Lineare Gleichungssysteme: Klartext für Nichtmathematiker

Von Guido Walz

Dieses Buch vermittelt in leicht verständlicher Sprache Techniken zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Der Fokus liegt dabei auf dem Gauß-Verfahren, da man hiermit Systeme beliebiger Größe und Form vollständig lösen kann. Die ersten beiden Kapitel sind der Behandlung quadratischer Systeme mit zwei oder drei Unbekannten gewidmet, um dem Leser die prinzipielle Vorgehensweise zu schildern. Darauf aufbauend wird das Gauß-Verfahren für Systeme beliebiger Größe – quadratische und nicht-quadratische – geschildert und anhand zahlreicher Beispiele illustriert. Der Darstellung der Lösungsmenge von Systemen mit unendlich vielen Lösungen ist ein eigener Abschnitt gewidmet. Weiterhin werden Strategien zur Behandlung von Textaufgaben, die auf lineare Gleichungssysteme führen, aufgezeigt.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Springer Spektrum
• Erscheinungsdatum: 29. Nov. 2018
• ISBN: 9783658238551

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© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018

Guido WalzLineare Gleichungssystemeessentialshttps://doi.org/10.1007/978-3-658-23855-1_1

1. Einleitung

Guido Walz¹  

(1)

Darmstadt, Deutschland

Guido Walz

Email: [e-mail]

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen ist in den Naturwissenschaften, der Technik oder auch den Wirtschaftswissenschaften eine allgegenwärtige Aufgabenstellung. Aber auch im täglichen Leben können (kleinere oder größere) Probleme auftreten, die man mithilfe linearer Gleichungssysteme in den Griff bekommen kann; auf den folgenden Seiten werden Sie zahlreiche Beispiele hierfür finden.

Es ist also höchst wahrscheinlich, dass auch Sie, liebe Leserin oder lieber Leser, früher oder später einmal lineare Gleichungssysteme lösen werden müssen, sei es im Beruf, in Studium oder Ausbildung, oder eben im täglichen Leben. Dieses Büchlein hilft Ihnen dann, indem es Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ausführlich schildert und Gelegenheit bietet, diese anhand zahlreicher ausgewählter Beispiele einzuüben. Dabei liegt der Fokus auf dem Gauß-Verfahren (das auch unter Bezeichnungen wie „Eliminationsverfahren, „Additionsverfahren oder „Gauß-Algorithmus" zu finden ist), denn dieses ist quasi die eierlegende Wollmilchsau der gesamten linearen Algebra; unter anderem ist es in der Lage, lineare Gleichungssysteme beliebiger Größe und Form vollständig zu lösen.

Die Darstellung auf den folgenden Seiten konzentriert sich zunächst auf kleine Systeme, also solche mit zwei oder drei Unbekannten, um Sie mit dem Verfahren vertraut zu machen. Darauf aufbauend ist dann das Verständnis des Verfahrens für beliebig große Systeme – quadratische wie auch nicht-quadratische – nicht schwierig.

Da sich der Text laut Untertitel ausdrücklich (auch) an Nichtmathematiker (und ebenso natürlich Nichtmathematikerinnen) wendet, ist er bewusst in allgemein verständlicher Sprache gehalten, um die Leser nicht durch übertriebene Fachsprache abzuschrecken; schließlich soll es sich ebenfalls laut Untertitel um „Klartext handeln. Beispielsweise werden wir von „Verfahren sprechen statt von „Algorithmen, und ebenso von „Unbekannten anstelle von „Variablen".

Und nun wünsche ich Ihnen viel Spaß (das meine ich ernst!) beim Lesen der folgenden Seiten.

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Guido WalzLineare Gleichungssystemeessentialshttps://doi.org/10.1007/978-3-658-23855-1_2

2. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Guido Walz¹  

(1)

Darmstadt, Deutschland

Guido Walz

Email: [e-mail]

Um Sie nicht gleich am Anfang dieses Büchleins mit einer formalen Definition zu überfallen, will ich zunächst die drei Wortbestandteile des Begriffs „lineares Gleichungssystem" analysieren:

Linear bedeutet hier wie in der gesamten Mathematik, dass die Unbekannten „einfach so" dastehen, also ohne irgendwelche Hochzahlen oder unschönes Beiwerk wie Sinus oder Logarithmus, oder gar als Hochzahl eines Ausdrucks auftreten.

Eine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind, hat also die Form

$$ \text {Ausdruck}_1 =\text {Ausdruck}_2. $$

Schließlich deutet der Wortbestandteil System darauf hin, dass es sich nicht nur um eine einzelne Gleichung handelt, sondern um mehrere, die gleichzeitig gelöst werden müssen; keine Sorge, dass ist nicht so schwierig, wie es vielleicht gerade klingt.

Ich taste mich gemeinsam mit Ihnen ganz langsam heran und behandle in diesem ersten Kapitel die kleinsten echten linearen Gleichungssysteme, die man sich vorstellen kann, nämlich solche mit nur zwei Gleichungen und ebenso vielen Unbekannten. Formal sieht das so aus:

Definition 2.1

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten ist ein Schema der Form

$$\begin{aligned}a_1 x + a_2 y&= d_1 \\ b_1 x + b_2 y&= d_2 \end{aligned}$$

Hierbei sind

$$a_1, a_2, b_1, b_2, d_1$$

und $$d_2$$ vorgegebene reelle Zahlen, die sogenannten Koeffizienten oder Beizahlen des Systems, und x und y sind die Unbekannten oder auch Variablen, die es zu