Aufgabensammlung für die Oberstufe zur Analysis

Von Marco Schuchmann

In diesem Buch wurden viele Aufgaben mit Lösungen und Lösungserklärungen für die Oberstufe zusammengestellt. Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad sind extra gekennzeichnet (z.B. LK für Leistungskurse). Im Wesentlichen wurden hier Aufgaben von mir kreiert, die zum grundlegenden Verständnis der Mathematik der Oberstufe dienen sollen und bei denen verschiedene Aspekte zum Tragen kommen. Dabei lag der Schwerpunkt nicht auf dem Erstellen von besonders trickreichen Aufgaben, sondern es geht um das Üben und Vertiefen des Schulstoffes, den man zum erfolgreichen Bestehen des Abiturs benötigt.
Das Buch ist eine Ergänzung zum Titel „Jetzt lerne ich Analysis für die Oberstufe“, welches überwiegend Erklärungen und Beispiele enthält. In beiden Büchern sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb oft Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.
Auf den beiden Seiten zum Buch (www.alles-mathe.de und www.mathe-total.de) werden Programme zum Lösen von Aufgaben und zum Erstellen von Graphen bereitgestellt, wie auch Übungsaufgaben und Ergänzungen zum Buch. Zusätzlich findet man hier Aufgaben, die automatisch generiert werden, wie beispielsweise zur Polynomdivision.
Unter der Adresse http://www.mathe-total.de/mathe-total-videos befinden sich Links zu unserem Youtube-Channel, auf dem verschiedene Themen der Mathematik an Beispielen erklärt werden.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Books on Demand
• Erscheinungsdatum: 15. Juni 2016
• ISBN: 9783741211973

Marco Schuchmann

Dr. rer. nat. Marco Schuchmann hat in Darmstadt Mathematik studiert und ist an der Hochschule Darmstadt im Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften angestellt. Hier hält er u.a. Mathematikvorlesungen über Themen, wie z.B. Wavelets und auf dem Gebiet der mathematischen Statistik. Seit 1996 veröffentlicht er mathematische Fachbücher.

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behandelt)

Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Geradengleichung f(x) = -2x + 4. Gesucht sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Lösung:

Mit der y-Achse (x=0):

Sy(0 | 4)

Mit der x-Achse (y=0):

–2x + 4 = 0 |–4

–2x = –4     |:(–2)

x = 2 ⇒ N(2 | 0)

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte P(-2; 4) und Q(1; 10). Gesucht ist die Gleichung der Geraden durch diese Punkte.

Lösungsweg 1:

Eine Möglichkeit die Gleichung zu bestimmen, wäre die, die Komponenten der beiden Punkte in die Funktion f(x) = mx + b einzusetzen. Diese Möglichkeit funktioniert auch bei anderen Funktionstypen und man muss sich keine Formel merken:

(1)f(–2) = –2m + b = 4

(2)f(1) = m + b = 10

Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Subtrahiert man die Gleichung (1) von der Gleichung (2), so „fällt b weg":

(1) - (2)–3m = –6 |: (–3)

m = 2

Setzt man m = 2 z.B. in (2) ein, so ergibt sich

2 + b = 10 | –2

b = 8

Damit lautet die Gleichung: f (x) = 2x + 8

Lösungsweg 2:

Man könnte die Gleichung auch mit folgenden Formeln bestimmen:

(I)f(x) = m(x–x1) + y1

Würde man diese Formel verwenden, so gilt:

Statt zwei Punkten könnte auch ein Punkt P(x1; y1) und die Steigung m gegeben sein. In diesem Fall kann man m und die Koordinaten des Punktes P direkt in (I) einsetzen.

Man kommt aber auch ohne die Gleichung (I) aus. Wenn man (wie bei Lösungsweg 2), m bestimmt hat bzw. man weiß, dass m = 2 ist, so gilt f(x) = 2x + b. Nun muss man nur einen Punkt einsetzen und erhält b, denn mit P(-2; 4) folgt, dass f(-2) = 2·(-2) + b = 4 gilt, bzw. -4 + b = 4. Nach b aufgelöst ergibt sich b = 8 und f(x) = 2x + 8.

Aufgabe 3

Gegeben ist die Gleichung f(x) = 2x + 2 der Geraden f.

a) Liegt P(1; 4) auf der Geraden f?

Lösung:f (1) = 2 + 2 = 4

womit P auf der Geraden liegt.

b) Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte Q(3; ?) und R(?; -4) auf der Geraden f.

Lösung:f(3) = 6 + 2 = 8 ⇒ Q (3; 8)

f(x) = 2x +2 = –4|–2

2x = –6|: 2

x = –3

also ist R(–3;–4).

Schnittpunkt und Schnittwinkel

Aufgabe 4

Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der folgenden Geraden:

f(x) = 2x + 4

g(x) = –x + 1

Lösung:

Da die Geraden im Schnittpunkt den gleichen y-Wert (natürlich auch den gleichen x-Wert) haben, werden die Funktionsterme gleichgesetzt:

f(x) = g(x)

2x + 4 = –x + 1  | +x

3x + 4 = 1| –4

3x = –3     |:3

x = –1

Nun kann man den y-Wert des Schnittpunktes bestimmen, indem man x = -1 in eine der beiden Geradengleichungen einsetzt:

y = g (–1) = –(–1) + 1 = 2

Also ist S(–1;2) der Schnittpunkt.

Kommen wir nun zur Berechnung des Schnittwinkels:

Der Neigungswinkel einer Geraden y = mx + b in Bezug zur x-Achse ergibt sich durch folgende Gleichung:

m = tan(α)

Hier kann sich auch ein negativer Wert für α ergeben, falls die Gerade eine negative Steigung hat. In diesem Fall ergibt sich die Gerade durch Drehung der x-Achse in negativer Drehrichtung (d.h. mit dem Uhrzeigersinn) um die Nullstelle der Geraden. Der Schnittwinkel mit der x-Achse ist |α |.

Somit gilt für die Gerade f:

2 = tan(αf)| tan−1

αf = tan−1(2) ≈ 63,43°

Und für die Gerade g:

–1 = tan(αg)| tan−1

αg = tan−1(–1) = –45°

Da αf > αg ist, ergibt sich der Schnittwinkel durch:

α = αf - αg ≈ 63,43 ° - (-45°) ≈ 108,43°

Für αf < αg wäre dieser gleich αg – αf oder allgemein:

α = |αf – αg|

Nun ist noch eines zu beachten: Wenn sich bei dieser Berechnung ein Winkel größer als 90° ergibt, so gibt man 180° - α als Schnittwinkel an, d.h. in unserem Beispiel beträgt dieser ca. 71,57°.

Aufgabe 5

a) Schneiden sich die Geraden f(x) = -4x + 3 und g(x) = ¼x – 1 orthogonal?

b) Gesucht ist die Gleichung einer Geraden g, die orthogonal zur Geraden f mit der Gleichung f(x) = 2x + 4 ist und die durch den Punkt P(4; 2) geht. Wie groß ist der Abstand des Punktes P zur Geraden f?

Lösung:

g(x) = m2 · x + b

soll orthogonal zur Geraden f mit der Steigung m1 = 2 sein, also muss

m1 · m2 = 2 · m2 = –1

Nun soll die Gerade g durch den Punkt P(4; 2) gehen, somit ist

Der Punkt auf der Geraden f, der den kleinsten Abstand zu P hat, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, da g senkrecht zu f verläuft und den Punkt P enthält. Wir bestimmen somit zunächst den Schnittpunkt:

Löst man die Gleichung nach x auf, so erhält man x = 0. y = g(0) = 4. Somit ist der Schnittpunkt Q(0; 4). Nun muss man noch den Abstand der beiden Punkte P und Q bestimmen, da dies der Abstand der Geraden f vom Punkt P ist.

Für den Abstand d von zwei Punkten P(x1; y1) und Q(x2; y2) gilt allgemein (die Formel ergibt sich über Pythagoras, siehe Grafik):

Hier ist der Abstand von P und Q bzw. der Abstand von f zu P:

Nullstellen bei Polynomen bestimmen

Aufgabe:

Es sollen die Nullstellen folgender Polynome bzw. ganzrationaler Funktionen bestimmt werden.

a) f(x) = x³ - 64x

b) f(x) = 4x³ + 12x²

c) f(x) = x³ + 8

d) f(x) = x³ + 4x² - 3x -18 (x1 = -3)

e) f(x) = x³ + 12x² - 256 (x1 = -8)

f) f(x) = 2x³ - 4x² - 2x + 4 (x1 = 2)

g) f(x) = -x⁴+20x²-64

h) f(x) = 2x⁴ - 10x³ + 24x² - 32x +16

i) f(x) = (x - 4)(x + 2)(x - 5)

j) f(x) = 2(x² - 9)(x + 4)(x² + 25)

Weitere Beispiele zur Polynomdivision sind unter http://www.mathe-total.de/Test-Polynomdivision/Polynomdivision.php zu finden, weitere Beispiele zur Substitution bei biquadratischen Gleichungen - wie bei Aufgabe g) - unter http://www.mathe-total.de/Test-biquadratische-Gleichungen und falls jemand die p-q-Formel noch mal üben möchte, kann er dies unter http://www.mathe-total.de/Test-p-q-Formel tun.

Lösung:

a)

f(x) = x³ - 64x = 0

x·(x² - 64) = 0

Da ein Produkt gleich Null ist, wenn ein Faktor gleich Null ist, ergibt sich x1 = 0 und die rechtlichen Nullstellen erhält man, wenn man x² - 64 = 0 löst. Hier kann man die p-q-Formel verwenden, oder man kann auch die Gleichung direkt auflösen:

x² - 64 = 0| +64

Damit ist x2 = 8 und x3 = -8.

b)

f(x) = 4x³ + 12x² = 0   | : 4

x³ + 3x² = 0

x²·(x + 3) = 0

Nun kann man wieder jeden einzelnen Faktor gleich Null setzten und erhält:

x1/2 = 0 und x3 = -3.

Es gibt also nur eine Nullstelle.

, während wiederum x⁴ = -25 keine Lösung hätte.

d)

f(x) = x³ + 4x² - 3x - 18 = 0

Hier muss eine Polynomdivision durchgeführt werden. Es war x1 = -3 angegeben, andernfalls hätten wir durch probieren x1 finden müssen.

Polynomdivision:

Zu den restlichen Nullstellen:

x² + x - 6 = 0 mit der p-q-Formel gelöst ergibt: x2 = 2 und x3 = -3

e)

f(x) = x³ + 12x² - 256 = 0

Wieder ist eine Polynomdivision notwendig.

Gegeben war x1 = -8.

Polynomdivision:

Hier haben wir oben 0x ergänzt, da kein Term der Form a·x vorhanden war. Dies ist nicht unbedingt notwendig, hilft aber bei der Polynomdivision, damit man nicht durcheinander kommt (man könnte oben auch eine Lücke an dieser Stelle lassen).

Zu den restlichen Nullstellen:

x² + 4x - 32 = 0 mit der p-q-Formel gelöst ergibt: x2 = 4 und x3 = -8

f)

f(x) = 2x³ - 4x² - 2x + 4 = 0 | :2

x³ - 2x² - x + 2 = 0

Wir führen eine Polynomdivision durch. Vor der Polynomdivision hätten wir nicht unbedingt die Gleichung durch 2 dividieren müssen, denn hier könnte auch ein Faktor bzw. Koeffizient ungleich 1 bei x³ stehen bleiben.

x1 = 2

Polynomdivision:

Hier ergab sich