Modulare Arithmetik: Von den ganzen Zahlen zur Kryptographie

Von Thorsten Holm

Dieses essential bietet eine Einführung in die modulare Arithmetik, die mit wenig Vorkenntnissen zugänglich und mit vielen Beispielen illustriert ist. Ausgehend von den ganzen Zahlen und dem Begriff der Teilbarkeit werden neue Zahlbereiche bestehend aus Restklassen modulo einer Zahl n eingeführt. Für das Rechnen in diesen neuen Zahlbereichen wichtige Hilfsmittel wie der Euklidische Algorithmus, der Chinesische Restsatz und die Eulersche φ-Funktion werden ausführlich behandelt. Als Anwendung der modularen Arithmetik werden zum Abschluss die Grundzüge des für viele moderne Anwendungen grundlegenden RSA-Verschlüsselungsverfahrens präsentiert.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Springer Spektrum
• Erscheinungsdatum: 4. Nov. 2020
• ISBN: 9783658319465

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T. HolmModulare Arithmetikessentialshttps://doi.org/10.1007/978-3-658-31946-5_1

1. Ganze Zahlen und Teilbarkeit

Thorsten Holm¹  

(1)

Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik, Leibniz Universität Hannover, Hannover, Deutschland

Thorsten Holm

Email: [e-mail]

Wir bezeichnen mit

$$\mathbb {N}=\{1,2,3,\ldots \}$$

die natürlichen Zahlen und benutzen die Notation

$$\mathbb {N}_0=\mathbb {N}\cup \{0\}$$

, wenn die 0 hinzugenommen werden soll. Als bekannt setzen wir auch die ganzen Zahlen

$$\mathbb {Z} = \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \} $$

voraus. In dem Zahlbereich der ganzen Zahlen gibt es eine Addition

$$+:\mathbb {Z}\times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z},~~(a,b)\mapsto a+b $$

und eine Multiplikation

$$\cdot :\mathbb {Z}\times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z},~~(a,b)\mapsto a\cdot b. $$

Es gelten die folgenden, aus der Schule bekannten, Rechenregeln für alle

$$a,b,c\in \mathbb {Z}$$

:

(R1)

$$a+(b+c) = (a+b)+c$$

(Addition ist