Analysis leicht gemacht: Vorbereitungen für das Abitur
Von Franz Daniels
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Über dieses E-Book
Franz Daniels
Der Autor ist im Jahr 1944 geboren. Er studierte ab 1966 Mathematik und Physik an der Technischen Universität in Berlin bis zum Jahr 1969. Er schloss das Studium im Jahr 1973 mit dem Diplom in Physik an Max-Planck-Institut für Biophysik in Frankfurt/Main ab. Danach ging er in den Schuldienst. Nach der Referendarzeit in Ffm trat er im Jahr 1975 eine Stelle am Gymnasium Altkönigschule in Kronberg im Taunus an. Seit 1987 war er dort als Studiendirektor Fachbereichsleiter für die Naturwissenschaften. Im Jahr 2009 wurde er pensioniert.
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Analysis leicht gemacht - Franz Daniels
Merksätze
1.) Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen
a.) Quadratische Gleichungen
Bei fast allen Problemen treten quadratische Gleichungen auf. Wie man damit umgeht, soll hier an einigen Beispielen erörtert und dabei gleichzeitig gründlich wiederholt werden.
Gegeben sei z. B. die Gleichung:
12x² + 13x − 35 = 0.
Wie lauten die Lösungen dieser Gleichung?
Ohne „Lösungsformel" muss diese Gleichung auf ein vollständiges Binom zurückgeführt werden. Dies geschieht folgendermaßen: Zunächst wird die ganze Gleichung durch 12 dividiert, damit 1⋅ x² vorne alleine steht. Also:
In der binomischen Formel steht a² ± 2ab + b² = (a ± b)².
sein, da x² oder a ja schon „vergeben" sind.
.
Stünde dieser Term in der Gleichung, dann könnte man sofort das „vollständige Binom hinschreiben. Dieser Term steht aber meistens (leider) nicht dort. Trotzdem kann man erzwingen, dass er dort auftaucht, ohne die Aussage der Gleichung zu verändern. Dieser „Trick
sieht so aus, dass man zunächst eine Null addiert (und diese dann „auseinanderreißt"). Man geht daher folgendermaßen vor:
oder
.
.
oder:
.
Das sind genau die Lösungen der gegebenen quadratischen Gleichung.
Man kann die „Probe" machen:
Es ist:
oder
, q.e.d.
Mit dem anderen Wert von x2 gelingt dies genauso. Das überlassen wir dem Leser.
Jetzt kann die allgemeine Formel gefunden werden, damit das Lösen von quadratischen Gleichungen in Zukunft etwas schneller geht.
.
oder
.
die Lösungen der oben gegebenen Gleichung.
, dann geht die quadratische Gleichung über in x² + px + q = 0. (Das ist die sogenannte Normalform der quadratischen Gleichung.)
.
Das ist die wichtige p-q-Formel, auf die immer wieder zurück gegriffen werden wird.
Bleiben wir beim obigen konkreten Beispiel: 12x² +13x − 35 = 0.
Zunächst muss auch hier durch 12 dividiert werden, da in der Normalform 1⋅ x² stehen muss.
Also ist (wie oben) :
.
Also lauten die Lösungen der Gleichung (siehe obige „Formel"):
Hier ist zwar immer noch einige Arbeit erforderlich, bis man die Ergebnisse hat und nicht immer geht die Wurzel so „schön" wie hier auf, trotzdem findet man mit der p-q-Formel die Lösungen ganz gut und einigermaßen schnell.
Wer lieber mit der allgemeinen Formel arbeitet, der merke sich folgendes:
(Diese Formel heißt manchmal auch „Mitternachtsformel".)
Es ergibt sich damit für obiges Beispiel :
usw., wie oben.
Lösungsmannigfaltigkeiten:
Manchmal wird gefragt nach der Anzahl der möglichen, in Frage kommenden Lösungen. Das kann jetzt gut mit Hilfe der allgemeinen Lösungsformel entschieden werden:
, dann existiert im Reellen die Wurzel und die Gleichung hat wegen des ± vor der Wurzel zwei , dann hat die Wurzel den Wert Null und das ± vor der Wurzel „bewirkt" nichts. Damit hat die Gleichung nur noch eine .
, dann existiert im Reellen für die Wurzel keine Lösung.
Damit hat im Reellen die Gleichung gar keine Lösung.
Manchmal ist danach gefragt, wie man die Gleichung verändern muss, damit bei gegebenem p oder q nur eine oder sogar keine Lösung existiert. Wie lautet dann diese?
Dazu nimmt man genau diese Bedingungen und „dreht" sie einfach um.
. Die Gleichung lautet jetzt: 12x² + 13x − 35q = 0.
.
gewählt wird, dann hat die quadratische Gleichung genau nur eine Lösung.
Die (neue) Gleichung heißt in dieser Situation:
In diesem Falle lautet deren einzige Lösung:
1b.) Polynomdivision
In vielen Fällen sind ganzrationale Gleichungen 3. oder 4. Grades gegeben und es werden deren Nullstellen gesucht. Da die Lösungsformeln für derartige Gleichungen zwar existieren, aber sehr schwierig zu handhaben sind, geht man in der Schule anders vor.
In vielen vorkommenden Gleichungen existiert häufig eine ganzzahlige Nullstelle, damit ist die Nullstelle ist bereits bekannt.
Nach Gauß gibt es den Fundamentalsatz der Algebra. Dieser besagt, dass das Polynom n-ten Grades Pn (x) dargestellt werden kann durch ein Produkt aus seiner Nullstelle (x − xN) mit einem Polynom vom Grad (n −1).
Konkret bedeutet dies: Es ist: Pn(x) = Pn−1(x) ⋅ (x − xN). Daraus ergibt sich, wenn man eine Nullstelle xN kennt, dass dann durch Division mit (x − xN) ein Polynom Pn−1 (x) vom Grad (n − 1) erzeugt werden kann.
.
Am besten wieder ein Beispiel: Es sei gegeben: 2x³ + x² − 15x − 18 = 0.
Es sei bekannt, dass x1 = −2 eine (sogenannte) Nullstelle ist. (Die Probe durch Einsetzen von x1 = −2 in die Beispielsgleichung liefert: −16 + 4 + 30 −18 = 0.)
Wie lauten die anderen Nullstellen ?
Diese findet man durch eine Polynomdivision. Es wird dividiert wie immer, mit dem Unterschied, dass der Divisor hier aus einer Summe oder Differenz besteht. Es ist:
Die Division muss „aufgehen", wenn die Nullstelle gefunden und richtig gerechnet wurde. Damit ist ein Polynom 2. Grades entstanden, dessen weitere Nullstellen nun mit der p-q-Formel bestimmt werden können:
Hier bleibt übrig:
(wegen der p-q-Formel), liefert als Lösungen:
Also lauten alle Nullstellen des obigen Beispiel-Polynoms:
Liegt ein Polynom 4. Grades vor, so muss dieser Schritt 2-mal durchgeführt werden. Dabei kann man meistens die Tatsache ausnutzen, dass, wenn die Nullstelle ganzzahlig ist, sie immer ein ganzzahliger Teiler des (letzten) absoluten Gliedes ist. Das heißt, man kann durch sinnvolles Raten eine Nullstelle xN finden und dann mit (x − xN) eine Polynomdivision durchführen. Im obigen Beispiel hätte man die erforderlichen „Rate-Rechnungen" durch Probieren mit
xN = ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 etwas eingeschränkt.
Liegt ein unvollständiges Polynom 3. Grades vor, das nur Terme x³ und x¹ enthält, so kann man x vorklammern. Man erhält dann ein Produkt, dessen Lösung gleich Null ist. Damit „zerfällt" der Ausdruck in x1 = 0 und in ein Polynom 2. Grades, auf das unter Umständen sofort die p-q-Formel angewandt werden kann. Hierzu wieder ein Beispiel: Gegeben sei: 4x³ − 3x = 0.
Dies kann sofort umgewandelt werden in: x · (4x² − 3) = 0. Bei einem Produkt, dessen Wert Null ist, muss (mindestens) einer der Faktoren Null sein.
Also gilt sofort: x1 = 0 oder 4x² − 3 = 0. Das ergibt (hier sogar ohne p-q-Formel):
liefert dann die gesuchten Lösungen.
1c.) Trigonometrische Beziehungen
In rechtwinkligen Dreiecken sind die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens wichtig und sehr oft gefragt.
Dies soll nun an einem konkreten Beispiel erörtert werden:
Im untenstehenden rechtwinkligen Dreieck sei a = 7,5 cm, b = 4 cm gegeben. Der rechte Winkel ist bei α = 90°.
Wie groß sind die Seite c und die Winkel α und β ?
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann zunächst der Satz des Pythagoras angewandt werden:
, indem zunächst nach c² freigestellt und dann die positive Wurzel, da es sich um eine Dreieckseite handelt, gezogen wird, also:
Nun können die Beziehungen von sin, cos und tan verwendet werden. Es ist z. B.
. Damit ergibt sich für β = arcsin(β) ≈ 32,231°.
.
Man könnte den Winkel γ nun mit der Winkelsumme oder mit der cos- oder mit der tan-Beziehung berechnen. Hier sollen alle drei Möglichkeiten dargestellt werden:
.
arbeiten können.
.
Die Winkelsumme ergibt tatsächlich: 90° + 32,231° + 57,769° = 180°.
Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, finden häufig der sogenannte sin-Satz oder der cos-Satz Anwendung.
.
Es gilt (in diesem Dreieck) beim cos-Satz: a² = b² + c² − 2bc cos(α).
Dabei gelten in beiden Fällen die Bezeichnungen wie oben (und der Winkel α ≠ 90° ; selbst wenn α = 90°, gilt der cos-Satz; er geht dann in den Pythagoras über).
In beiden Anwendungen muss natürlich jeweils nach der fehlenden Größe um- bzw. freigestellt werden.
In der Analysis, aber auch in der Physik werden Winkel häufig oder fast immer im sogenannten Bogenmaß gemessen oder angegeben.
Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang U = 2 ⋅ π ⋅ r. Wählt man als Radius r den Wert r = 1, so ist dessen Umfang U = 2 ⋅ π. Zu diesem Umfang gehört also der („alte") Vollwinkel von α = 360°. Damit hat man eine neue Möglichkeit, den Vollwinkel von 2π für den Winkel von 360° zu definieren. (Das Bogenmaß ist eine positive Zahl, wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt; im anderen Fall ist es eine negative Zahl.)
Zusätzlich gibt man dem neuen Winkel eine (künstliche) Einheit:
Man legt also fest, dass α = 360° = 2π rad sind oder umgekehrt
Das Bogenmaß kann auf dem Taschenrechner (meistens durch R) eingestellt werden; dies ist dann sehr wichtig, wenn Integrale berechnet werden müssen.
1d.) Umgang mit Logarithmen
Es ist: 10² = 100 bzw. 10³ = 1000. Aber wenn z. B. 10x = 500 gesucht ist, dann kann man höchstens sagen: 2 < x < 3. Will man aber den Wert von x genau wissen, dann muss eine neue Größe definiert werden: Diese lautet hier: x = log10(500). Dies wird gelesen als der „Logarithmus zur Basis 10 von 500". Die 10 nennt man die Basis des Logarithmus. Da diese Basis 10 sehr wichtig ist und sehr häufig verwendet wird, lässt man sie auf dem Taschenrechner weg und führt ein:
x = log10(500) = log(500) ≈ 2,69897.
Der Taschenrechner hat meistens eine eigene log-Taste dafür.
In der Analysis spielt sehr häufig die Zahl e eine ganz wichtige Rolle. Diese Zahl wurde zum ersten Mal von L. Euler (1760) dargestellt. Sie gibt an, wie man vorgehen muss, wenn sich eine Größe augenblicklich „verzinst". Deshalb wird sie bei allen natürlichen Wachstums- oder Zerfallsvorgängen benötigt. Es ist:
......Diese Folge konvergiert sehr langsam. Eine „bessere" Darstellung, weil sie schneller konvergiert, liefert die unendliche Reihe:
(Es bedeutet i != 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅..... ⋅ i ; per definitionem ist 0 != 1);
(i ! wird gelesen als „i-Fakultät")
Auch hier ergibt sich e ≈ 2,71828.....
In allen natürlichen Wachstums- oder Zerfallsvorgängen spielt daher die Funktion y = ex eine entscheidende Rolle. Ebenso benötigt man für Gleichungen der Art ex = a einen („neuen) Logarithmus zur Basis e. Also gilt bei diesem Beispiel x = loge(a). Dieser Logarithmus ist so wichtig, dass er eine eigene Abkürzung erhält: x = loge(a) = ln(a). Man nennt ihn den „natürlichen
Logarithmus. Jeder Taschenrechner hat eine ln-Taste.
Das soll hier an einem Beispiel verdeutlicht werden: ex = 25 ⇔ x = ln(25) ≈ 3,21888.
.
.
Heißt die Gleichung z. B. x = ln(e²), dann ergibt