Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik

Von Simone Malacrida

Dieses Buch untersucht einen Großteil der fortgeschrittenen Mathematik, beginnend mit dem Meilenstein, der durch die mathematische Analyse gegeben wurde, und geht weiter zu Differential- und fraktaler Geometrie, mathematischer Logik, algebraischer Topologie, fortgeschrittener Statistik und numerischer Analyse.
Gleichzeitig werden umfassende Einblicke in Differential- und Integralgleichungen, Funktionsanalyse und fortgeschrittene Matrizen- und Tensorentwicklung vermittelt.
Mit dem aufgezeigten mathematischen Hintergrund wird es möglich sein, alle Mechanismen zur Beschreibung wissenschaftlicher Erkenntnisse zu verstehen, die durch eine Vielzahl von Formalismen ausgedrückt werden.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Simone Malacrida
• Erscheinungsdatum: 12. Feb. 2023
• ISBN: 9798215261316

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Buchvorschau

„Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik"

SIMONE MALACRIDA

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

Dieses Buch untersucht einen Großteil der fortgeschrittenen Mathematik, beginnend mit dem Meilenstein, der durch die mathematische Analyse gegeben wurde, und geht weiter zu Differential- und fraktaler Geometrie, mathematischer Logik, algebraischer Topologie, fortgeschrittener Statistik und numerischer Analyse.

Gleichzeitig werden umfassende Einblicke in Differential- und Integralgleichungen, Funktionsanalyse und fortgeschrittene Matrizen- und Tensorentwicklung vermittelt.

Mit dem aufgezeigten mathematischen Hintergrund wird es möglich sein, alle Mechanismen zur Beschreibung wissenschaftlicher Erkenntnisse zu verstehen, die durch eine Vielzahl von Formalismen ausgedrückt werden.

ANALYTISCHER INDEX

––––––––

EINFÜHRUNG

I – ALLGEMEINE TOPOLOGIE

II - GRENZEN UND KONTINUITÄT

III – DIFFERENZIALRECHNUNG

IV – INTEGRALE BERECHNUNG

V – STUDIE VON FUNKTIONEN MIT REALEN VARIABLEN

VI – ERWEITERTE ANALYTISCHE GEOMETRIE

VII – NICHT-EUKLIDISCHE GEOMETRIEN

VIII – REALE FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN

IX – IMPLIZIERTE FUNKTIONEN

X – ERWEITERTE VEKTOR- UND MATRIXMATHEMATIK

XI – DIFFERENZIALGEOMETRIE

XII – TENSORIAL-MATHEMATIK

XIII – INTEGRALRECHNUNG FÜR FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN

XIV – ENTWICKLUNGEN IN SERIE

XV – KOMPLEXE ANALYSE

XVI – FUNKTIONSANALYSE

XVII – TRANSFORMIEREN

XVIII – VERTEILUNGEN

XIX – GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

XX – PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

XXI – INTEGRAL- UND INTEGRAL-DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN

XXII – FORTGESCHRITTENE ALGEBRA

XXIII – ALGEBRAISCHE STRUKTUREN

XXIV – GALOIS-THEORIE

XXV – KOMBINATORISCHE GEOMETRIE

XXVI – DISKRETE MATHEMATIK

XXVII – ERWEITERTE STATISTIK

XXVIII – STOCHASTISCHE PROZESSE

XXIX – NUMERISCHE ANALYSE

XXX – FRAKTALE GEOMETRIE

XXXI – ZAHLENTHEORIE

XXXII – FORTGESCHRITTENE MATHEMATISCHE LOGIK

APOSTILLE

EINFÜHRUNG

In diesem Buch werden wir alle Grundlagen der fortgeschrittenen Mathematik bereitstellen, einschließlich sowohl der großen Disziplin der mathematischen Analyse als auch aller unterschiedlichen Gebiete, die in den letzten zwei Jahrhunderten entstanden sind, einschließlich, um nur einige zu nennen, Differentialgeometrie und Fraktale, nichteuklidische Geometrien, algebraische Topologie, Funktionsanalyse, Statistik, Numerik und mathematische Logik.

Fast alle diese Begriffe wurden nach der Einführung des Formalismus der mathematischen Analysis Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt, und seitdem hat sich der Weg der Mathematik immer parallel zwischen diesem Sektor und allen anderen möglichen Teildisziplinen so allmählich fortgesetzt Seite an Seite und haben eigenständige Wege eingeschlagen.

Zum vollständigen Verständnis des Handbuchs sind Kenntnisse und Voraussetzungen der elementaren Mathematik erforderlich, die wir hier nicht weitergeben, wie beispielsweise alles, was mit Trigonometrie, analytischer Geometrie, Matrizenmathematik, komplexen Zahlen und den Hauptfunktionen elementar reell zu tun hat Variable.

„Grundlegenden Mathematik-Handbuch" enthalten , das als Vorbereitung auf das, was im Folgenden erläutert wird, zu betrachten ist und das eine Art erster Band des gesamten mathematischen Wissens darstellt, für das dieses Handbuch vielmehr die Ergänzung darstellt der zweite Teil.

Zur Bedeutung der Mathematik in der heutigen Gesellschaft und zu den unterschiedlichen Bedeutungen der Mathematik als Kunst- und Universalsprache, die sie beschreibt la Natura, sei daher auf die Einleitung des vorgenannten Handbuchs verwiesen.

Es bleibt zu verstehen, warum die mathematische Analyse diese Wasserscheide zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik eingeführt hat.

Es gibt zwei Bereiche, die sich in diesem Diskurs ergänzen.

Einerseits war es erst mit der Einführung der mathematischen Analyse möglich, mit einem geeigneten Formalismus die Gleichungen zu beschreiben, die Naturphänomene physikalischer, chemischer oder anderer Herkunft, beispielsweise sozialer oder wirtschaftlicher Natur, beherrschen. Mit anderen Worten, die mathematische Analyse ist das Hauptwerkzeug zum Aufbau jener Mechanismen, die es uns ermöglichen, Ergebnisse vorherzusagen, Technologien zu entwerfen und über neue Verbesserungen nachzudenken, die eingeführt werden können.

Andererseits besitzt die mathematische Analysis ihrem Wesen nach eine spezifische Eigentümlichkeit, die sie deutlich von der bisherigen Elementarmathematik unterscheidet. Dies wird aus dem ersten Kapitel dieses Handbuchs ersichtlich, denn jetzt beschränken wir uns darauf, zu sagen, wie die mathematische Analyse für lokale Überlegungen sorgt, nicht ausschließlich für punktuelle. Allein der Übergang von der Pünktlichkeit zur Lokalität wird es ermöglichen, einen Diskurs der Globalität aufzubauen, der weit über das bisher Erkennbare hinausgeht.

Dieses Handbuch erhebt nicht den Anspruch, alle möglichen Facetten jedes einzelnen Sektors der fortgeschrittenen Mathematik vorzustellen oder auch nur die Demonstrationen der unendlichen Theoreme aufzudecken, die die mathematische Analyse und andere verwandte Disziplinen prägen. Erstens liegt es nicht im Rahmen des Schreibens und dann wären exorbitante Seitenzahlen erforderlich, was dem Geist eines Handbuchs widerspricht, das seinem Wesen nach synthetisch und kompendiumhaft ist.

In diesem Handbuch werden zwei Hauptthemen mehrmals aufgegriffen, um ihre gegenseitige Bedeutung zu unterstreichen.

Die erste wird durch die fortgeschrittene Geometrie in all ihren Formen gegeben, um genau den parallelen Weg zwischen Mathematik und Geometrie aufzuzeigen, der seit Anbeginn der Geschichte vorhanden ist.

Das zweite Argument ist typisch für den durch die mathematische Analyse eingeführten Sprung und bezieht sich auf die Topologie, die wir aus Gründen des Verständnisses in mehreren Teilen des Handbuchs vorstellen werden.

Am Ende des Buches werden Themen von allgemeinem Interesse vorgestellt, die die mathematische Analyse außer Acht lassen können, wie fortgeschrittene Algebra, Statistik und Numerik.

Das letzte Kapitel widmet sich der fortgeschrittenen mathematischen Logik. Bei näherer Betrachtung widmete sich das erste Kapitel des bereits erwähnten „Handbuch der elementaren Mathematik" der elementaren Logik. Dass dieses Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik wieder mit Logik endet, ist keineswegs ein Zufall: Die Entwicklung der Mathematik ist intern logischen Konstrukten, die den Referenzkompass für alles menschliche Denken bilden.

Jedes einzelne Kapitel kann als eigenständiges Gebiet der Mathematik betrachtet werden, aber nur durch die Analyse aller Themen wird es möglich sein, die Weite der Mathematik zu berühren, und deshalb spiegelt die Reihenfolge der Kapitel eine Abfolge von Wissen wider, das sich ständig weiterentwickelt.

I

ALLGEMEINE TOPOLOGIE

Der konzeptionelle Sprung zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik wurde erst nach der Einführung der mathematischen Analyse offensichtlich. Die Tatsache, dass diese Disziplin lokal und nicht punktuell war, führte zum Studium und zur Entwicklung der Topologie, verstanden als das Studium von Orten und Räumen nicht nur im geometrischen Sinne, sondern in einem viel weiteren Sinne. Die allgemeine Topologie liefert die Grundlagen aller zugrunde liegenden Sektoren, zu denen wir die algebraische Topologie, die differentielle, die fortgeschrittene und so weiter zählen können.

Wir definieren Topologie als eine Sammlung T von Teilmengen einer allgemeinen Menge X, für die die folgenden drei Eigenschaften gelten:

1) Die leere Menge und die allgemeine Menge X gehören zur Sammlung T.

2) Die Vereinigung einer beliebigen Menge von zu T gehörenden Mengen gehört zu T.

3) Der Durchschnitt einer endlichen Anzahl von Mengen, die zu T gehören, gehört zu T.

Ein topologischer Raum wird durch ein Paar (X, T) definiert, und die Mengen, die die Sammlung T bilden, sind offene Mengen. Besondere Topologien können die triviale sein, in der T aus X und der leeren Menge gebildet wird, und die diskrete, in der T mit der Menge der Teile von X zusammenfällt. In der ersten Topologie sind nur die leere Menge und X offene Mengen, während in die diskrete Alle Mengen sind offene Mengen. Zwei Topologien sind vergleichbar, wenn eine von ihnen eine Teilmenge der anderen ist, während, wenn eine Topologie die andere enthält, die erste als feiner als die zweite bezeichnet wird. Die Menge aller Topologien ist teilweise geordnet: Die triviale Topologie ist am wenigsten fein, die diskrete ist am feinsten, und alle anderen möglichen Topologien haben eine mittlere Feinheit zwischen diesen beiden.

In einem topologischen Raum heißt eine Menge I, die einen zu X gehörenden Punkt x enthält, (offene) Umgebung von x, wenn es eine in I enthaltene offene Menge A gibt, die x enthält:

Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Geschlossene Mengen haben drei Eigenschaften:

1) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Menge.

2) Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Menge.

3) Die Menge X und die leere Menge sind abgeschlossen.

Mit diesen Eigenschaften kann eine Topologie basierend auf abgeschlossenen Mengen konstruiert werden. Im Allgemeinen kann eine Teilmenge geschlossen, offen, sowohl offen als auch geschlossen, weder offen noch geschlossen sein.

Sagte S eine Teilmenge eines topologischen Raums X, x ist ein Abschlusspunkt von S, wenn jede Umgebung (offen oder geschlossen) von x mindestens einen Punkt von S enthält.

Sagte S eine Teilmenge eines topologischen Raums X, x ist ein Häufungspunkt von S, wenn jede Umgebung (offen oder geschlossen) von x mindestens einen von x selbst verschiedenen Punkt von S enthält.

Jeder Häufungspunkt ist ein Schließpunkt, während umgekehrt nicht gilt. Verriegelungspunkte, die keine Häufungspunkte sind, werden isolierte Punkte genannt.

Die Menge aller Abschlusspunkte einer gegebenen Menge heißt Abschluss und wird mit cl(I) bezeichnet. Der Abschluss in einer Menge ist eine abgeschlossene Menge und enthält die Startmenge, außerdem ist er die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen, die die Startmenge enthalten, und ist die kleinste geschlossene Menge, die die Startmenge enthält. Diese Definitionen werden als topologischer Abschluss bezeichnet.

Eine Menge ist also genau dann abgeschlossen, wenn sie mit ihrem eigenen Abschluss übereinstimmt.

Schließlich ist der Abschluss einer Teilmenge eine Teilmenge des Abschlusses der Hauptmenge, und eine abgeschlossene Menge enthält genau dann eine andere Menge, wenn diese Menge den Abschluss der zweiten enthält.

Es versteht sich von selbst, dass der Abschluss der leeren Menge die leere Menge ist, der der allgemeinen Menge X die allgemeine Menge X und in einem diskreten Raum jede Menge gleich ihrem Abschluss ist.

Sagte S eine Teilmenge eines topologischen Raums X, x ist ein innerer Punkt von S, wenn es eine (offene oder geschlossene) Umgebung von x gibt, die in S enthalten ist.

Die Menge aller inneren Punkte einer gegebenen Menge heißt das Innere und wird mit int(I) bezeichnet. Der innere Teil ist eine offene Teilmenge der Startmenge, er ist die Vereinigung aller in dieser Menge enthaltenen offenen Mengen und die größte in dieser Menge enthaltene offene Menge. Diese Definitionen werden als topologisches Inneres bezeichnet.

Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie mit ihrem Inneren übereinstimmt, außerdem erfüllt das Innere die Idempotenzrelation.

Schließlich ist das Innere einer Teilmenge eine Teilmenge des Inneren der Hauptmenge, und eine offene Menge enthält genau dann eine andere Menge, wenn diese Menge das Innere der zweiten enthält.

Es versteht sich von selbst, dass das Innere der leeren Menge die leere Menge ist, das der allgemeinen Menge X die allgemeine Menge X und in einem diskreten Raum jede Menge gleich ihrem Inneren ist.

Eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raums heißt selten, wenn sie keinen Innenraum hat. Ein topologischer Raum heißt erster Kategorie, wenn er die Vereinigung einer abzählbaren Familie seltener abgeschlossener Mengen ist, umgekehrt heißt er zweiter Kategorie.

Dem internen Teil und dem Abschluss können Operatoren zugeordnet werden, die diese beiden Konzepte in eine duale Beziehung setzen.

Die festgelegte Differenz zwischen dem Verschluss und dem Inneren wird als Grenze bezeichnet, ein zur Grenze gehörendes Element wird als Grenzpunkt bezeichnet. Die Grenze ist auch der Schnittpunkt zwischen dem Abschluss und seinem Komplement und ist definiert als die Menge von Punkten, so dass jede Nachbarschaft mindestens einen Punkt enthält, der zu der Menge gehört, und mindestens einen Punkt, der nicht zu dieser Menge gehört.

Der Rand einer Menge ist geschlossen. Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Rand in der Menge enthalten ist, während sie genau dann offen ist, wenn ihr Rand davon disjunkt ist.

Die Grenze einer Menge ist gleich der Grenze ihres Komplements, und die Abschlussoperation ist einfach die Vereinigung der Menge mit ihrer Grenze. Der Rand einer Menge ist genau dann leer, wenn die Menge sowohl abgeschlossen als auch offen ist.

Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist lokal geschlossen, wenn sie mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt: sie ist offen in ihrem Abschluss oder sie ist offen in jedem geschlossenen Raum oder sie ist geschlossen in jedem offenen Raum oder wenn für jeden Punkt der Teilmenge es gibt eine offene Nachbarschaft dieses Punktes, so dass der Schnittpunkt zwischen der Nachbarschaft und der Teilmenge in der Nachbarschaft geschlossen ist.

Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn er aus einer beliebigen Familie offener Teilmengen des Raums stammt, dessen Überdeckung gegeben ist durch:

man kann eine endliche Teilmenge J in I extrahieren, so dass die gleiche Überdeckungsrelation gilt. Dies ist die sogenannte Abdeckkompaktheit und kann auch durch die Verwendung geschlossener Mengen definiert werden.

Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, wenn jede Folge von Punkten im Raum eine Teilfolge zulässt, die gegen einen Punkt im Raum konvergiert.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede unendliche Teilmenge eines kompakten Raums mindestens einen Häufungspunkt zulässt.

Eine geschlossene Teilmenge eines Kompakts ist ein Kompakt; das Produkt kompakter Räume ist ebenso kompakt wie der Quotient.

Die leere Menge und jede mit der trivialen Topologie definierte Menge sind kompakt. Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall in der Menge der reellen Zahlen ist kompakt. Jeder endliche topologische Raum ist auch kompakt, ebenso wie die geschlossene Sphäre in RxR und die Cantor-Menge (die wir ausführlich in dem Kapitel besprechen werden, das der fraktalen Geometrie gewidmet ist, fast am Ende des Buches). Unendliche Mengen mit diskreter Topologie sind nicht kompakt.

Ein Raum wird als lokal kompakt bezeichnet, der für jeden Punkt eine Basis von Umgebungen zulässt, die aus kompakten Mengen bestehen.

Ein nicht leerer topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn das einzige Paar disjunkter Teilmengen, dessen Vereinigung der Raum selbst ist, durch das Paar zwischen dem Raum und der leeren Menge gegeben ist. Entsprechend können wir sagen, dass ein topologischer Raum genau dann zusammenhängend ist, wenn die einzigen offenen und abgeschlossenen Teilmengen die leere Menge und der Raum selbst sind.

Eine zusammenhängende Komponente eines Raums wird als zusammenhängende Teilmenge bezeichnet, die in keiner anderen zusammenhängenden Teilmenge enthalten ist. Ein Raum, dessen verbundene Komponenten seine Punkte sind, wird als vollständig getrennt bezeichnet. Die Cantor-Menge und eine Menge mit diskreter Topologie sind vollständig getrennt.

Die Vereinigung von Linien in der Ebene ist ein zusammenhängender Raum, wenn mindestens zwei Linien nicht parallel sind, während in der Menge der reellen Zahlen eine Teilmenge genau dann zusammenhängend ist, wenn es sich um ein Intervall handelt, in dem jedes Extrem unendlich sein kann. Außerdem ist das Produkt zusammenhängender Räume ein zusammenhängender Raum.

Ein topologischer Raum heißt durch Bögen oder Wege verbunden, wenn es für jedes Punktpaar im Raum eine stetige Funktion gibt (zur Definition von Stetigkeit siehe nächstes Kapitel), die sie gleichwertig mit den Endpunkten verbindet des Weges. Jeder durch Wege verbundene Raum ist verbunden, aber nicht umgekehrt.

Ein Raum ist lokal verbunden, wenn er ein System verbundener Nachbarschaften hat. Ein wegzusammenhängender topologischer Raum ist einfach zusammenhängend, wenn der Weg bis zur Transformation (Homotopie genannt) in den konstanten Weg beliebig kontrahierbar ist.

Wir definieren stetige Funktion zwischen topologischen Räumen als eine Funktion, für die das Gegenbild jeder offenen Menge offen ist.

Wir definieren den Hausdorff-Raum als einen topologischen Raum, der die folgenden Axiome erfüllt:

1) Jedem Punkt im Raum entspricht mindestens eine Umgebung des Punktes, die den Punkt selbst enthält.

2) Bei zwei Nachbarschaften desselben Punktes ist der Schnittpunkt dieser beiden Nachbarschaften eine Nachbarschaft.

3) Wenn eine Umgebung eines Punktes eine Teilmenge einer Menge ist, dann ist diese Menge auch eine Umgebung des Punktes.

4) Für jede Nachbarschaft eines Punktes existiert eine andere Nachbarschaft dieses Punktes, so dass die erste Nachbarschaft die Nachbarschaft irgendeines Punktes ist, der zur zweiten Nachbarschaft gehört.

5) Bei zwei unterschiedlichen Punkten gibt es zwei disjunkte Nachbarschaften.

Insbesondere das letzte Axiom wird Hausdorffsches Trennbarkeitsaxiom topologischer Räume genannt. Die Trennbarkeitsaxiome topologischer Räume können gemäß einer Kategorie aufeinanderfolgender Verfeinerungen verallgemeinert werden:

1) Leerzeichen : Für jedes Punktpaar gibt es ein offenes Feld, das einen Punkt enthält und den anderen nicht.

2) Räume : Für jedes Punktpaar gibt es zwei offene Räume, so dass beide einen der beiden Punkte enthalten, aber nicht den anderen.

3) Leerzeichen : Für jedes Punktepaar gibt es zwei offene Disjunkte, die sie jeweils enthalten. Dies sind Hausdorff-Räume.

4) Reguläre Räume: Für jeden Punkt und für jeden abgeschlossenen Disjunkt gibt es zwei offene Disjunkte, die sie jeweils enthalten.

5) Leerzeichen : wenn sie sind und regelmäßig.

6) Vollständig reguläre Räume: Für jeden disjunkten Punkt und für jede abgeschlossene Menge gibt es eine stetige Funktion mit reellen Werten, die in der abgeschlossenen Menge 0 und im Punkt 1 ist.

7) Zwischenräume : wenn sie sind und völlig regelmäßig sind.

8) Normalräume: Für jedes Paar geschlossener Disjunkte gibt es zwei offene Disjunkte, die sie jeweils enthalten.

9) Leerzeichen : wenn sie sind und normal.

Offene oder abgeschlossene Teilmengen eines lokal kompakten Hausdorff-Raums sind lokal kompakt. Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist zweitklassig.

Wir erinnern daran, dass in topologischen Räumen Begriffe der Elementarmathematik wie die Konzepte der Abzählbarkeit oder der Kardinalität erweitert werden können, wodurch abzählbare Mengen und stetige Mengen definiert werden können.

Eine Teilmenge ist in einem topologischen Raum dicht, wenn jedes Element der Teilmenge zur Menge gehört oder Häufungspunkt ist. Äquivalente Definitionen sind die folgenden: Eine Teilmenge ist dicht, wenn ihr Abschluss der topologische Raum ist oder wenn jede nicht leere offene Teilmenge die Teilmenge schneidet oder wenn das Komplement der Teilmenge ein leeres Inneres hat oder wenn jeder Punkt des Raums die Grenze von ist eine Sequenz, die in der Teilmenge enthalten ist.

Jeder topologische Raum ist in sich dicht; rationale und irrationale Zahlen sind dicht in der Menge der reellen Zahlen. Ein Raum ist separabel, wenn seine dichte Teilmenge abzählbar ist. Eine Menge ist nie dicht, wenn sie in keiner offenen Menge dicht ist.

Ein topologischer Raum ist einheitlich, wenn er eine Familie von Teilmengen hat, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

1) Jede Familie von Teilmengen enthält die Diagonale des kartesischen Produkts X x X.

2) Jede Familie von Teilmengen ist unter Inklusion abgeschlossen.

3) Jede Familie von Teilmengen ist unter der Schnittmenge abgeschlossen.

4) Wenn eine Nachbarschaft zu der Topologie gehört, dann existiert eine Familie von Teilmengen, die zu der Topologie gehören, so dass, wenn zwei Punktepaare mit einem gemeinsamen Punkt zu der Familie von Teilmengen gehören, die zwei disjunkten Punkte zu der Nachbarschaft gehören.

5) Wenn eine Nachbarschaft zur Topologie gehört, dann gehört auch die Umkehrung der Nachbarschaft im kartesischen Produkt zur Topologie.

Ein metrischer Raum ist ein topologischer Raum, der durch eine Topologie auf der Basis kreisförmiger Nachbarschaften erzeugt wird. In metrischen Räumen wird eine Metrik definiert, die zwei Punkten im Raum eine nicht negative reelle Zahl zuordnet, für die die folgenden Eigenschaften gelten:

Eine Funktion heißt an einem Punkt auf einem metrischen Raum stetig, wenn für beliebige positive Größen der Abstand zwischen diesem Punkt und einem anderen Punkt begrenzt ist. Unter Berücksichtigung der sphärischen Nachbarschaften und des Definitionsbereichs der Funktion haben wir:

Ein metrischer Raum ist