Die Schönheit der Zahlen: Die Ordnung der Welt durch den menschlichen Geist

Von Frankfurter Allgemeine Archiv

»Alles ist Zahl«, soll Pythagoras gesagt und damit zum Ausdruck gebracht haben, dass das Wesen aller Dinge auf dieser Welt Zahl und Harmonie ist. Auch heute noch glauben viele Menschen, dass sich alles auf der Welt in irgendeiner Weise berechnen lässt, dass Maß und Zahl und ihre Gesetzmäßigkeiten gegebene Realitäten sind, die der Mensch nur entdecken muss. Wir aber wollen uns auch der Frage widmen, ob Zahlen überhaupt existieren. Gibt es sie wirklich, oder erfinden wir sie in dem Moment, da wir sie für die Darstellung eines Sachverhaltes brauchen? Von Pythagoras über Euklid bis Euler und Fermat führt die Reise in die Welt der Zahlen durch eine Landschaft voll formaler Schönheit, kühner Gedanken und außergewöhnlicher Menschen.

Die Autoren:

Ulf von Rauchhaupt, Albrecht Beutelspacher, Heinrich Hemme, Benedikt Fehr, Marc Dressler, Helmut Schwan

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Frankfurter Allgemeine Zeitung GmbH
• Erscheinungsdatum: 17. Okt. 2014
• ISBN: 9783898433761

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Die Schönheit der Zahlen

Die Ordnung der Welt durch den menschlichen Geist

F.A.Z.-eBook 33

Frankfurter Allgemeine Archiv

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© 2014 F.A.Z. GmbH, Frankfurt am Main.

Titelgrafik: © iStockfoto.com

ISBN: 978-3-89843-376-1

Die Welt ist Zahl

Die Unbegreiflichen

Manche Völker kommen gut ohne Zahlen aus

Von Ulf von Rauchhaupt

Den Zahlen geht es heutzutage ein bisschen wie Gott: Es wird zuweilen daran gezweifelt, ob es sie überhaupt gibt. Wenn es in manchen Zirkeln nicht gar üblich geworden ist, es für ausgemacht zu halten, dass es sie nicht gibt. Eine seltsame Ansicht, möchte man meinen. Zumindest die ganzen Zahlen – also 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter – sollte es doch geben. Wird denn nicht überall gezählt: ob Rinder oder Kinder, Bronzebarren oder Dax-Punkte? Hat der Mensch denn nicht immer schon gezählt?

Nicht unbedingt. Natürlich, die Anfänge der menschlichen Beschäftigung mit den Zahlen liegen im Dunkeln, wie fast alle Anfänge. Spätestens in der jüngeren Altsteinzeit, als Homo sapiens nach Mitteleuropa vordrang, muss er auch mit dem Zählen begonnen haben. Denn einigermaßen unstrittig ist, dass ein in Mähren ausgegrabener 20.000 bis 30.000 Jahre alter Knochen etwas mit Zahlen zu tun hat. Denn darauf sind 55 Kerben eingeritzt, die ersten 25 in Fünfergruppen. Zwar wurde in Afrika ein Knochen gefunden, in den jemand vor gut 35.000 Jahren 29 Kerben geritzt hat. Ob er damit aber etwas gezählt hat – die Tage zwischen zwei Vollmonden etwa – oder ob es ihm eher auf das Muster ankam, ist kaum zu beweisen. Zweifel sind auch deswegen angebracht, weil es noch heute Naturvölker gibt, die ganz gut ohne Zahlen auskommen. Die Awetí in Brasilien etwa haben nur für Eins bis Vier einfache Zahlwörter, größere Zahlen werden mit komplexen Kunstworten dargestellt, und auch das nur ungern. Und die Pirahã im Amazonastiefland zählen sogar überhaupt nicht und sind laut ethnologischen Untersuchungen auch nicht in der Lage, zu begreifen, was Zahlen jenseits der Drei überhaupt sein sollen. Sie haben nur ein Wort für »eine kleine Anzahl«, eins für »eine irgendwie größere Anzahl« und eins für »viele«. Mit mangelnder Intelligenz hat das gewiss nichts zu tun, eher – so glaubt der Ethnologe, der die Pirahã studiert hat – mit mangelndem Interesse an Dingen, die sich der unmittelbaren Erfahrung entziehen.

Es muss daher nicht an fehlender schriftlicher Überlieferung liegen, wenn der uns geläufige Umgang mit Zahlen erst bei urbanen Hochkulturen belegt ist. Mathematik als theoretische Wissenschaft war da aber noch lange nicht daraus geworden. Die Sumerer und Ägypter – und völlig unabhängig von ihnen auch die Maya – zählten und rechneten zu praktischen Zwecken, zur Verwaltung, Landvermessung und für das Kalenderwesen. Und auch als in der griechischen Antike das theoretische Interesse schon lange erwacht war und mit Werken wie denen des Euklid schon die ersten mathematischen Großtaten vollbracht waren, fehlten noch immer so entscheidende Konzepte wie etwa die Null. In der Alten Welt tauchte sie erst im 5. Jahrhundert in Indien auf. Was den sonst so schlauen Griechen nicht gelang, war der uns heute trivial anmutende Schritt von den natürlichen Zahlen zu den »ganzen Zahlen«, zu denen man heute neben der Null auch die negativen zählt.

Das erscheint sehr seltsam. Denn andere, uns heute sehr viel schwieriger anmutende Zahlentypen kannten die Griechen schon: die sogenannten »rationalen Zahlen«, also Brüche, sowie die »irrationalen Zahlen«, zu denen die Wurzeln gehören und (wahrscheinlich) die Kreiszahl π. Doch historisch ist das durchaus einleuchtend. Die antike Mathematik war vor allem Geometrie. Rationale Zahlen waren Seitenverhältnisse, irrationale Zahlen waren Diagonalen wie die des Quadrats. Und die Kreiszahl trägt ihre Herkunft ja schon im Namen. Unser heutiger, von Körpern abgelöster, rein algebraischer Zahlbegriff dagegen fehlte den Griechen etwa so, wie den Pirahã die Vorstellung davon fehlt, was eine ganze Zahl sein soll.

Heißt das aber nun, dass die Menschen die Zahlen erst machen, wenn sie mit ihnen umgehen? Verhält es sich mit ihnen also etwa so wie mit dem Gott der Feuerbachschen Religionskritik, sind sie nur ein Spiegel des Menschen, wenn er zählt – oder eben Seitenverhältnisse, Diagonalen oder Kreisumfänge bestimmt? Einige Mathematiker – und noch mehr Philosophen – glauben das tatsächlich. »Es gibt keine Zahlen«, verkündete etwa Reuben Hersh von der University of New Mexico einmal. »Es gibt nur Gezähltes.«

Diese These klingt sehr tolerant. Denn wer sie vertritt, bekundet damit, keine höhere Weisheit zu beanspruchen als die Zahllosen Pirahã oder die Griechen ohne Null. Er behauptet nicht, etwas Absolutes zu kennen, auf das irgendwelche Außerirdischen auf fernen Planeten auch erst mal kommen müssten. Die These, Zahlen seien nur Menschenwerk, wendet sich gegen Dogmatismus und Metaphysik. Sie ist modern, aufgeklärt, liberal. Nur: das alles sagt gar nichts darüber aus, ob sie auch stimmt.

Dabei geht es letztlich auch um die Frage, um was für ein Unternehmen es sich bei der Mathematik eigentlich handelt. Ist sie eher eine Geisteswissenschaft in dem Sinne, dass sich eben alles ordnen und zusammenhängend darstellen lässt, worauf der menschliche Geist so kommt, unabhängig davon, ob es nur mit ihm oder auch etwas mit der »Welt da draußen« zu tun hat? Oder werden Zahlen eher zu bestimmten Zwecken konstruiert, was die Lehre von ihnen eher als eine Art Ingenieurwissenschaft erscheinen ließe? Ist gar die Kreativität, die man bei solchen Konstruktionen walten lassen kann, ein so zentrales Element, dass man bei der Mathematik am ehesten von einer Kunst sprechen muss? Oder ist es schließlich nicht doch eher so, dass der Mathematiker etwas entdeckt wie ein empirischer Forscher, es also mit Sachverhalten zu tun hat, die es auch ohne ihn gibt?

Dabei ist es natürlich ein Missverständnis zu meinen, in der Mathematik ginge es nur um Zahlen. Man kennt heute mathematische Objekte mit völlig anderen Eigenschaften, von denen einige – etwa die sogenannten Gruppen – in bestimmten Bereichen wie der Physik fast so zentral geworden sind wie anderswo die Zahlen. Die Unterscheidung von quantitativ und qualitativ, die auch deswegen so beliebt ist, weil sich damit herrlich polemisieren lässt, indem man etwas als »bloß qualitativ« oder »nur quantitativ« abtut, diese Unterscheidung wird umso unbrauchbarer, je tiefer man in die höhere Mathematik eindringt. Eigentlich gibt es auch dort nur die eine wertende Grundunterscheidung, die für alle Wissenschaft gilt und die da heißt: folgerichtig oder nicht folgerichtig.

Aber auch dieser Hinweis hilft nicht weiter bei der Frage, ob es Zahlen – oder was sonst alles folgerichtig diskutiert werden kann – wirklich gibt; ob die Mathematiker dergleichen entdecken oder erfinden. Tatsächlich ist die Behauptung, hier würde nur konstruiert oder erfunden, theoretisch ebenso wenig zu beweisen wie die Leugnung Gottes. Und selbst wenn man auf Außerirdische stieße, die den Satz des Pythagoras nicht kennen, könnte ja es immer noch sein, dass sie ihn einfach noch nicht entdeckt haben. Praktisch betrachtet, haben sehr viele Mathematiker und fast alle mathematisch aktiven Naturwissenschaftler bei ihrer Arbeit den starken Eindruck, eine von ihnen unabhängige Wirklichkeit zu entdecken und zu erkunden. Mit dem Dogmatismusvorwurf können sie dabei leben. Sie behaupten ja nicht, schon die ganze Wahrheit über die Zahlen und all die anderen mathematischen Objekte und Strukturen zu kennen. Aber etwas davon, würden sie sagen, haben sie schon gesehen.

Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 06.01.2008

Schöne Mathematik

Der Spaßmacher

Er wollte zeigen, wie vergnüglich die Welt der Zahlen ist. Seit zehn Jahren kommen die Ungläubigen, staunen und begreifen. Albrecht Beutelspacher, Direktor des Mathematikums in Gießen.

Von Helmut Schwan

Vielleicht lag es daran, dass seine Zunft ständig etwas beweisen muss. Für Albrecht Beutelspacher war es die These, Mathematik könne richtig Spaß machen. Eigentlich müsste er sich längst die Frage stellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit war, dass ihm das gelingen würde. Denn Mathematik, übersetzt die Kunst des Lernens, durchdringt dem Gießener Professor zufolge nahezu das gesamte Leben. Von der Anordnung der Blütenblätter bis zu Milliardentransaktionen auf den Finanzmärkten.

Wenn heute Mitsiebziger Metallkugeln staunend schiefe Ebenen herunterrollen lassen, der Familienvater sein Geburtsdatum in den Touchscreen tippt und strahlt, weil sich tatsächlich auch diese Zahlen einreihen in die unendlichen Stellen hinter dem Komma von π, wenn ein Stockwerk höher seine vier Jahre alte Tochter die Geometrie eines Tetraeders studiert, das sie in Seifenlauge getaucht hat – dann bewahrheitet sich, was Albrecht Beutelspacher eigentlich immer ahnte. Man muss Mathematik nur im Wortsinne begreifbar machen, dann versteht man sie auch. Und dann, ja selbst das behauptet der Einundsechzigjährige, kann sie sogar glücklich machen.

So wie den Initiator des Ganzen, wenn er die Zahlen des Museums rekapituliert. Seit der Eröffnung im November 1992 kamen pro Jahr rund 150.000 Besucher aus insgesamt mehr als 50 Nationen, das Interesse hat über die Dekade nicht nachgelassen – im Gegenteil.

Vielleicht waren es tatsächlich die Bauklötze, mit denen alles begann. Seine Mutter hat ihm erzählt, er habe diese als kleines Kind immer sehr symmetrisch gestapelt. Er sei ein guter Schüler, aber kein Überflieger gewesen, erinnert sich Beutelspacher – zur Eins in Mathe reichte es manchmal nicht, weil er sich zu oft verrechnete.

Sein Vater hatte ein kleines Geschäft mitten in Tübingen, Albrecht war das älteste von sechs Kindern. Er ging auf das humanistische Gymnasium. Die Studenten und Professoren waren in der engen Stadt allgegenwärtig, das Akademische hatte nichts Respekteinflößendes an sich. Albrecht Beutelspacher war in der Unterprima, als er seinem Lehrer den Wunsch mitteilte, er wolle Mathematik studieren. Der sei erschrocken und habe ihm geraten, sich erst einige Vorlesungen anzuhören, ehe er sich tatsächlich dafür entscheide. Und so saß der Gymnasiast im Hörsaal, blickte auf eine Tafel, vollgeschrieben mit Formeln, »und ich verstand nichts«. Was ihn aber nicht weiter beunruhigte, weil es seinen Banknachbarn, den Herren Studenten, offenbar ebenso ging.

Nach dem Abitur schrieb er sich an der Hochschule seiner Heimatstadt ein und geriet Ende der sechziger Jahre in eine Zeit, in der auch an der mathematischen Fakultät in Tübingen alles in Frage gestellt wurde. Die Überzeugung, »wir können das besser«, habe alles Tradierte über den Haufen geworfen. Die Studienordnung sowieso, aber sogar das »Wohlordnungsaxiom«, den ehernen Grundsatz über die Abfolge der Zahlen.

Albrecht Beutelspacher weiß noch, dass es ein Dienstagnachmittag war, »14.13 Uhr«. Da begegnete er vor dem Hörsaal zum ersten Mal der Dozentin, einer unscheinbaren Frau aus Serbien, die seine Begeisterung für die Kombinatorik wecken sollte. Das ist, vereinfacht ausgedrückt, die Lehre davon, wie Zahlen oder Objekte angeordnet werden können. In seiner Diplomarbeit, die ihm seine Mentorin später gab, beschäftigte er sich mit der »Parallelität in höherdimensionierten Räumen«. Die Professorin hatte ihm verschwiegen, dass sich schon einige vergeblich daran versucht hatten. Beutelspacher biss sich durch, »es wurde das Beste, was ich je geschrieben habe«.

Er und seine Kommilitonen hätten sich damals keine Gedanken darüber gemacht, wie sie mit dem Wissen einmal ihr Geld verdienen sollten. »Im Notfall werden wir Lehrer«, lautete das Motto. Er selbst ging nach Abschluss des Studiums nach Mainz, zunächst als Assistent, später als Professor auf Zeit. Er entdeckte für sich die Kryptographie, jenen Zweig, der vor allem für die Datenverschlüsselung praktische Anwendung findet. Als Mitte der achtziger Jahre die Aussichten, dauerhaft eine Stelle als Hochschullehrer zu finden, ziemlich schlecht waren, erhielt der Mathematiker von Siemens das Angebot, für den Konzern in diesem zukunftsträchtigen Fach zu forschen. Im Nachhinein ist er froh, damals nicht seinem rebellischen Reflex aus bewegten Studententagen: »Industrie? Das sind doch die Bösen!«, gefolgt zu sein. Die Bedingungen und die Atmosphäre in München empfand er als nahezu ideal. Das Projekt, die Programmierung von Geld- und Simkarten zu entwickeln, wirkte damals noch wie eine Zukunftsvision.

Dennoch blieb der pädagogische Geist unruhig. Als er 1988 den Ruf an die Universität in Gießen erhielt, nahm er an. Wie man die auch für seine Studenten schwer fassbare Wissenschaft anschaulicher machen könne, ließ ihn seinen Worten nach nie los. Die Chance, auf größerer Bühne zeigen zu können, wie nützlich und alltagstauglich, wie faszinierend und mysteriös, ja wie »schön« Mathematik sein könne, ergab sich 1993 allerdings eher per Zufall. In einem Seminar für Lehramtsstudenten hatte der Professor diesmal nicht einen dieser schwerverständlichen Texte verteilt, sondern die Aufgabe gestellt, geometrische Modelle wie Würfel oder Tetraeder zu basteln und sie dann mathematisch zu erklären.

Weil die Modelle so eindrucksvoll gerieten, organisierten acht Studentinnen eine Ausstellung in einem Universitätsraum. Die Resonanz fiel begeistert aus. Damit kam ein Stein ins Rollen, der, wie es sein »Erfinder« heute sieht, das Mitmach-Museum als logische Folge hatte. Beutelspacher kam auf die Idee, Schulklassen in die Ausstellung einzuladen. Schließlich traten die Exponate eine Rundreise durch die Republik an, sie wurden in Schulen, Sparkassen oder Einkaufszentren gezeigt. Die ersten Pappmodelle aus dem Seminar, zum Teil künstlerisch gestaltet, erwiesen sich als überaus haltbar. Obwohl sie vermutlich mehr als zehntausendmal berührt wurden, war ihnen nichts passiert.

Ob tatsächlich dieser Moment den Ausschlag gab, dem Projekt der »Mathematik zum Anfassen« einen festen Platz, gar ein Museum zu widmen, weiß Beutelspacher nicht mehr so genau. Aber es sei ihm schon nahegegangen, als er gesehen habe, wie ein Kind geweint habe, weil es am letzten Tag der Ausstellung vom Tisch mit den Knobelteilen wegmusste. Er gründete einen Förderverein, warb mit schwäbischer Beharrlichkeit erfolgreich um Zuschüsse von Stadt und Land und um Sponsoren und suchte nach einem Gebäude. Das alte Zollamt, rustikale Gründerzeitarchitektur, erwies sich schließlich wie geschaffen für den Zweck. Nicht nur, weil es unmittelbar neben dem Museum liegt, das Leben und Wirken von Justus Liebig zeigt, Gießens immer noch bedeutendsten Wissenschaftler. Es ist zudem in drei Minuten vom Bahnhof zu Fuß zu erreichen, als Ziel für Schulprojekttage nicht unwichtig.

Auch wenn am Anfang womöglich einige Klassen das Mathematikum als das kleinere Übel zum zweiten Vorschlag des Lehrers gewählt hatten, dann eben ins Museum für Bestattungskulturen nach Kassel zu reisen, sprach sich schon bald herum, wie »g... das denn« sei. An der Installation, mit der man sich in eine Riesenseifenblase hüllen kann, an dem Tisch, wo man nach einer Anleitung von Leonardo da Vinci aus dem 15. Jahrhundert ohne Klebstoff und Nägel mit Latten eine Brücke bauen kann, vor dem Selbstversuch des »goldenen Schnittes«, der am eigenen Abbild die Faszination großer Gemälde spüren lässt, überall stehen die Schüler nach wie vor Schlange.

Albrecht Beutelspacher ist Vater zweier Kinder. Sie sind der Faszination der Zahlen zumindest nicht in dem Maß erlegen, dass sie Mathematik studieren. Und der Professor maßt sich nicht an, von einem Kontrastprogramm zu sprechen, das das Museum zur Schule liefere. Er formuliert eher vorsichtig, der Unterricht bewege sich allmählich durchaus auch in Richtung »richtige Mathematik«. Die eigentlich fast in allen Lebenslagen die Chance bietet, Probleme zu analysieren, sie kreativ zu lösen. So wie Schüler im Deutschunterricht von Hesses Steppenwolf gepackt würden, brauche auch das von so vielen als anstrengend empfundene Pflichtfach Mathematik »emotionale Berührungspunkte«. Die ließen sich aber, wenn man die Augen offen halte, eigentlich überall finden: in der Form der Verkehrsschilder, in der Bauweise der Häuser und tausendfach in der Natur. Lernen, logisches Denken, müsse gerade in Deutschland, das gute Autos nicht nur bauen, sondern auch weiterentwickeln wolle, kreativ bleiben.