eine Verallgemeinerung dieses Diffusionsprozesses: Sie erzeugt eine Familie parametrisierter Bilder, aber jedes resultierende Bild ist eine Kombination zwischen dem Originalbild und einem Filter, der vom lokalen Inhalt des Originalbilds abhängt. Folglich ist die anisotrope Diffusion eine nichtlineare und raumvariante Transformation des Originalbilds.

Wie Sie davon profitieren

(I) Einblicke und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Anisotrope Diffusion

Kapitel 2: Ficksche Diffusionsgesetze

Kapitel 3: Diffusionsgleichung

Kapitel 4: Wärmegleichung

Kapitel 5: Navier-Stokes-Gleichungen

Kapitel 6: Gesamtvariation

Kapitel 7: Divergenz

Kapitel 8: Laplace-Operator

Kapitel 9: Curl (Mathematik)

Kapitel 10: Divergenzsatz

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zu Anisotropie Diffusion.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der anisotropen Diffusion in vielen Bereichen.

Für wen dieses Buch gedacht ist

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen oder die Informationen für jede Art von anisotroper Diffusion hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 28. Apr. 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Anisotrope Diffusion

Die anisotrope Diffusion, auch bekannt als Perona-Malik-Diffusion, ist eine Methode, die in der Bildverarbeitung und im Computer Vision verwendet wird, um das Rauschen in einem Bild zu reduzieren, ohne interpretierbare Bildmerkmale wie Kanten, Linien und andere feinere Details zu beeinträchtigen. Bei der anisotropen Diffusion entwickelt ein Bild durch einen Diffusionsprozess eine parametrisierte Familie zunehmend unscharfer Bilder, analog zu dem Prozess, der einen Skalenraum bildet. Jedes Ausgabebild in dieser Familie wird durch die Faltung des Originals mit einem isotropen 2-dimensionalen Gauß-Filter dargestellt, dessen Breite skaliert wird, wenn der Parameter erhöht wird. Das Bild wird durch den Diffusionsprozess linear und rauminvariant transformiert. Bei der anisotropen Diffusion wird das Originalbild mit einem Filter kombiniert, der wiederum vom lokalen Inhalt des Originalbildes abhängig ist, um eine Familie parametrisierter Bilder zu erhalten. Daher ist die anisotrope Diffusion eine Änderung des ursprünglichen Bildes, die sowohl nichtlinear als auch raumvariant ist.

Seit den Anfängen mit der Präsentation von Perona und Malik im Jahr 1987 sind die erzeugten Bilder in der Lage, lineare Strukturen beizubehalten und gleichzeitig nach denselben Mustern geglättet zu werden. In beiden Szenarien ist der Diffusionskoeffizient eine Funktion der räumlichen Position des Bildes und nimmt daher einen Matrixwert (oder Tensorwert) an, anstatt ein konstanter Skalar zu bleiben (siehe Strukturtensor).

Obwohl der lokal angepasste Filter und seine Kombination mit dem Bild als eine Kombination aus dem Originalbild und raumvarianten Filtern konzipiert werden kann, ist dies für die resultierende Bildfamilie nicht erforderlich. Jedes neue Bild in der Familie wird berechnet, indem diese Gleichung auf das vorhergehende Bild angewendet wird, wodurch eine anisotrope Diffusion durch eine Näherung der verallgemeinerten Diffusionsgleichung möglich wird. Um den gewünschten Glättungsgrad zu erreichen, ist die anisotrope Diffusion ein iterativer Prozess, bei dem ein sehr einfacher Satz von Berechnungen verwendet wird, um jedes aufeinanderfolgende Bild in der Familie zu berechnen.

Formal bezeichnen wir \Omega \subset {\mathbb {R}}^{2} eine Teilmenge der Ebene und I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow {\mathbb {R}} eine Familie von Graustufenbildern.

{\displaystyle I(\cdot ,0)} ist das Eingabebild.

Dann können wir die anisotrope Diffusion als

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}

wobei \Delta der Laplaceian, \nabla der Gradient, {\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )} der Divergenzoperator und c(x,y,t) der Diffusionskoeffizient bezeichnet wird.

Für {\displaystyle t>0} ist das Ausgabebild als verfügbar {\displaystyle I(\cdot ,t)} , wobei größere t Bilder unschärfere Bilder erzeugen.

c(x,y,t) steuert die Diffusionsrate und wird in der Regel in Abhängigkeit vom Bildverlauf gewählt, um die Kanten im Bild zu erhalten.

Die anisotrope Diffusion wurde erstmals 1990 von Pietro Perona und Jitendra Malik vorgeschlagen, die auch zwei Funktionen für den Diffusionskoeffizienten vorschlugen:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}

und

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

Die Konstante K bestimmt, wie empfindlich das System auf Kanten reagiert. Sie wird in der Regel empirisch oder basierend auf dem Grad des Bildrauschens ausgewählt.

Bezeichnen wir M die Mannigfaltigkeit glatter Bilder, so können die oben vorgestellten Diffusionsgleichungen als Gradientenabstiegsgleichungen zur Minimierung des Energiefunktionals interpretiert werden, E:M\rightarrow {\mathbb {R}} definiert durch

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{{\Omega }}g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

wobei g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}} eine reellwertige Funktion ist, die eng mit dem Diffusionskoeffizienten zusammenhängt.

Dann für jede kompakt gelagerte, unendlich differenzierbare Prüffunktion h ,

{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}

wobei die letzte Zeile eine Folge der mehrteiligen mehrdimensionalen Integration ist.

Bezeichnen wir \nabla E_{I} den Gradienten von E in Bezug auf das L^{2}(\Omega ,{\mathbb {R}}) innere Produkt, das bei I ausgewertet wird, so ergibt sich

{\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen für den Gradientenabstieg der Funktion E:

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

Man erhält also die c=g' anisotropen Diffusionsgleichungen.

Der Diffusionskoeffizient c(x,y,t) , wie von Perona und Malik vorgeschlagen, kann zu Instabilitäten führen, wenn {\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}} .

Es wird gezeigt, dass diese Bedingung äquivalent zu einem negativen Wert für den physikalischen Diffusionskoeffizienten ist (der sich von dem mathematischen Diffusionskoeffizienten unterscheidet, der von Perona und Malik definiert wurde) und somit zu einer Rückwärtsdiffusion führt, die die Kontraste der Bildintensität akzentuiert, anstatt sie zu glätten.

Um das Problem zu vermeiden, haben die Menschen bewiesen, dass räumliche Regularisierungen zu einer konvergenten und konstanten stationären Lösung führen, daher ist eine Regularisierung erforderlich.

Die Regularisierung der P-M-Gleichung (die noch erklärt wird) hat einen anderen Namen:.

Mit dieser Methode wird das Unbekannte mit einer Gauß-Gleichung innerhalb der Nichtlinearität gefaltet, um eine modifizierte Perona-Malik-Gleichung zu erhalten.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}

wobei

{\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}

.

Diese Regularisierung ermöglicht es, die Gleichung gut aufzustellen, führt aber auch den Unschärfeeffekt ein, der typischerweise mit der Regularisierung verbunden ist. Da der Regularisierungsparameter vorher ausgewählt werden muss, ist es wichtig, den Geräuschpegel im Voraus zu kennen.

Rauschen in digitalen Fotos kann durch anisotrope Diffusion geglättet werden, ohne die Schärfe der Bildränder zu beeinträchtigen. Die anisotropen Diffusionsgleichungen können zur Wärmegleichung vereinfacht werden, die mit der Gaußschen Unschärfe identisch ist, wenn der Diffusionskoeffizient konstant bleibt. Dies funktioniert wunderbar zur Unterdrückung von Hintergrundgeräuschen, aber es weicht Kanten ohne Unterscheidung ab. Wenn der Diffusionskoeffizient als Funktion verwendet wird, um scharfe Kanten zu verhindern, wie bei der Perona-Malik-Methode, dann fördern die resultierenden Gleichungen die Diffusion (und damit die Glättung) in den weniger intensiven Teilen des Bildes, während sie sie über scharfe Kanten hinweg hemmen. Dadurch werden die Bildränder geschützt und das Rauschen reduziert.

Analog zur Rauschunterdrückung können Kantenerkennungsalgorithmen von der Anwendung der anisotropen Diffusion profitieren. Nach einer bestimmten Anzahl von Diffusionsiterationen mit einem kantensuchenden Diffusionskoeffizienten hat sich das Bild so entwickelt, dass es stückweise konstant wird, wobei die Kanten die Grenzen zwischen den konstanten Komponenten anzeigen.

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Diffusionsgesetze

Adolf schlug seine Diffusionsgesetze ursprünglich 1855 vor und beschrieb die Diffusion auf der Grundlage von meist experimentellen Beweisen. Das erste Gesetz von D. kann verwendet werden, um sein zweites Gesetz zu erhalten, das gleich der Diffusionsgleichung ist, und beide können verwendet werden, um den Diffusionskoeffizienten zu lösen.

Normale oder Ficksche Diffusion bezieht sich auf einen Diffusionsprozess, der den Fickschen Gesetzen folgt; anomale oder nicht-Ficksche Diffusion bezieht sich auf einen Prozess, der von diesen Regeln abweicht.

Die heute berühmten Regeln der Massendiffusion wurden erstmals 1855 von dem Wissenschaftler Adolf beschrieben. Inspiration für Arbeit waren Thomas Grahams frühere Untersuchungen, die zwar interessant waren, aber nicht die wesentlichen Gesetze lieferten, für die berühmt werden sollte. Das Ficksche Gesetz ist vergleichbar mit anderen Gesetzen, die zur gleichen Zeit von anderen Koryphäen entdeckt wurden, wie z.B. dem Darcyschen Gesetz (hydraulische Strömung), dem Ohmschen Gesetz (Ladungstransport) und dem Fourierschen Gesetz (Frequenzanalyse) (Wärmetransport).

Basierend auf Grahams Arbeit führte Experimente durch, in denen er die Konzentrationen und Flüsse von Salz maß, während es durch Wasserröhren von einem Reservoir zum anderen diffundierte. Eine Diffusion in Festkörpern wurde damals allgemein nicht für denkbar gehalten, daher konzentrierte sich Studie ausschließlich auf die Diffusion in Flüssigkeiten. Nicht-Fickianer ist ein Begriff, der verwendet wird, um es zu beschreiben.

Nach dem ersten Fickschen Gesetz ist der Diffusionsfluss proportional zum Konzentrationsgradienten. In seiner einfachsten Form ist es die Vorstellung, dass ein gelöster Stoff über einen Konzentrationsgradienten von einem hochkonzentrierten in einen niedrig konzentrierten Bereich wandert, wobei die Menge des Flusses proportional zum Konzentrationsgradienten ist (räumliche Ableitung). Verschiedene Varianten des Gesetzes können in einer einzigen (räumlichen) Dimension ausgedrückt werden, wobei das Molarenfundament am weitesten verbreitet ist:

{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}

wo

J ist der Diffusionsfluss, dessen Dimension die Stoffmenge pro Flächeneinheit pro Zeiteinheit ist. J misst die Menge an Substanz, die während eines Zeitintervalls durch eine Einheitsfläche fließt.

D ist der Diffusionskoeffizient oder die Diffusivität. Seine Abmessung ist die Fläche pro Zeiteinheit.

φ (für ideale Gemische) ist die Konzentration, die in der Masse pro Volumeneinheit gemessen wird.

x ist die Position, deren Dimension die Länge ist.

D ist proportional zur quadratischen Geschwindigkeit der diffundierenden Teilchen, d.h. temperaturabhängig, gemäß der Stokes-Einstein-Relation, der Viskosität des Fluids und der Partikelgröße.

In verdünnten wässrigen Lösungen sind die Diffusionskoeffizienten der meisten Ionen ähnlich und haben Werte, die bei Raumtemperatur im Bereich von (0,6–2)×10−9 m2/s liegen.

Für biologische Moleküle liegen die Diffusionskoeffizienten normalerweise zwischen 10−10 und 10−11 m2/s.

In zwei oder mehr Dimensionen müssen wir ∇-, Gradienten- oder del-Operator verwenden. Er umfasst die erste Ableitung in ihrer Gesamtheit und erhält

{\displaystyle \mathbf {J} =-D\nabla \varphi }

Der Diffusionsflussvektor wird mit dem Buchstaben J bezeichnet.

Die treibende Kraft für die eindimensionale Diffusion ist die Menge −∂φ/

∂x

, das ist der Konzentrationsgradient für homogene Gemische.

Eine andere Form für den ersten Hauptsatz besteht darin, ihn mit der Primärvariablen als Massenanteil zu schreiben (yi, dargestellt zur Veranschaulichung in kg/kg, Danach verschiebt sich die Gleichung zu:

{\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}}

wo

Die i-te Spezies wird durch den Index i angegeben, Ji ist der Diffusionsflussvektor der i-ten Spezies (z. B. in mol/m2-s), Mi ist die molare Masse der i-ten Spezies und

ρ ist die Mischungsdichte (z.B. in kg/m3).

Beachten Sie, dass sich der \rho außerhalb des Verlaufsoperators befindet.

Aus diesem Grund:

{\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }}}

wobei ρsi die Partialdichte der i-ten Spezies ist.

Darüber hinaus ist der chemische Potentialgradient einer Spezies die treibende Kraft für die Diffusion dieser Spezies in andere chemische Systeme als perfekte Lösungen oder Gemische. Dann kann das erste Gesetz der Fickschen Theorie (in einer einzigen Dimension) formuliert werden.

J_i = - \frac{D c_i}{RT} \frac{\partial \mu_i}{\partial x}

wo

Die i-te Art wird durch den Index i angegeben.

c ist die Konzentration (mol/m3).

R ist die universelle Gaskonstante (J/K/mol).

T ist die absolute Temperatur (K).

μ ist das chemische Potential (J/mol).

Das Flüchtigkeitsdifferential ist der treibende Faktor hinter dem Fickschen Gesetz:

{\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}}}

Fugacity f_{i} verfügt über Pa-Einheiten.

f_{i} ist ein Partialdruck der Komponente I in einer Dampf- {\displaystyle f_{i}^{G}} oder Flüssigphase {\displaystyle f_{i}^{L}} .

Im Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewicht ist der Verdampfungsfluss Null, weil {\displaystyle f_{i}^{G}=f_{i}^{L}} .

Hier finden Sie vier verschiedene Formulierungen des Fickschen Gesetzes für binäre Gasgemische. Diese setzen entweder einen konstanten Druck voraus oder dass die molaren Massen der beiden Spezies gleich sind, dass die thermische Diffusion minimal ist und dass die Körperkraft pro Masseeinheit für beide gleich ist. Die Diffusionsgleichung