Jetzt lerne ich Stochastik für die Oberstufe: www.mathe-total.de
Von Marco Schuchmann
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Über dieses E-Book
Zum Inhalt des Buches gehören die Grundlagen der Kombinatorik, die Erstellung von
Wahrscheinlichkeitsbäumen, die Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz, die Berechnung von Kenngrößen von Stichproben, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Kreuztabellen, das Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung, die Berechnung der Sigma-Umgebung, die Durchführung von Hypothesentests und Grundlagen zur Normalverteilung.
Es wurden viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen,
Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken eingefügt. Bei allen Beschreibungen wurde darauf geachtet, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind. Weitere Aufgaben, Ergänzungen und Beispiele zum Buch sind auf der Seite www.mathe-total.de zu finden.
Marco Schuchmann
Dr. rer. nat. Marco Schuchmann hat in Darmstadt Mathematik studiert und ist an der Hochschule Darmstadt im Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften angestellt. Hier hält er u.a. Mathematikvorlesungen über Themen, wie z.B. Wavelets und auf dem Gebiet der mathematischen Statistik. Seit 1996 veröffentlicht er mathematische Fachbücher.
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Buchvorschau
Jetzt lerne ich Stochastik für die Oberstufe - Marco Schuchmann
Φ(x)
1 Grundlagen
1.1 Grundbegriffe
Alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments fassen wir in einer Ereignismenge Ω zusammen. Ereignisse sind Teilmengen von Ω. Umfasst das Ereignis nun ein Element von Ω, dann handelt es sich um ein Elementarereignis.
Beispiel:
Bei einem Würfel mit sechs Seiten wäre Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ein mögliches Ereignis A ist, dass man eine gerade Zahl würfelt:
A={2, 4, 6}
Ein Elementarereignis wäre B={6}, also das Ereignis, dass eine 6 gewürfelt wird.
Laplace-Experiment:
Man geht davon aus, dass es nur endlich viele Elementarereignisse gibt: |Ω| = n.
.
.
Beispiel „fairer" Würfel:
Hier gibt es 6 mögliche Elementarereignisse, wobei jedes (deshalb „fairer Würfel") mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. Beispielsweise gilt dann:
Es gilt folgendes Gesetz für zwei Ereignisse A und B:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Beispiel:
In einer Urne sind 20 Kugeln mit den Ziffern von 1, 2, …, 20 beschriftet. Es wird zufällig eine Kugel gezogen.
Wir betrachten folgende Ereignisse:
A: Es wird eine Kugel mit einer Ziffer gezogen, die durch 9 teilbar ist.
B: Es wird eine Kugel mit einer Ziffer gezogen, die durch 6 teilbar ist.
A = {9, 18}
B = {6, 12, 18}
A∩B = {18}
Das ist das gleiche wie P(A ∪B) = P({6, 9, 12, 18})
Beispiel:
A sei das Ereignis, dass keine 6 geworfen wird: A = {1, 2, 3, 4, 5}
Somit gilt:
Bemerkung:
) einfach berechnen kann.
1.2 Wahrscheinlichkeitsbaum
Eine Urne enthält 10 blaue (b), 6 rote (r) und 4 gelbe (g) Kugeln. Es wird 2-mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen.
Hier sind folgende Elementarereignisse denkbar: {(b, b), (b, r), (b, g), (r, b), (r, r), (r, g), (g, b), (g, r), (g, g)}
Dies sind 3² = 9 Elementarereignisse. Würde man dreimal ziehen, so ergäben sich 3³ = 27 Elementarereignisse.
Man kann dieses Zufallsexperiment mit einem Baum darstellen (wie allgemein bei Experimenten, die wiederholt ausgeführt werden).
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln blau sind, ergibt sich durch
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel (d.h. genau eine) blau ist wäre:
Wie sieht es aus, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird?
Hier würde sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeiten ändern, da die jeweils gezogene Kugel fehlt. Wir zeichnen für diesen Fall einen Baum mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Hier wäre beispielsweise
Ein weiteres Beispiel für die Verwendung eines Baumes:
Es wird 3-mal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dabei mindestens eine 6 zu würfeln (Ereignis A)?
1. Möglichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt:
Sobald im Baumdiagramm eine 6 vorkommt, kann der Ast beendet werden (das wäre das selbe, wie bei einem Spiel, bei dem ein Spieler 3-mal würfelt und gewinnt, sobald die erste 6 fällt). Wenn man die Verästlung fortsetzen würde, so müsste man über alle diese Äste summieren und es würde sich letztendlich nur derselbe Wert ergeben. Denn wenn man 100-mal würfelt, so ist die