Aufgabensammlung Mittelstufe und Realschule: www.mathe-total.de

Von Marco Schuchmann

In diesem Buch wurden viele Aufgaben mit Lösungen und Lösungserklärungen für die Mittelstufe und auch für die Realschule zusammengestellt. Die Aufgabenstellungen sind nicht speziell auf eine Schulform zugeschnitten, da in diversen Schulformen zum großen Teil die gleichen Inhalte vermittelt werden, nur dass in der Mittelstufe bei einigen Aufgaben der Schwierigkeitsgrad höher ist. Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad wurden rot gekennzeichnet. Im Wesentlichen wurden aber in diesem Buch Aufgaben erstellt, die zum grundlegenden Verständnis der Mathematik der Klassen 6 bis 9/10 wichtig sind.
Das Buch ist auch eine Ergänzung zum Buch „Jetzt lerne ich Mathematik für die Mittelstufe“, welches überwiegend Erklärungen und Beispiele enthält. In beiden Büchern sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb auch oft Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Books on Demand
• Erscheinungsdatum: 8. Dez. 2015
• ISBN: 9783739281100

Marco Schuchmann

Dr. rer. nat. Marco Schuchmann hat in Darmstadt Mathematik studiert und ist an der Hochschule Darmstadt im Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften angestellt. Hier hält er u.a. Mathematikvorlesungen über Themen, wie z.B. Wavelets und auf dem Gebiet der mathematischen Statistik. Seit 1996 veröffentlicht er mathematische Fachbücher.

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Flächenberechnung

1) Gesucht werden die Fläche (A) und der Umfang (U):

2)

c) Ein Rechteck hat eine Fläche von 72cm². Eine Seite ist 8cm. Wie lang ist die andere Seite?

d) Ein Rechteck hat einen Umfang von 28cm. Eine Seite ist 6cm lang. Wie lang ist die andere Seite und wie groß ist die Fläche?

3)

a) Gesucht wird x und y.

b) Gesucht werden Fläche und Umfang.

4)     a) Wie groß ist die Fläche?

b) Fläche und Umfang gesucht:

c) A = 42dm². Gesucht wird die Höhe h.

d)

A = 10m²

Gesucht wird die Grundseite g.

e)

A wird gesucht.

5) Gesucht wird die Fläche.

a)

b)

6)

Fläche?

7) Ab hier sollen die Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma berechnet werden.

A und U gesucht.

8) A und b (Bogenlänge des Kreisausschnittes) gesucht.

9) A und U gesucht.

10) Gesucht wird die Fläche des Kreisringes:

Lösungen

1) A = 5m · 5m = 25m²(oder (5m)² = 25m²)

U = 4·5m = 20m

2) a) A = 8m · 3m = 24m²

U = 2 · (8m + 3m) = 22m(Oder:U = 2 · 8m + 2 · 3m)

b) 2dm = 20cm

A = 28cm · 20cm = 560cm²

U = 2 · (28cm + 20cm) = 96cm

c)A = a · b

A = 72cm²72cm² = 8cm · b    |:8cm

b = 9 cm, womit die andere Seite 9cm lang ist.

d) U = 2 · (a + b) = 2a + 2b

Wir setzen U = 28cm und a = 6cm in die obere Gleichung ein und erhalten:

28cm = 2 · 6cm + 2 · b

28cm = 12cm + 2b    |–12cm

16cm = 2b    |:2

b = 8cm

A = a · b = 6cm · 8cm = 48cm²

3) x = 20m – 12m = 8m

y = 22m – 8m = 14m

Wir teilen die Fläche auf:

A1 = 22m · 8m = 176m² (Rechteck auf auf der linken Seite)

A2 = 12m · 8m = 96m²

Die gesamte Fläche beträgt also: A = A1 + A2 = 176m² + 96m² = 272m²

U = 22m + 20m + 8m + 12m + 14m + 8m = 84m

· g · h   oder g · h: 2

· 8cm · 6cm = 24cm²

· 3m · 4m = 6m²

U = 3m + 4m + 5m = 12m

c) A = 42dm²

g = 12dm

Wir rechnen ohne Einheiten:

A = g · h:2

42 = 12 · h: 2    |·2Oder: 42 = 12 · h: 2

84 = 12 · h    |:1242 = 6· h         | :6

h = 7   h = 7

Also ist h = 7cm.

d) A = 10m²

h = 2,5m

10 = g · 2,5: 2    (Rechnung ohne Einheiten)

10 = g · 1,25|:1,25

  g = 8, also ist die Grundseite 8m lang.

e) A = g · h

= 6m · 1,2m

= 7,2m²

(a und c sind die beiden parallelen Seiten)

6) Wir teilen die Flächen auf in A1 (das obere Trapez) und A2 (das untere Rechteck):

r = 1,2m: 2 = 0,6m

A = r² · π = (0,6m)² · π ≈ 1,13m²

U = 2 · r · π = 2 · 0,6m · π ≈ 3,77m

oder U = d · π

Die Klammer wird nur wegen der

Einheit hingeschrieben, in den

Taschenrechner muss man hier nur

0,6²·π einsetzen.

8) r = 5cm

    α = 60°

9) Wir haben ein Rechteck und 2 Halbkreise = einen ganzen Kreis.

A◻ = 50m · 40m = 2000m²

r = 20cm.

A0 = r² · π = (20cm)² · π ≈ 1256,64m²

A = A◻ + A0 ≈ 3256,64m²

Für den Umfang benötigen wir den Kreisumfang und die beiden Geraden von je 50m Länge.

U0 = 2 · r ·π = 40m · π ≈ 125,66m

U = U0 + 2 · 50m ≈ 225,66m

10)A = ra² · π – ri² · π

ra = 2m: 2 = 1m

ri = 1,6m: 2 = 0,8m

A = (1m)² · π – (0,8m)² · π ≈ 1,13m²

Volumenberechnung

1) Wie groß ist die Oberfläche (O) und das Volumen (V)?

a)

b)

2) Ein Würfel hat eine Oberfläche von 150 cm². Wie groß ist sein Volumen?

3)

Volumen: V = 60 Liter

Wie groß ist h?

4)a) V = ?

b) V und O gesucht. Für diese Aufgabe muss der Satz von Pythagoras bekannt sein (falls nicht, kann einfach 5m für die fehlende Seite des Dreiecks angenommen werden).

c) V und O gesucht.

5) Es wird das Volumen V gesucht.

6) Hier ist a = 12m und h = 8m und es wird V und O gesucht.

7) Ab hier soll auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet werden. Gesucht wird V und O:

8)

r = 3cm     V = 330ml

h = ?

9)

r = 5cm

h = 12cmV und O gesucht.

10)

r = 15cm.     V und O gesucht.

Lösungen

1)a)A=(8m)³ = 512m³ (oder 8m · 8m · 8m)

O = 6 · (8m)² = 384m²

(6 Quadrate von 8cm auf 8cm)

b)V = 80cm · 60cm · 40cm = 192000cm³ = 192dm³

O = 2 · 80cm · 60cm + 2 · 60cm · 40cm + 2 · 80cm · 40cm

    = 20800cm² = 208dm²

2) O = 6 · a2

150cm² = 6 · a²   |:6

a = 5cm

V= (5cm)³ = 125cm³

3) V = 60l =60dm³

V = a · b · c bzw.     V = a · b · h

Ohne Einheit:

60 = 6 · 4 · h

60 = 24 · h

h = 2,5, also ist die Höhe 2,5dm.

4) a) Grundfläche ist ein Dreieck:

G = 10cm · 6cm: 2

    = 30cm2

V = G · h = 30cm² · 30cm = 900cm³

b) G = 5m · 12m :2 = 30m2

V = G · h = 30m² · 18m = 540m³

Oberfläche:

O = 2 · G + M

M = (5m + 12m + 13m) · 18m (=Umfang der Grundfläche · Körperhöhe)

    = 540m2

O = 2 · 30m² + 540m² = 600m2

c) Die Grundfläche ist ein Trapez

V = G · h = 36m² · 10m = 360m³

O = 2 · G + M

M = (12m + 5m + 6m + 5m) · 10m

    = 280m2

O = 2 · 36m² + 280m² = 352m2

5) Wir teilen die Grundfläche in ein Dreieck (A△) und ein Rechteck (A◻) auf:

· 10m · 6m = 30m²

A◻ = 8m · 10m = 80m2

G = A△ + A◻ = 110m2

V = G · h = 110m² · 18m = 1980m³

Für die Oberfläche brauchen wir die Höhe einer Seitenfläche:

M = 2 · a · hs = 2 · 12m · 10m

= 240m²

G = (12m)² = 144m²

O = G + M = 384m2

7) r = 8cm: 2 = 4cm

V = r² · π · h = (4cm)² · π · 15cm

  ≈ 753,98cm³

M = 2 · π · r · h = 2 · π · 4cm · 15cm ≈ 376,99cm²

G = (4cm)² · π ≈ 50,27cm²

O = 477,53cm²)

8) V = 330ml = 330cm³

V = r² · π · h

Wir rechnen ohne Einheit.

330 = 3² · π · h   |:9     (sonst 330cm³ = (3cm)² · π · h)

h ≈ 11,67 also 11,67cm

Formeln für Flächen und Körper

Hier wurden einige Formeln für Flächen und Körper zusammengestellt, wie auch mehrere Beispielaufgaben zur Flächen- und Volumenberechnung.

FLÄCHENBERECHNUNG

QUADRAT

RECHTECK

PARALLELOGRAMM

DREIECK

GLEICHSCHENKLIGES DREIECK

GLEICHSEITIGES DREIECK

TRAPEZ

GLEICHSCHENKLIGES TRAPEZ

KREIS

KREISAUSSCHNITT

KREISRING

VOLUMENBERECHNUNG

WÜRFEL

QUADER

PRISMA

PYRAMIDE MIT QUADRATISCHER GRUNDFLÄCHE

PYRAMIDE MIT RECHTECKIGER GRUNDFLÄCHE

PYRAMIDENSTUMPF

REGELMÄßIGER TETRAEDER

KEGEL

KEGELSTUMPF

KUGEL

HINWEISE ZU DEN EINHEITEN

LÄGENEINHEITEN

FLÄCHENEINHEITEN

VOLUMENEINHEITEN

Flächenberechnung

Quadrat

Formeln:

Für die Fläche: A = a² = a·a

Für den Umfang: U = 4a

(Pythagoras: a² + a² = d²)

Bemerkung:

Der Umfang einer Figur ergibt sich immer über die Summe der Längen aller Linien, die die Figur umgeben. Beim Quadrat gilt deshalb: U = a + a + a + a = 4a

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Quadrat.html

Übungen zur Flächenberechnung findet man unter:

http://www.mathe-total.de/Test-Flaeche

Beispiel:

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von a = 10cm. Wie groß ist die Fläche A und wie groß der Umfang U?

A = (10cm)² = 100cm²

U = 4a = 4.10cm = 40cm

Rechteck

Formeln:

A = a·b

U = 2a + 2b = 2·(a + b)

(Pythagoras)

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Rechteck.html

Parallelogramm

Formel:

A = g·h

Die Höhe (h) steht immer senkrecht auf der Grundseite (g), wie bei den Dreiecken. Der Umfang ist wieder die Summe über die Längen aller 4 Seiten. Da hier a = c und b = d gilt, ergibt sich der Umfang durch U = 2a + 2b.

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Parallelogramm.html

Dreieck

Formel:

A = 1/2·c·hc = c·hc/2

U = a + b + c

Bemerkung:

(Seite c) verwendet. Diese Formel könnte man auch analog für andere Grundseiten und deren Höhen formulieren, z.B. A = 1/2·b·hb. Ist ein Dreieck rechtwinklig,