Affine Transformation: Visuelle Perspektiven freischalten: Erforschung der affinen Transformation in der Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was ist eine affine Transformation?

In der euklidischen Geometrie ist eine affine Transformation oder Affinität eine geometrische Transformation, die Linien und Parallelität beibehält, aber nicht unbedingt euklidische Abstände und Winkel.

Wie Sie davon profitieren

(I) Einblicke und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Affine Transformation

Kapitel 2: Lineare Karte

Kapitel 3: Translation (Geometrie)

Kapitel 4: Affine Group

Kapitel 5: Affine Space

Kapitel 6: Transformationsmatrix

Kapitel 7: Baryzentrisches Koordinatensystem

Kapitel 8: Realer Koordinatenraum

Kapitel 9: Eigenwerte und Eigenvektoren

Kapitel 10: Eigenzerlegung einer Matrix

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen zur affinen Transformation.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der affinen Transformation in vielen Bereichen.

Für wen sich dieses Buch eignet

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über das Grundwissen hinausgehen möchten oder Informationen für jede Art von affiner Transformation.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 28. Apr. 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Affine Transformation

Eine affine Transformation (von lateinisch affinis, verbunden mit) ist eine geometrische Transformation in der euklidischen Geometrie, die gerade Linien und Parallelität beibehält, aber die Längen und Richtungen der beteiligten Winkel und Abstände ändert.

Eine allgemeinere Definition einer affinen Transformation ist ein Automorphismus eines affinen Raums (euklidische Räume sind Spezialfälle affiner Räume), d.h. eine Funktion, die einen affinen Raum auf sich selbst abbildet, während das Verhältnis der Längen paralleler Geradensegmente beibehalten wird. Daher behalten Mengen paralleler affiner Unterräume nach einer affinen Transformation ihre Parallelität bei. Abstände und Winkel zwischen Geraden werden nicht immer durch eine affine Transformation beibehalten, aber Entfernungsverhältnisse entlang einer Geraden bleiben erhalten.

Unter der Annahme, dass X die Punktmenge eines affinen Raums ist, können wir jede affine Transformation auf X als Kombination aus einer linearen Transformation auf X und einer Übersetzung von X schreiben. Im Gegensatz zu einer linearen Transformation muss der Startpunkt des affinen Raums bei einer affinen Transformation nicht gleich bleiben. Dementsprechend ist jede affine Transformation linear, aber nicht jede lineare Transformation ist affin.

Zu den affinen Transformationen gehören Translation, Vergrößerung, Reduktion, Homologie, Ähnlichkeit, Reflexion, Rotation, Scherabbildung und jede Kombination oder Sequenz davon.

Affine Transformationen sind jene projektiven Transformationen eines projektiven Raums, die die Invarianz der Hyperebene im Unendlichen beibehalten und den affinen Raum als Komplement der Hyperebene im Unendlichen definieren.

Eine affine Zuordnung ist eine allgemeinere Form einer affinen Transformation.

Stellen Sie sich ein Feld k und einen affinen Raum X vor, wobei V den Vektorraum bezeichnet, zu dem es gehört.

Eine Bijektion f von X auf sich selbst wird als affine Transformation bezeichnet; das bedeutet, dass eine lineare Abbildung g von V nach V  wie üblich durch die Gleichung hier gut definiert ist {\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);} . Der freie Vektor von Punkt 2 nach Punkt 1 wird durch die Differenz dieser beiden Punkte bezeichnet, und wohldefiniert bedeutet, dass {\displaystyle y-x=y'-x'}

{\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}

Wenn X mindestens zwei Dimensionen hat, dann existiert eine Bijektion von X auf sich selbst, die mit f bezeichnet wird, so dass:

Wenn S ein affiner Unterraum von X in der Dimension d ist, dann ist f (S) auch ein affiner Unterraum von X in der Dimension d.

Daraus folgt, dass f (S) und f (T) genau dann parallel sind, wenn S und T parallele affine Unterräume von X sind.

Affine Transformationen erfüllen diese beiden Bedingungen, die genau ausdrücken, was mit dem Ausdruck f bewahrt Parallelität gemeint ist.

Die zweite Bedingung folgt logisch aus der ersten, so dass sie nicht getrennt betrachtet werden können.

Ein affiner Raum V wirkt definitionsgemäß auf X, so dass für jede Menge von zwei (x, v) in X × V ein Punkt y in X zugeordnet ist.

Wir können diese Aktion durch v→(x) = y bezeichnen.

Hier verwenden wir die Konvention, dass v→ = v zwei austauschbare Notationen für ein Element von V sind.

Durch Fixieren eines Punktes c in X kann man eine Funktion mc : X → V durch mc(x) = cx→ definieren.

Unter der Annahme eines c handelt es sich um eine Eins-zu-eins-Abbildung mit dieser Funktion und hat daher eine inverse Funktion mc−¹ : V → X, gegeben durch mc−1(v) = v→(c).

Indem wir diese Operationen definieren, können wir X in einen Vektorraum (in Bezug auf c) transformieren:

{\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}

und

{\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}

Trotz der Tatsache, dass dieser Vektorraum mit Ursprung c formal vom affinen Raum X unterschieden werden sollte, wird er in der Praxis meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet und erst nach Angabe eines Ursprungs wird erwähnt, dass es sich um einen Vektorraum handelt. Diese Erkennung ermöglicht die Transformation von der Vektor- zur Punktdarstellung und wieder zurück.

Für jede lineare Transformation λ von V ist L(c) eine Funktion, die definiert werden kann, λ) : X → X durch

{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}

Wenn dies der Fall ist, ist L(c), λ) eine affine Transformation von X , die den Punkt c fest lässt.

Es handelt sich um eine lineare Abbildung von X zu einer anderen Variablen, die durch einen Vektorraum mit c als Mittelpunkt dargestellt wird.

Sei σ eine affine Transformation von X.

Wählen Sie einen Punkt c in X und betrachten Sie die Translation von X durch den Vektor {\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}} , der mit Tw bezeichnet wird.

Affine Transformationen umfassen Übersetzungen, und affine Transformationen schließen ihre Zusammensetzung ein.

Im Lichte dieses spezifischen c existiert eine einzigartige lineare Transformation λ von V , so dass

{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}

Mit anderen Worten, wenn wir X als Vektorraum betrachten, dann kann jede beliebige affine Transformation von X als die Zusammensetzung einer linearen Transformation von X und einer Translation von X geschrieben werden.

Affine Transformationen werden in der Regel in Bezug auf diese Darstellung definiert (wobei die Wahl des Ursprungs implizit ist).

Vor diesem Hintergrund werden affine Karten erstellt, indem eine Translationsfunktion mit einer linearen Abbildung kombiniert wird.

Die Multiplikation von Matrizen wird verwendet, um lineare Abbildungen in der Standardvektoralgebra darzustellen, um Übersetzungen durch Vektoraddition darzustellen.

Formal kann im Grenzwert endlicher Dimensionen, wenn die lineare Abbildung als Multiplikation mit einer invertierbaren Matrix und A die Translation als Addition eines Vektors  dargestellt wird \mathbf {b} , eine affine Abbildung f , die auf einen Vektor wirkt \mathbf {x} , als

{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

Mit Hilfe einer erweiterten Matrix und eines erweiterten Vektors sind keine Multiplikationen mehrerer Matrixn erforderlich, um die Translations- und lineare Abbildung darzustellen.

Die Methode erfordert, dass allen Vektoren eine abschließende 1 hinzugefügt wird und dass die unterste Zeile aller Matrizen mit Nullen, einer Spalte ganz rechts (Übersetzungsvektor) und einer einzelnen Zahl in der unteren rechten Ecke gefüllt wird.

Wenn A eine Matrix ist,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

bedeutet das Gleiche wie

{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

Affine Transformationsmatrix ist ein anderer Name für die oben gezeigte erweiterte Matrix.

In den meisten Situationen, in denen der letzte Zeilenvektor nicht auf , {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]} wird die Matrix in eine Matrix projektiver Transformationen umgewandelt (da sie auch zum Ausführen projektiver Transformationen verwendet werden kann).

Diese Darstellung zeigt die Menge aller invertierbaren affinen Transformationen als semidirektes Produkt von K^{n} und {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)} .

Das Gesetz der Zusammensetzung von Funktionen definiert diese Gruppe, die als affine Gruppe bezeichnet wird.

Beim Multiplizieren von Matrizen und Vektoren wird der Ursprung immer auf den Ursprung übertragen und steht somit nie für eine Translation, bei der der Startpunkt an eine andere Stelle verschoben werden muss.

Durch Hinzufügen der zusätzlichen Ziffer 1 am Ende jedes Vektors kann diese zusätzliche Dimension als eine Teilmenge des abgebildeten Raums betrachtet werden.

Wenn die zusätzliche Koordinate 1 ist, ist der ursprüngliche Raum an diesem Punkt in diesem kleineren Bereich enthalten.

Somit ist der Ursprung des ursprünglichen Raumes bei zu finden {\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)} .

Indem wir eine lineare Transformation auf den höherdimensionalen Raum anwenden, können wir eine Verschiebung innerhalb des ursprünglichen Raumes durchführen (genauer gesagt, eine Verformung in Scherung).

Zu den homogenen Koordinaten gehören z.B. solche, die zur Beschreibung des höherdimensionalen Raums verwendet werden.

Geht man von einem euklidischen Ausgangspunkt aus, so existiert der wahre projektive Raum in den höheren Dimensionen.

Durch Multiplikation der entsprechenden Matrizen können beliebig viele affine Transformationen zu einer einzigen kombiniert werden, wenn mit homogenen Koordinaten gearbeitet wird. Zahlreiche Anwendungen in der Robotik, Computer Vision und Computergrafik sind auf diese Eigenschaft angewiesen.

Wenn die Vektoren {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n+1}} eine Basis des projektiven Vektorraums des Gebiets sind und wenn {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dotsc ,\mathbf {y} _{n+1}} die entsprechenden Vektoren im Kodomänenvektorraum sind, dann ist die erweiterte Matrix M , die diese affine Transformation erreicht

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

ist

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}

Unabhängig davon, ob die Domänen-, Kodomänen- und Bildvektorräume alle die gleiche Anzahl von Dimensionen haben oder nicht, gilt diese Formulierung weiterhin.

Zum Beispiel wird die affine Transformation einer Vektorebene eindeutig aus dem Wissen bestimmt, wo die drei Eckpunkte ( {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}} ) eines nicht entarteten Dreiecks auf () abgebildet werden {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}} , unabhängig davon, ob das Dreieck in der Kodomäne nicht entartet ist oder nicht, und der Anzahl der Dimensionen der Kodomäne.

Bewahrt die affine Struktur bei:

Wenn drei oder mehr Punkte entlang derselben Linie liegen, werden sie als kollinear bezeichnet, und diese Eigenschaft überlebt die Transformation.

Wenn zwei oder mehr Linien einer Transformation unterzogen werden, bleibt ihre Parallelität erhalten.

Eine Menge, die vor einer Transformation konvex ist, bleibt nach der Transformation konvex. Darüber hinaus entsprechen die Extrempunkte des transformierten Satzes den Extrempunkten des ursprünglichen Satzes.

Längenverhältnisse paralleler Liniensegmente: Für unterschiedliche parallele Segmente, die durch Punkte p_{1} und p_{2} definiert sind, p_{3} und  ist p_4 das Verhältnis von {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}} und {\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}} dasselbe wie das von {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}} und {\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}} .

Baryzentren für Punktmengen mit unterschiedlicher Gewichtung.

In Anbetracht der Tatsache, dass affine Transformationen invertiert werden können, ist die quadratische Matrix, die A in ihrer Matrixdarstellung erscheint, invertierbar.

Daher ist die Matrixdarstellung der inversen Transformation

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}

Die affine Gruppe ist die Menge der invertierbaren affinen Transformationen (von einem affinen Raum in einen anderen), die die allgemeine lineare Gruppe des Grades n als Untergruppe hat und selbst eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe des Grades ist n+1 .

Die Ähnlichkeitstransformationen bilden die Untergruppe, wobei A ein Skalar mal einer orthogonalen Matrix ist.

Wenn z. B. die affine Transformation auf der Ebene wirkt und die Determinante von A 1 oder −1 ist, dann ist die Transformation eine äquiareale Abbildung.

Die Gruppe, die durch solche Transformationen gebildet wird, wird als äquiaffine Gruppe bezeichnet.

Eine Isometrie der Ebene in Bezug auf die euklidische Distanz ist eine Transformation, die sowohl äquiaffin als auch eine Ähnlichkeit ist.

Jede dieser Gruppen hat eine Untergruppe von orientierungserhaltenden oder positiven affinen Transformationen: solche, bei denen die Determinante von A positiv ist.

Zu guter Letzt ist dies die Klasse der starren Transformationen in drei Dimensionen (Eigenrotationen und reine Translationen).

Bei Vorhandensein eines Fixpunkts vereinfacht sich die affine Transformation zu einer linearen. Dies könnte unsere Fähigkeit verbessern, die Veränderung zu kategorisieren und zu verstehen. Beispielsweise kann es einfacher sein, das Gesamtverhalten einer Transformation zu visualisieren, wenn sie als Drehung um einen bestimmten Winkel in Bezug auf eine bestimmte Achse beschrieben wird, anstatt als eine Kombination aus einer Verschiebung und einer Drehung. Dies ist jedoch situations- und kontextabhängig.

Eine affine Abbildung {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} zwischen zwei