Einführung in die numerische Strömungsmechanik
Von Karim Ghaib
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Über dieses E-Book
Die Eigenschaften und Auswirkungen von Strömungen sind in vielen Bereichen der Naturwissenschaften und des Ingenieurwesens von Bedeutung – ihre Vorhersage kann durch analytische, experimentelle und numerische Strömungsmechanik erreicht werden. Karim Ghaib führt in diesem essential in die numerische Strömungsmechanik ein. Nach einem Überblick über mathematische Grundlagen formuliert der Autor die Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik und erläutert Turbulenzmodelle. Er beschreibt die wichtigsten numerischen Methoden und gibt im Anschluss Arten und Beurteilungskriterien der Rechennetze an. Dieses essential ist somit sowohl dem Einsteiger als auch dem Anwender auf dem Gebiet der numerischen Strömungsmechanik zu empfehlen.
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Einführung in die numerische Strömungsmechanik - Karim Ghaib
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019
Karim GhaibEinführung in die numerische Strömungsmechanikessentialshttps://doi.org/10.1007/978-3-658-26923-4_1
1. Mathematische Grundlagen
Karim Ghaib¹
(1)
Zwingenberg, Deutschland
Karim Ghaib
1.1 Differenzialrechnung für Funktionen von einer Variablen
Die Strömungsmechanik beruht auf der Differenzialrechnung. In diesem und dem folgenden Abschnitt wird die Differenzialrechnung in kurzer Fassung beschrieben.
Differenzierbarkeit einer Funktion
Eine Funktion $$ f(x) $$ ist im Punkt $$ x_{0} $$ differenzierbar, wenn der Grenzwert
$$ \mathop { \lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{\Delta y}{\Delta x}} \right) = \mathop { \lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{f\left( {x_{0} + \Delta x} \right) - f\left( {x_{0} } \right)}}{\Delta x}} \right) $$(1.1)
vorhanden ist.
Man bezeichnet den Grenzwert als die erste Ableitung oder als der Differenzialquotient der Funktion $$ f\left( x \right) $$ an der Stelle $$ x_{0} $$ und kennzeichnet ihn durch $$ y^{\prime}\left( {x_{0} } \right) $$ , $$ f'\left( {x_{0} } \right) $$ oder $$ \left. {\frac{dy}{dx}} \right|_{{x = x_{0} }} $$ .
Geometrisch kann man die Ableitung wie folgt interpretieren. Eine Sekante $$ S $$ wird durch die Punkte $$ P $$ und $$ Q $$ der Funktion $$ f(x) $$ festgelegt. Man stellt sich vor, $$ Q $$ wandert auf der Kurve der Funktion und strebt gegen $$ P $$ . Die Steigung von $$ S $$ geht so in die Steigung der Tangente $$ T $$ über. Die Ableitung der Funktion $$ f(x) $$ an der Stelle $$ x_{0} $$ ist demnach die Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $$ P $$ (Abb. 1.1).
../images/485918_1_De_1_Chapter/485918_1_De_1_Fig1_HTML.pngAbb. 1.1
Differenzenquotient als Sekantensteigung
Rechenregeln bei der Differenziation
Faktorenregel
Ein konstanter Faktor $$ C $$ darf beim Differenzieren vorgezogen werden:
$$ y = Cf\left( x \right) \Rightarrow y^{\prime} = Cf^{\prime}\left( x \right) $$(1.2)
Summenregel
Eine Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden:
$$ y = f_{1} \left( x \right) + \ldots + f_{n} \left( x \right) \Rightarrow y^{\prime} = f^{\prime}_{1} \left( x \right) + \ldots + f^{\prime}_{n} \left( x \right) $$(1.3)
Produktregel
Eine Funktion, die ich sich als Produkt von zwei Funktionen schreiben lässt, darf man differenzieren folgendermaßen:
$$ y = u\left( x \right)v\left( x \right) \Rightarrow y^{\prime} = u^{\prime}\left( x \right)v\left( x \right) + u\left( x \right)v^{\prime}\left( x \right) $$(1.4)
Quotientenregel
Eine Funktion, die sich als Quotient zweier Funktionen darstellen lässt, darf man differenzieren wie folgt:
$$ y = \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \Rightarrow y^{\prime} = \frac{{u^{\prime}\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v^{\prime}\left( x \right)}}{{v^{2} \left( x \right)}} $$(1.5)
Kettenregel
Sind $$ y = f\left( u \right) $$ und $$ u = g\left( x \right) $$ differenzierbar, ist
$$ y = f\left( {g\left( x \right)} \right) $$folgendermaßen differenzierbar:
$$ y = f\left( {g\left( x \right)} \right) \Rightarrow y^{\prime} = f^{\prime}\left( {g\left( x \right)} \right).g^{\prime}\left( x \right) $$(1.6)
Höhere Ableitungen
Durch Differenzieren einer Funktion erhält man die erste Ableitung. Wenn die differenzierte Funktion wieder differenzierbar ist, erhält man aus ihr die 2. Ableitung:
$$ y^{\prime\prime} = f^{\prime\prime}\left( x \right) = \frac{d}{dx}\left( {f^{\prime}\left( x \right)} \right) = \frac{d}{dx}\left( {\frac{dy}{dx}} \right) $$(1.7)
Durch wiederholtes Differenzieren gelangt man zu den Ableitungen höherer Ordnung:
$$ y^{\prime \prime \prime } = f^{\prime \prime \prime } \left( x \right) = \frac{d}{dx}\left( {f^{\prime \prime \left( x \right)} } \right) = \frac{d}{dx}\left( {\frac{{d^{2} y}}{{dx^{2} }}} \right) $$(1.8)
…
$$ y^{n} = f^{n} \left( x \right) = \frac{d}{dx}\left( {f^{n - 1} \left( x \right)} \right) = \frac{d}{dx}\left( {\frac{{d^{n - 1} y}}{{dx^{n - 1} }}} \right) $$(1.9)
Tangente und Normale
Die Kurve in Abb. 1.2 sei durch die Funktion $$ y = f\left( x \right) $$ definiert. $$ P\left( {x_{0} ,y_{0} } \right) $$ sei ein Punkt auf der Kurve. Die Tangente in $$ P $$ besitzt die Gleichungen:
../images/485918_1_De_1_Chapter/485918_1_De_1_Fig2_HTML.pngAbb. 1.2
Tangente und Normale in einem Punkt einer Kurve
$$ m_{t} = f^{\prime}\left( {x_{0} } \right) $$(1.10)
$$ m_{t} = \frac{{y - y_{0} }}{{x - x_{0} }} $$(1.11)
Somit gilt die Gleichung für die Tangente:
$$ y = \left( {x - x_{0} } \right)f^{\prime}\left( {x_{0} } \right) + y_{0} $$(1.12)
Die Normale in $$ P $$ verläuft senkrecht zur Tangente und besitzt daher das negative Reziproke der Tangentensteigung:
$$ m_{n} = - \frac{1}{{m_{t} }} $$(1.13)
Somit gilt die Gleichung für die Normale:
$$ y = y_{0} - \frac{{x - x_{0} }}{{f^{\prime}\left( {x_{0} } \right)}} $$(1.14)
1.2 Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Funktion von mehreren Variablen
Unter einer Funktion von mehreren unabhängigen Variablen versteht man eine Funktionsvorschrift, die jedem $$ n $$ -Tupel ( $$ x_{1} $$ , $$ x_{2} $$ , …, $$ x_{n} $$ ) aus einer Menge $$ M $$ genau eine Zahl $$ z $$ aus einer Menge $$ N $$ zuordnet:
$$ y = f(x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} ) $$(1.15)
Im Gegensatz zu Funktionen mit mehr als zwei Variablen lassen sich Funktionen zweier unabhängiger Variablen grafisch darstellen. Abb. 1.3 zeigt
$$ z = x^{2} + y^{2} $$als Beispiel einer Funktion von mehreren Variablen. Die Fläche, die als Funktionsgraph bezeichnet wird, spiegelt einen Verlauf der Funktion wider.
../images/485918_1_De_1_Chapter/485918_1_De_1_Fig3_HTML.pngAbb. 1.3
Geometrische Darstellung der Funktion z = x² + y²
Partielle Differenzierbarkeit einer Funktion
Eine Funktion
$$ f(x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} ) $$ist im Punkt
$$ \left( {x_{1p} ,x_{2p} , \ldots ,x_{np} } \right) $$partiell nach $$ x_{1} $$ differenzierbar, wenn die nur von $$ x_{1} $$ abhängige Funktion
$$ f\left( {x_{1} ,x_{2p} , \ldots ,x_{np} } \right) $$den Grenzwert
$$ \frac{\partial f}{{\partial x_{1} }}\left( {x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} } \right) = \mathop { \lim }\limits_{{\Delta x_{1} \to 0}} \left( {\frac{{f\left( {x_{1p} + \Delta x_{1} ,x_{2p} , \ldots ,x_{np} } \right) - f\left( {x_{1p} ,x_{2p} , \ldots ,x_{np} } \right)}}{{\Delta x_{1} }}} \right) $$(1.16)
besitzt. Man bezeichnet den Grenzwert als die partielle Ableitung der Funktion
$$ f\left( {x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} } \right) $$nach $$ x_{1} $$ im Punkt
$$ \left( {x_{1p} ,x_{2p} , \ldots ,x_{np} } \right) $$.
Zur Unterscheidung der partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen von der Ableitung einer Funktion einer Variable verwendet man die Schreibweisen: $$ f_{{x_{1} }} $$ , $$ \frac{\partial f}{{\partial x_{1} }} $$ .
Analog ist
$$ f\left( {x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} } \right) $$nach $$ x_{2} $$ im Punkt
$$ \left( {x_{1p} ,x_{2p} , \ldots ,x_{np} } \right) $$partiell differenzierbar, wenn