Das Buch der Mathematik: Band 2

Von Simone Malacrida

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend von den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.
Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht als auch aus der Sicht der Sicht und Definitionen jedes bestimmten Typs und auf praktischer Ebene angenommen, um mehr als 1.000 Übungen zu lösen.
Der Ansatz zur Mathematik wird durch progressives Wissen vergeben und die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge aufgedeckt, damit der Leser einen kontinuierlichen Weg in der Untersuchung dieser Wissenschaft aufbauen kann.
Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analyse und Geometrie verabreichte fortgeschrittene Mathematik und schließlich den Teil der Statistiken, Algebra und Logik.
Das Schreiben steht als All-inclusive-Arbeit in Bezug auf die Mathematik und lässt keinen Aspekt der vielen Facetten aus, die es übernehmen kann.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Simone Malacrida
• Erscheinungsdatum: 12. Feb. 2023
• ISBN: 9798215870600

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Buchvorschau

„Das Buch der Mathematik: Band 2"

SIMONE MALACRIDA

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend mit den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.

Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht angegangen, indem Theoreme und Definitionen jedes einzelnen Typs erläutert werden, als auch auf praktischer Ebene, indem mehr als 1.000 Aufgaben gelöst werden.

Die Herangehensweise an die Mathematik ist durch progressives Wissen gegeben, wobei die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge dargestellt werden, so dass der Leser einen kontinuierlichen Pfad im Studium dieser Wissenschaft aufbauen kann.

Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analysis und Geometrie gegebene fortgeschrittene Mathematik und schließlich der Teil über Statistik, Algebra und Logik.

Die Schrift versteht sich als umfassendes mathematisches Werk, das keinen Aspekt der vielen Facetten auslässt, die es annehmen kann.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

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26 – MULTIVARIABLE REAL-FUNKTIONEN

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27 – DIFFERENZIALGEOMETRIE

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28 – M ULTIVARIABLE LE INTEGRALE BERECHNUNG

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29 – INTEGRALE S VON OBERFLÄCHE UND VOLUMEN

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30 – TENSOR S UND TENSORIAL-MATHEMATIK

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31 – KOMPLEXE ANALYSE

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32 – FUNKTIONSANALYSE

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33 - TRANSFORMIEREN

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34 - DISTRIBUTIONEN

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35 – GEWÖHNLICHE DIFFERENZGLEICHUNGEN

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36 – PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

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26

MULTIVARIABLE REALE FUNKTIONEN

Einführung

Funktionen von reellen Variablen mit mehreren Variablen sind eine Erweiterung dessen, was für reelle Funktionen mit einer Variablen gesagt wurde.

Fast alle für Funktionen mit einer Variablen erwähnten Eigenschaften bleiben gültig (wie Injektivität, Surjektivität und Bijektivität), mit Ausnahme der Ordnungseigenschaft, die nicht definierbar ist.

Der Definitionsbereich einer multivariaten Funktion ist durch das kartesische Produkt der Definitionsbereiche gegeben, die für die einzelnen Variablen berechnet wurden.

Eine Pegelmenge oder Pegelkurve ist die Menge von Punkten, so dass:

Die mit c = 0 gesetzte Ebene wird verwendet, um das Vorzeichen der Funktion im Definitionsbereich zu analysieren.

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Operationen

Die topologische Definition des Grenzwerts ist die gleiche wie für Funktionen mit einer Variablen, die metrische Definition ändert sich wie folgt:

Die Grenze liegt vor, wenn ihr Wert nicht von der Richtung abhängt, in der sie berechnet wird.

Gleiches gilt für die Kontinuität.

Eine Funktion heißt getrennt in Bezug auf eine ihrer Variablen stetig, wenn sie als Funktion der einzelnen Variablen stetig ist und die anderen Konstanten beibehält.

Getrennte Kontinuität ist eine schwächere Bedingung als globale Kontinuität über alle Variablen hinweg.

Für eine Funktion aus mehreren Variablen gibt es jedoch unterschiedliche Ableitungskonzepte.

Wir nennen partielle Ableitung die Ableitung, die nur an einer der Variablen durchgeführt wird, wobei die Ableitung immer als Grenze eines inkrementellen Verhältnisses definiert wird.

Um die partielle Ableitung von der Gesamtableitung zu unterscheiden, wird das Symbol verwendet .

Partielle Ableitungen höherer Ordnung geben die Ordnung an den Exponenten dieses Symbols zurück.

Ein Punkt wird als einfach bezeichnet, wenn die ersten partiellen Ableitungen stetig und nicht Null sind, aber wenn eine der Ableitungen Null ist oder nicht existiert, wird der Punkt als singulär bezeichnet.

Partielle Differenzierbarkeit impliziert getrennte Stetigkeit.

Indem wir das Konzept der partiellen Ableitung von einem Pfad entlang der Koordinatenachsen auf einen beliebigen Pfad erweitern, haben wir die Richtungsableitung.

Sobald ein generischer Einheitsvektor definiert ist, ist die Richtungsableitung entlang dieses Vektors gegeben durch:

Die Richtungsableitung gibt die Änderungsrate der Funktion in Bezug auf die gegebene Richtung an.

Die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen, die die gegenseitige Abhängigkeit der Variablen selbst berücksichtigt, wird als Gesamtableitung bezeichnet.

Zum Beispiel haben wir:

Differenzierbarkeit ist jedoch keine hinreichende Bedingung für Stetigkeit.

Eine hinreichende Bedingung ist stattdessen durch Differenzierbarkeit gegeben.

Eine Funktion mehrerer Variablen ist an einem Punkt in einer offenen Menge des n-dimensionalen euklidischen Raums R differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung L gibt, so dass die folgende Beziehung gilt:

Das gesamte Primzahldifferential ist durch das folgende Produkt gegeben:

Während die Gesamtableitung gegeben ist durch .

Die Funktion ist differenzierbar, wenn sie an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.

Der totale Differentialsatz besagt, dass eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, wenn alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung des Punktes existieren und wenn diese partiellen Ableitungen stetig sind.

Ist die Anwendung auch stetig, so heißt die Funktion stetig differenzierbar.

Das gesamte Primzahldifferential kann auch ausgedrückt werden als:

Gesamtdifferentiale höherer Ordnung können für eine Funktion zweier Variablen wie folgt ausgedrückt werden:

Wir nennen gemischte Ableitungen die Ableitungen höherer Ordnung als die erste, die die Ableitung voneinander verschiedener Variablen vorsehen.

Für eine auf einer offenen Menge definierte Funktion zweier Variablen gilt, wenn sie kontinuierliche gemischte zweite Ableitungen zulässt, der Satz von Schwarz, wonach die Reihenfolge der Ableitung umgekehrt werden kann, ohne das Ergebnis zu ändern:

Wenn eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, dann existieren alle an diesem Punkt berechneten partiellen Ableitungen und sind stetig.

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Jacobische, hessische und Nabla-Algebra

Die als Summe der ersten partiellen Ableitungen definierte lineare Abbildung ist eine Matrix m Zeilen n Spalten, die als Jacobi-Matrix bezeichnet wird und genau das Äquivalent der zuvor erwähnten linearen Abbildung L ist:

Wenn m = 1, reduziert sich die Jacobi-Matrix auf einen n-dimensionalen Vektor namens Gradient, der die Richtung der maximalen Steigung des Graphen der Funktion an einem Punkt angibt.

Wenn n = 1, parametrisiert die Funktion eine Kurve und ihr Differential ist eine Funktion, die die Richtung der Tangente an die Kurve an dem Punkt angibt.

Wenn m = n = 1 ist, stimmt die Bedingung der Differenzierbarkeit mit der Bedingung der Differenzierbarkeit überein und die Jacobi-Matrix wird auf eine Zahl reduziert, die gleich der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ist.

Wenn m = n ist, ist die Jacobi-Matrix quadratisch und ihre Determinante ist als Jacobi bekannt.

Der Umkehrfunktionssatz besagt, dass eine stetig differenzierbare Funktion genau dann invertierbar ist, wenn ihre Jacobi-Determinante ungleich Null ist.

Wenn eine Funktion mehrerer Variablen differenzierbar ist, dann existiert die Richtungsableitung und ist gleich dem Skalarprodukt zwischen dem Gradienten bezüglich der einzelnen Variablen und dem Versor selbst.

Die Richtungsableitung nimmt also einen maximalen Wert an, wenn der Gradient und der Einheitsvektor parallel und übereinstimmend sind, einen minimalen Wert, wenn sie parallel und diskordant sind, und einen Nullwert, wenn sie senkrecht stehen.

Ein Differential heißt exakt genau dann, wenn es integrierbar ist, dh wenn es als Funktion der zweiten Klasse der einfach zusammenhängenden Stetigkeit ausgedrückt werden kann (mit anderen Worten, der Satz von Schwarz muss gelten).

Wir definieren den Gradienten als die Größe, die, multipliziert mit dem Skalarprodukt mit einem beliebigen Vektor, die Richtungsableitung der Funktion in Bezug auf den Vektor ergibt.

Der Gradient ist ein Vektorfeld und bei einem kartesischen Bezugssystem die Summe der Produkte zwischen den ersten partiellen Ableitungen und Versen:

Wobei im zweiten Glied die Notation nach dem Nabla-Operator steht.

Dieser Differentialoperator ist wie folgt definiert:

Wir definieren die Divergenz eines kontinuierlichen und differenzierbaren Vektorfeldes als die Skalarfunktion, die durch das Skalarprodukt zwischen dem Operator nabla und dem Vektorfeld gegeben ist:

Wir definieren curl eines kontinuierlichen und differenzierbaren Vektorfeldes, eines Vektorfeldes, das durch das Vektorprodukt zwischen dem Operator nabla und dem Feld selbst gegeben ist:

Wir definieren Laplace das Quadrat des Nabla-Operators gleich zu:

Einige Eigenschaften des Nabla-Operators sind wie folgt:

Wenn alle zweiten partiellen Ableitungen existieren, definieren wir die Jacobi-Matrix des Gradienten als Hesse-Matrix der Funktion:

Wenn alle zweiten Ableitungen stetig sind, gilt der Satz von Schwarz und die Hesse-Matrix ist symmetrisch.

Wenn der Gradient der Funktion an einem Punkt Null ist, wird dieser Punkt als kritischer Punkt bezeichnet.

Wenn an dieser Stelle auch die Determinante der Hesse-Matrix Null ist, dann heißt der kritische Punkt entartet.

Wenn die Hesse-Matrix für einen nicht entarteten kritischen Punkt positiv definit ist, hat die Funktion an diesem Punkt ein lokales Minimum, wenn sie stattdessen negativ definit ist, gibt es ein lokales Maximum.

Wenn die Hesse-Matrix alle Eigenwerte ungleich Null hat und sie sowohl positive als auch negative Werte annehmen, wird dieser Punkt Sattelpunkt genannt.

In allen anderen Fällen, zB für positive oder negative semidefinite hessische Matrizen, kann nichts über das Vorhandensein stationärer Punkte gesagt werden.

Suche nach stationären Punkten und Methode der Lagrange-Multiplikatoren

Eine notwendige Voraussetzung für die Suche nach eingeschränkten Maxima und Minima ist das sogenannte Lagrange-Multiplikator-Verfahren.

Für eine zweidimensionale Funktion besagt diese Methode, dass die notwendige Bedingung für ein eingeschränktes Extremum die folgende ist:

Die Werte von sind genau die Lagrange-Multiplikatoren, da die Funktion h als die Lagrange-Funktion des Systems definiert werden kann.

Ein praktischer Anwendungsfall dieses Formalismus ist der der Lagrangeschen Mechanik, in der die Bewegungsgleichungen durch Auffinden der stationären Punkte eines Integrals, genannt Aktion, erhalten werden.

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Implizite Funktionen

Implizite Funktionen sind Funktionen vom Typ:

Für zweidimensionale Funktionen gilt das folgende Dini-Theorem.

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion, die auf einer offenen Menge definiert ist, und eine nicht leere Menge, in der die Funktion f(x,y) Null ist, dann gibt es einen Punkt in dieser Menge, an dem die folgende Beziehung gilt:

Wenn dieser Punkt nicht kritisch ist, dh die Ungleichung gilt:

Dann existiert eine Umgebung dieses Punktes, so dass die Menge, die durch den Schnittpunkt dieser Umgebung und der Menge gegeben ist, in der sich der unkritische Punkt befindet, den Graphen einer differenzierbaren Funktion darstellt.

Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es eine einzige explizite Funktion des Typs y=y(x) oder x=x(y) gibt, die die beiden Unbekannten in Beziehung setzt.

Dieser Satz liefert also eine hinreichende Bedingung für die Explizierung der impliziten Funktionen.

In mehreren Dimensionen können die Funktionsvariablen wie folgt in zwei Blöcke unterteilt werden, einen bis zum n-ten Grad und einen bis zum m-ten Grad:

Die in der n+m-dimensionalen offenen Menge berechnete Jacobi-Matrix kann in zwei Blöcke unterteilt werden, was an die Aufteilung der Variablen erinnert:

Angenommen, X ist invertierbar.

Der implizite Funktionssatz besagt, dass es eine eindeutige Explizierung der Funktion f(x,y)=0 gibt. Diese Funktion g(y)=x ist stetig differenzierbar und es gilt:

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Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Die Domäne wird durch den Nenner ungleich Null angegeben, also:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 2

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Der Definitionsbereich ist durch den von Null verschiedenen Nenner und das von 90° verschiedene Tangentenargument und seine Vielfachen gegeben, daher:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 3

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Der Definitionsbereich ergibt sich aus dem Nenner ungleich Null und dem Argument des Logarithmus größer als Null, also:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 4

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Der Definitionsbereich ergibt sich aus dem Nenner ungleich Null und der Wurzel größer oder gleich Null, also:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 5

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse