Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral

Von Werner Fricke

Dieses Buch kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Aber es ist auch für Lehrer geeignet, die sich mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Weiterhin ist dieses Buch für alle gedacht, die sich mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk und in gewissen Grenzen auch als Begleitung für ein Studium mit physikalisch-technischem Hintergrund verwendet werden.
Lösung von mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Books on Demand
• Erscheinungsdatum: 24. Apr. 2015
• ISBN: 9783738679649

Werner Fricke

Werner Fricke, geboren am 19.11.49, ist wohnhaft in Schwerte. Nach dem Maschinenbaustudium war er wissenschaftlicher Angestellter der Abteilung Maschinenbau an der Universität Dortmund. Danach gründete er die Fa. DRIGUS GmbH und widmete sich der Entwicklung von Hard- und Software für den Bereich des Industrial-Engineering. Im Rahmen seiner Tätigkeiten beschäftigte er sich mit der Schulung und Beratung in den Bereichen mathematische Statistik, Programmiertechnik, Zeitstudientechnik und Planzeitbildung. Er veröffentlichte folgende Bücher: Rechnergestützte Planung von Übergabesystemen zwischen Transport und Fertigung, VDI-Verlag Düsseldorf Statistik in der Arbeitsorganisation, Hanser Verlag München Mathematik verstehen Band 1: von den Grundlagen bis zum Integral, BoD - Verlag Mathematik verstehen Band 2: Grundlagen für das Studium naturwissenschaftlicher und technischer Fächer, BoD - Verlag Mathematik verstehen Band 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, BoD - Verlag Arbeits- und Zeitwirtschaft verstehen: von der Zeitstudie bis zur Abtaktung, BoD - Verlag

Buchvorschau

Vorwort

„Die Mathematik ist eine Mausefalle. Wer einmal in dieser Falle gefangen sitzt, findet selten den Ausgang, der zurück in seinen vormathematischen Seelenzustand leitet. ..."

So beginnt das Vorwort zu Egmont Colerus legendärem Lehrbuch der Mathematik für interessierte Nichtmathematiker: „Vom Einmaleins zum Integral (1934)".

Als ich mich auf mein Studium vorbereiten wollte, fiel mir durch Zufall dieses Buch in die Hände. Nachdem ich zu lesen begonnen hatte, kam ich nicht mehr davon los und arbeitete das Buch in einem Zug durch. Ich muss sagen, dass ich nur selten eine derart klare, einfache und höchst verständliche Darstellung mathematischer Zusammenhänge gefunden habe. Leider ist dieses Buch nicht mehr erhältlich, so dass ich mich entschloss dem Vorbild zu folgen und eine möglichst verständliche und darüber hinaus flüssig lesbare Übersicht der Mathematik von den Grundlagen bis hin zum Integral zu erstellen. Ich bin sicher, dass dieses Buch für den mathematischen Laien eine große Hilfe sein kann, ein Verständnis mathematischer Zusammenhänge zu entwickeln.

Dieses Buch kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Ich hoffe auch, dass sich einige Lehrer mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Weiterhin ist dieses Buch für alle gedacht, die sich mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk und in gewissen Grenzen auch als Begleitung für ein Studium mit physikalisch-technischem Hintergrund verwendet werden.

Egmont Colerus war Schriftsteller und arbeitete als Beamter im österreichischen Bundesamt für Statistik. Vielleicht gerade weil er kein Vollmathematiker war, musste er sich die mathematischen Zusammenhänge hart erarbeiten und konnte diese dann so deutlich darstellen. Auch ich bin kein Mathematiker, sondern Ingenieur des Maschinenbaus. Ich bin also keiner, der nach einem anfänglichen Ansatz mit den Worten:

„... und wie jeder deutlich erkennen kann, handelt es sich hierbei um..."

die Lösung eines mathematischen Problems aus dem Hut zaubert. Im Gegensatz dazu habe ich versucht, die mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten zu lösen, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

Schwerte, im Frühjahr 2015

Werner Fricke

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen der Mengenlehre

1.1 Darstellung und Definition von Mengen

1.2 Die Mächtigkeit von Mengen

1.3 Beschreibung von Mengen durch ihre Eigenschaften

1.4 Teilmengen, Unter-/Obermengen, Gleichheit von Mengen

1.5 Mengenoperationen

1.5.1 Die Schnittmenge

1.5.2 Die Vereinigungsmenge

1.5.3 Die Differenzmenge (Restmenge)

1.5.4 Die symmetrische Differenz

1.6 Zusammenfassung Mengenlehre

Allgemeine Grundlagen der Arithmetik und Algebra

2.1 Zahlen und Zahlensysteme

2.1.1 Zahlenmengen, Zahlengerade und Eigenschaften von Zahlen

2.1.2 Das Dezimalsystem

2.1.3 Allgemeine Zahlensysteme

2.2 Rechnen mit reellen Zahlen

2.2.1 Die Grundrechenarten

2.2.1.1 Addition und Subtraktion

2.2.1.2 Multiplikation

2.2.1.3 Division

2.2.1.4 Die Bruchrechnung

2.2.1.5 Reihenfolge der Rechenoperationen und Klammersetzung

2.2.1.6 Ungleichungen und Intervalle

2.2.1.7 Rundungsregeln, Rundungsfehler und signifikante Stellen

2.2.2 Potenz- und Wurzelrechnung

2.2.2.1 Die Potenzrechnung

2.2.2.2 Die Wurzelrechnung oder Radizierung

2.2.2.3 Beispiele für Potenz- und Wurzelrechnung

2.2.3 Logarithmenrechnung

2.2.4 Binomische Formeln

2.3 Zusammenfassung Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Gleichungen mit einer Unbekannten

3.1 Einleitung

3.1.1 Umformung von Gleichungen

3.1.2 Einführung der Unbekannten x

3.2 Lineare Gleichungen

3.3 Quadratische Gleichungen

3.4 Zusammenfassung Gleichungen mit einer Unbekannten

Geometrie

4.1 Ebene Geometrie, Planimetrie

4.1.1 Grundelemente der ebenen Geometrie

4.1.1.1 Der Punkt:

4.1.1.2 Die Strecke

4.1.1.3 Der Strahl

4.1.1.4 Die Gerade

4.1.1.5 Die Parallele

4.1.1.6 Die Winkel

4.1.2 Geometrische Grundkonstruktionen

4.1.2.1 Der geometrische Ort, Ortslinien

4.1.2.2 Rechter Winkel, Lot, Streckenhalbierung oder Mittelsenkrechte

4.1.2.3 60° Winkel

4.1.2.4 Halbierung eines beliebigen Winkels

4.1.2.5 Addition von Winkeln

4.1.2.6 Subtraktion von Winkeln

4.1.2.7 Parallelen

4.1.2.8 Unterteilung von Strecken

4.1.2.8.1 Unterteilung einer Strecke in gleiche Teilstrecken

4.1.2.8.2 Innere Teilung einer Strecke

4.1.2.8.3 Äußere Teilung einer Strecke

4.1.2.9 Der Strahlensatz

4.1.3 Dreiecke

4.1.3.1 Allgemeine Dreiecke

4.1.3.1.1 Grundelemente allgemeiner Dreiecke

4.1.3.1.2 Die Flächenberechnung eines Dreiecks

4.1.3.1.3 Ähnlichkeit von Dreiecken

4.1.3.1.4 Kongruenz von Dreiecken

4.1.3.2 Rechtwinklige Dreiecke

4.1.3.2.1 Allgemeines

4.1.3.2.2 Satz des Thales (Thaleskreis)

4.1.3.2.3 Satz des Pythagoras

4.1.3.2.4 Höhensatz

4.1.3.2.5 Kathetensatz (Satz des Euklid)

4.1.3.2.6 Der Sinussatz

4.1.3.2.7 Der Kosinussatz

4.1.3.3 Gleichschenklige Dreiecke

4.1.3.4 Gleichseitige Dreiecke

4.1.3.5 Die Konstruktion von Dreiecken

4.1.3.5.1 Seite, Seite, Seite (SSS)

4.1.3.5.2 Seite, Winkel, Seite (SWS)

4.1.3.5.3 Winkel, Seite, Winkel (WSW)

4.1.3.5.4 Winkel, Winkel, Seite (WWS)

4.1.3.5.5 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite 2. Seite)

4.1.3.5.6 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite < 2. Seite)

4.1.3.5.7 Seite, Seitenhalbierende und anliegender Winkel der Seite

4.1.3.5.8 Seite, Mittelsenkrechte und anliegender Winkel der Seite

4.1.3.5.9 Seite, Höhe zur Seite und anliegende Seite

4.1.3.5.10 2 Seiten und gegenüberliegende Höhe

4.1.3.5.11 1 Seite, zugehörige Höhe und weitere Höhe

4.1.3.5.12 3 Höhen

4.1.3.5.13 Pythagoras und Sinussatz

4.1.4 Vierecke

4.1.4.1 Allgemeine Vierecke

4.1.4.1.1 Grundelemente allgemeiner Vierecke

4.1.4.1.2 Diagonale, Winkelsumme und Flächeninhalt

4.1.4.2 Das Trapez

4.1.4.3 Das Parallelogramm

4.1.4.4 Raute oder Rhombus

4.1.4.5 Das Rechteck

4.1.4.6 Das Quadrat

4.1.5 N-Eck oder Polygon

4.1.5.1 Allgemeines n-Eck oder Polygon

4.1.5.2 Das regelmäßige n-Eck oder regelmäßige Polygon

4.1.6 Der Kreis

4.1.6.1 Grundelemente eines Kreises

4.1.6.2 Der Kreisbogen

4.1.6.3 Die Kreissehne

4.1.6.4 Das Kreissegment

4.1.6.5 Der Kreissektor

4.1.6.6 Sekante, Tangente und Passante (Gerade und Kreis)

4.1.6.7 Die Mittelsenkrechten der Kreissehnen

4.1.6.8 Die Tangente und die Mittelsenkrechte der Kreissehne

4.1.6.9 Zentriwinkel und Peripheriewinkel

4.1.6.10 Umfang eines Kreises

4.1.6.11 Fläche eines Kreises

4.1.6.12 Die Kreisringfläche

4.1.6.13 Winkelmaße Gradmaß und Bogenmaß

4.1.6.14 Fläche eines Kreissektors

4.1.6.15 Fläche eines Kreissegments

4.1.6.16 Geometrische Konstruktionen mit Punkt, Gerade und Kreis

4.1.7 Die Ellipse

4.2 Räumliche Geometrie, Stereometrie

4.2.1 Prismen

4.2.1.1 Das schiefe Prisma

4.2.1.2 Das gerade Prisma

4.2.1.3 Das regelmäßige Prisma

4.2.1.4 Das Parallelepipel

4.2.1.5 Quader

4.2.1.6 Würfel

4.2.2 Pyramiden

4.2.2.1 Allgemeine Pyramide

4.2.2.2 Reguläre Pyramide

4.2.2.3 Tetraeder und regulärer Tetraeder

4.2.2.4 Pyramidenstumpf

4.2.2.5 Obelisk

4.2.3 Keil

4.2.4 Zylinder

4.2.4.1 Allgemeiner Zylinder

4.2.4.2 Kreiszylinder und gerader Kreiszylinder

4.2.5 Kegel

4.2.5.1 Allgemeiner Kegel

4.2.5.2 Kreiskegel und gerader Kreiskegel

4.2.5.3 Kegelstumpf

4.2.6 Kugel

4.2.6.1 Allgemeine Kugel

4.2.6.2 Kugelausschnitt oder -sektor

4.2.6.3 Kugelabschnitt oder -segment

4.2.6.4 Kugelzone oder Kugelschicht

4.2.7 Torus, Kreisringtorus

4.2.8 Guldinsche Regeln

4.3 Zusammenfassung Geometrie

Trigonometrie

5.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

5.2 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

5.2.1 Der Sinussatz

5.2.2 Der erweiterte Sinussatz

5.2.3 Der Kosinussatz

5.2.4 Der Projektionssatz

5.2.5 Die Höhenformeln

5.2.6 Der Tangentensatz

5.2.7 Die Flächenformel

5.3 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen

5.3.1 Grundumformungen

5.3.2 Umrechnungen zwischen den trigonometrischen Funktionen

5.3.3 Die Additionstheoreme

5.3.4 Die Summenformeln

5.3.5 Produkte der Winkelfunktionen

5.3.6 Potenzen der Winkelfunktionen

5.3.7 Funktionen von Winkelvielfachen

5.3.8 Funktionen des halben Winkels

5.3.9 Funktionen der Seitenhalbierenden

5.3.10 Funktionen der Winkelhalbierenden

5.3.11 Berechnung des Inkreisradius

5.3.12 Beziehungen zwischen 3 Winkeln mit Winkelsumme = 360°

5.4 Aufgaben zur Trigonometrie

5.4.1 Berechnung von Dreiecken

5.4.1.1 Seite, Seite, Seite (SSS)

5.4.1.2 Seite, Winkel, Seite (SWS)

5.4.1.3 Winkel, Seite, Winkel (WSW)

5.4.1.4 Winkel, Winkel, Seite (WWS)

5.4.1.5 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite 2. Seite)

5.4.1.6 Seite, Seite, Winkel (SSW 1. Seite < 2. Seite)

5.4.1.7 Seite, Seitenhalbierende der Seite und anliegender Winkel der Seite

5.4.1.8 Seite, Mittelsenkrechte und anliegender Winkel der Seite

5.4.1.9 Seite, Höhe zur Seite und anliegende Seite

5.4.1.10 2 Seiten und gegenüberliegende Höhe

5.4.1.11 1 Seite, zugehörige Höhe und weitere Höhe

5.4.1.12 Berechnung der übrigen Größen eines Dreiecks

5.4.2 Berechnung von Strecken aus gemessenen Winkeln

5.4.2.1 Gegeben: Standlinie c und 4 an c angrenzende Winkel

5.4.2.2 Gegeben: 3 Seiten eines Dreiecks und der Standpunkt P

5.4.2.3 Allgemeine Aufgaben zur Trigonometrie

5.5 Zusammenfassung Trigonometrie

Koordinatensysteme

6.1 Ebene Koordinatensysteme

6.1.1 Ebene rechtwinklige Koordinaten

6.1.2 Ebene Polarkoordinaten

6.1.3 Umrechnungen rechtwinklige Koordinaten in Polarkoordinaten

6.1.4 Umrechnungen Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten

6.1.5 Transformationen eines rechtwinkligen Koordinatensystems

6.1.5.1 Parallelverschiebung eines rechtwinkligen Koordinatensystems

6.1.5.2 Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems

6.2 Räumliche Koordinatensysteme

6.2.1 Räumliche rechtwinklige (kartesische) Koordinaten

6.2.2 Räumliche Zylinderkoordinaten

6.2.3 Umrechnungen rechtwinklige und Zylinderkoordinaten

6.2.4 Kugelkoordinaten

6.2.5 Umrechnungen rechtwinklige und Kugelkoordinaten

6.3 Zusammenfassung Koordinatensysteme

Einführung in die Vektorrechnung

7.1 Grundlagen

7.2 Besondere Vektoren:

7.3 Eigenschaften zweier Vektoren zueinander

7.3.1 Gleichheit zweier Vektoren

7.3.2 Parallelität zweier Vektoren

7.3.3 Anti – Parallelität zweier Vektoren

7.3.4 Kollinearität zweier Vektoren

7.3.5 Inverse Vektoren

7.4 Rechenoperationen mit Vektoren

7.4.1 Addition von Vektoren

7.4.2 Subtraktion von Vektoren

7.4.3 Der Einheitsvektor

7.4.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

7.5 Die Komponentendarstellung von Vektoren

7.5.1 Komponentendarstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem

7.5.2 Gleichheit von Vektoren in Komponentendarstellung

7.5.3 Parallelität von Vektoren in Komponentendarstellung

7.5.4 Addition von Vektoren in Komponentendarstellung

7.5.5 Subtraktion von Vektoren in Komponentendarstellung

7.5.6 Multiplikation Skalar – Vektor in Komponentendarstellung

7.6 Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

7.7 Zusammenfassung Vektorrechnung

Folgen und Reihen

8.1 Zahlenfolgen

8.1.1 Allgemeines

8.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen

8.2 Reihen

8.2.1 Arithmetische Reihen

8.2.2 Geometrische Reihen

8.2.2.1 Endliche geometrische Reihen

8.2.2.2 Grenzwerte von geometrischen Reihen

8.2.2.3 Prozent- und Zinsrechnung

8.2.2.3.1 Allgemeines über Prozente

8.2.2.3.2 Zinseszinsrechnung

8.2.2.3.3 Zahlungsreihen

8.3 Zusammenfassung Folgen und Reihen

Algorithmen zur Lösung von Gleichungssystemen

9.1 Allgemeines zu Algorithmen

9.2 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

9.2.1 Substitutions- oder Einsetzungsmethode

9.2.2 Gleichsetzungsmethode

9.2.3 Subtraktions- und Additionsmethode

9.2.4 Der Gauß-Algorithmus für 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

9.3 Der Gauß-Algorithmus für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

9.4 Zusammenfassung Lösung von Gleichungssystemen

Funktionen und deren grafische Darstellung

10.1 Grundsätzliches zu Funktionen

10.1.1 Nullstellen einer Funktion

10.1.2 Steigung einer Funktion

10.1.3 Extremwerte einer Funktion

10.1.4 Wendepunkte und Sattelpunkte einer Funktion

10.1.5 Symmetrie einer Funktion

10.1.6 Monotonie einer Funktion

10.1.7 Periodizität einer Funktion

10.1.8 Umkehrfunktion einer Funktion

10.2 Ganze rationale Funktionen (Polynome)

10.2.1 Die Geradengleichung

10.2.2 Quadratische Funktionen (Parabeln 2. Grades)

10.2.2.1 Parabel aus drei gegebenen Punkten

10.2.2.2 Parabel aus Scheitelpunktskoordinaten und Faktor a

10.2.2.3 Parabel aus Scheitelpunktskoordinaten und Faktor b

10.2.2.4 Parabel aus Scheitelpunktskoordinaten und weiterem Punkt

10.2.2.5 Parabel aus Scheitelpunktskoordinate xs und zwei weiteren Punkten

10.2.2.6 Parabel aus Scheitelpunktskoordinate ys und zwei weiteren Punkten

10.2.2.7 Die Nullstellen einer Parabel 2. Grades

10.2.2.8 Zerlegung einer Parabel 2. Grades in Linearfaktoren

10.2.2.9 Aufgaben zu den Parabeln 2. Grades

10.2.3 Polynome 3. Grades

10.2.3.1 Berechnung eines Polynoms 3. Grades aus vier gegeben Punkten

10.2.3.2 Linearfaktoren einer Parabel 3. Grades durch Polynomdivision

10.2.4 Polynomfunktionen höheren Grades (n-ten Grades)

10.2.5 Das Horner-Schema

10.3 Gebrochene rationale Funktionen

10.3.1 Allgemeines

10.3.2 Nullstellen

10.3.3 Unendlichkeitsstellen oder Polstellen

10.3.4 Zähler und Nenner mit gemeinsamen Nullstellen

10.3.5 Asymptoten von gebrochen rationalen Funktionen

10.4 Wurzelfunktionen

10.5 Trigonometrische Funktionen

10.5.1 Winkelmaße

10.5.2 Die Sinusfunktion

10.5.3 Die Kosinusfunktion

10.5.4 Die Tangensfunktion

10.5.5 Die Kotangensfunktion

10.5.6 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

10.5.6.1 Multiplikation der Funktion mit Faktor a – Amplitudenänderung

10.5.6.2 Multiplikation des Winkels mit Faktor b – Frequenzänderung

10.5.6.3 Addition des Winkels mit Zahl c – Verschieben auf der x-Achse

10.5.6.4 Addition einer Zahl d zur Funktion - Verschieben auf der y-Achse

10.5.6.5 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion

10.5.7 Der Einheitskreis

10.6 Die Arkusfunktionen

10.6.1 Arkussinus- und Arkuscosinusfunktion

10.6.2 Arkustangens- und Arkuscotangensfunktion

10.7 Die Exponentialfunktionen

10.8 Die Logarithmusfunktionen

10.9 Gleichungen der Kegelschnitte

10.9.1 Allgemeines über Kegelschnitte

10.9.2 Die Kreisgleichung

10.9.3 Die Ellipsengleichung

10.9.4 Die Parabelgleichung

10.9.5 Die Hyperbelgleichung

10.9.6 Allgemeine quadratische Form von Kegelschnitten

10.9.7 Aufgaben zu den Kegelschnitten

10.10 Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen

10.10.1 Hyperbolische Funktionen

10.10.2 Areafunktionen

10.11 Zusammenfassung Funktionen

Grenzwerte von Funktionen

11.1 Allgemeines

11.2 Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen

11.3 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken

11.3.1 Anwendung der Rechenregeln bei unbestimmten Ausdrücken

11.3.2 Grenzwertregel von Bernoulli und L´Hospital

Differentialrechnung

12.1 Der Differenzenquotient

12.2 Der Differentialquotient

12.3 Anwendungen und Übungen zur Differentialrechnung

12.4 Extremwerte einer Funktion berechnen

12.5 Die Produktregel

12.6 Die Quotientenregel

12.7 Die Kettenregel

12.8 Die Ableitungen von trigonometrischen Funktionen

12.8.1 Ableitung der Sinus-Funktion

12.8.2 Ableitung der Kosinus-Funktion

12.8.3 Ableitung der Tangens-Funktion

12.8.4 Ableitung der Kotangens-Funktion

12.9 Ableitung der Exponentialfunktionen

12.10 Ableitung der Logarithmusfunktionen

12.11 Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen

12.12 Die Kurvendiskussion

12.12.1 Allgemeines

12.12.2 Verlauf der Kurvendiskussion

12.12.2.1 Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit

12.12.2.2 Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-Achse

12.12.2.3 Steigungen in den Nullstellen

12.12.2.4 Symmetrie-Eigenschaften

12.12.2.4.1 Allgemeines über Symmetrie

12.12.2.4.2 Achsensymmetrie in der Kurvendiskussion

12.12.2.4.3 Punktsymmetrie in der Kurvendiskussion

12.12.2.5 Extremwerte, also Minimum- und Maximumwerte

12.12.2.6 Wendepunkte und die Steigung der Wendetangenten

12.12.2.7 Monotonie- und Krümmungsverhalten

12.12.2.8 Asymptotische Eigenschaften

12.12.2.9 Verhalten im Unendlichen

12.12.2.10 Zwischenwerte mit deren Steigung an kritischen Stellen

12.12.2.11 Anfertigung einer Skizze über den Kurvenverlauf

12.12.3 Beispiele für Kurvendiskussionen

12.12.4 Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen

12.12.4.1 Grafisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen

12.12.4.2 Regula falsi

12.12.4.3 Newton-Verfahren

12.12.4.4 Verwendung des Newton-Verfahrens zur Bestimmung von Wurzeln

12.13 Zusammenfassung Differentialrechnung

Einführung in die Integralrechnung

13.1 Allgemeines zur Integralrechnung (bestimmtes Integral)

13.2 Einfache Beispiele zur Integralrechnung

13.2.1 Integration der quadratischen Funktion (Parabel 2. Grades)

13.2.2 Integration der kubischen Funktion (Parabel 3. Grades)

13.3 Rechenregeln für Integrale

13.3.1 Integration von Funktionen mit konstantem Faktor

13.3.2 Die Summenregel bei der Integralrechnung

13.3.3 Vertauschungsregel

13.3.4 Regel über gleiche Grenzen

13.3.5 Intervallregel

13.3.6 Beispiele für die Anwendung der Integralrechnung

13.3.6.1 Berechnung der Kreisfläche

13.3.6.2 Schwerpunkt einer geraden, quadratischen Pyramide

13.3.6.3 Schwerpunkt eines geraden, quadratischen Pyramidenstumpfs

13.3.6.4 Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels

13.3.6.5 Schwerpunkt eines geraden Kreiskegelstumpfs

13.3.6.6 Weitere Beispiele

13.4 Zusammenfassung Einführung in die Integralrechnung

Literaturhinweise

Stichwortverzeichnis

Inhaltsübersicht Band 2

Fortgeschrittene Integralrechnung

Funktionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen

Differentialgleichungen

Numerische Integration

Einführung in die lineare Algebra

Potenzreihenentwicklungen

Komplexe Zahlen

Inhaltsübersicht Band 3

Grundlagen der Kombinatorik

Permutation, Variation, Kombination

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Allgemeines, Laplace-Experimente, der Wahrscheinlichkeitsbaum, Definitionen, Regeln und Axiome, Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen, Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Spezielle Verteilungen und ihre Kenngrößen

Grundlagen der Statistik

Einleitung, Merkmalsausprägungen, Analyse qualitativer Daten, beschreibende (deskriptive) Statistik, schließende Statistik, Regressionsanalyse

Statistische Tabellen

1 Grundlagen der Mengenlehre

1.1 Darstellung und Definition von Mengen

Unter einer Menge versteht man umgangssprachlich eine Ansammlung von Objekten oder Gegenständen, welche auch Elemente der Menge genannt werden. Sehr anschaulich ist z.B. die Menge der Menschen in einem Fußballstadion während eines Fußballspiels. In diesem Fall haben diese Objekte eine gemeinsame Eigenschaft, nämlich dass sie sich zur Zeit des Spiels im Stadion aufhalten. Es gibt allerdings auch Mengen, die völlig zusammenhanglos aufgestellt werden, z.B. die folgende Menge: {Fußball, Tisch, Hammer, Düsenflugzeug, Bakterie, Atom, Vakuum, Gedanke, Information}

Hier haben wir gleich eine Beschreibungsmöglichkeit für Mengen gefunden: Eine Menge wird beschrieben, indem man die Elemente der Menge als Aufzählung in geschweifte Klammern setzt.

Dies fällt bei einer Menge mit relativ wenigen Elementen noch leicht. Wenn wir z.B. die Menge der Menschen im besagten Fußballstadion so beschreiben wollten, dann hätten wir ein Problem. Hier würde man ersatzweise folgendermaßen schreiben:

{Menge der Menschen im Stadion während des Spiels Borussia Dortmund - Bayern München}. Man kann natürlich noch weitere Informationen zu dieser Menge aufschreiben, z.B.: Datum und Uhrzeit der Begegnung, Anzahl der Zuschauer = 80645 (ausverkauft).

Natürlich ist damit noch lange nicht die Gesamtanzahl der Elemente dieser Menge beschrieben, denn es gibt ja noch die Spieler, die Schiedsrichter, die Ersatzspieler, die Betreuer, die Ordner, die Kommentatoren und Berichterstatter, die Kameraleute, die technischen und organisatorischen Mitarbeiter, die Polizisten usw.

Der Begriff der Menge im mathematischen Sinne wurde von Georg Cantor in den Jahren 1874 bis 1897 begründet. Er definierte den Mengenbegriff wie folgt:

Definition des Mengenbegriffs nach Cantor

Unter einer „Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Interessant ist, dass auch Objekte des Denkens, also immaterielle Objekte, Elemente von Mengen sein können. In der Definition sind folgende Begriffe von besonderer Bedeutung:

Wohlunterschiedene Objekte:

Dies bedeutet, dass die Elemente einer Menge immer unterschiedlich und einzigartig sein müssen. Ein Element darf in einer Menge also nicht zweimal vorkommen. Eine Menge {Tisch, Tisch, Tisch} gibt es also nicht. Stattdessen gibt es die Menge {Tisch} mit genau einem Element. Dieses steht selbstverständlich als Stellvertreter für alle Tische.

Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens

Dies impliziert, dass Mengen nicht nur aus Zahlen oder Gegenständen gebildet werden können, sondern auch aus allen möglichen Begriffsbestimmungen auch immaterieller Art.

Zusammenfassung zu einem Ganzen

Dies besagt, dass die Elemente einer Menge zu einem abgeschlossenen Ganzen gehören.

Neben der Darstellung in geschweiften Klammern gibt es noch diejenige als Mengendiagramm. Diese ist besonders anschaulich und wird auch Euler-Venn-Diagramm oder auch kurz Venn-Diagramm genannt. Im Folgenden wollen wir einige grundlegende Eigenschaften von Mengen und deren Schreibweisen näher kennenlernen:

Bild 1: Darstellung von Mengen als Mengendiagramm

1.2 Die Mächtigkeit von Mengen

Hierunter versteht man die Anzahl der Elemente einer Menge. Bezeichnen wir eine Menge mit dem Buchstaben M, so schreibt man die Mächtigkeit von M wie folgt:

Analog dazu schreibt man die Mächtigkeit einer Menge K wie folgt:

Wenn wir nun unsere Beispielmengen aus Abschnitt 1.1 betrachten, dann können wir die Mächtigkeiten der Menge „M = {Menge der Menschen im Stadion beim Spiel Borussia Dortmund - Bayern München}" nur ungefähr abschätzen, z.B.:

Die Mächtigkeit der Menge „K = {Fußball, Tisch, Hammer, Düsenflugzeug, Bakterie, Atom, Vakuum, Gedanke, Information}„ kann man demgegenüber mit genau angeben.

Die Mächtigkeit von endlichen Mengen lässt sich durch Abzählen ermitteln. Haben zwei Mengen dieselbe Anzahl von Elementen, dann nennt man diese gleichmächtig. Betrachten wir z.B. die Menge „O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}", so ist diese gleichmächtig zur Menge K, also: .

Neben den endlichen Mengen gibt es aber auch noch unendliche Mengen, wie z.B. die Menge der natürlichen Zahlen , die wir im nächsten Kapitel kennenlernen werden. Man kann diese Menge auch wie folgt schreiben: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Da man natürlich immer weiter zählen kann und zu jeder beliebig großen Zahl n mindestens eine Zahl findet, die größer ist, nämlich n + 1, so kann man sagen, dass die Mächtigkeit dieser Menge unendlich ist. Man schreibt dies so: | | = ∞

Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist gleich unendlich. Nun werden wir neben den natürlichen Zahlen die Menge der ganzen Zahlen kennenlernen. Diese schreibt man wie folgt: ={...–2, –1, 0, 1, 2,...}

Auch diese Menge hat eine unendliche Mächtigkeit: | | = ∞.

Jetzt können wir natürlich die Frage stellen: „Welche der beiden Mengen und ist mächtiger oder sind beide Mengen gleich mächtig?"

Auf den ersten Blick scheint die Antwort auf diese Frage leicht zu sein, besitzt doch die Menge zusätzlich zu den Zahlen 0, 1, 2, 3, … noch die Zahlen –1, –2, –3, …

Kann man daraus nicht folgern, dass die Mächtigkeit der Menge etwa doppelt so groß ist wie die der Menge ? Kann man also sagen: | | = 2⋅| | =2 ⋅ ∞?

Aber halt, ist denn 2 mal unendlich nicht auch gleich unendlich? Wenn ja, dann wären die beiden Mengen gleichmächtig.

Bild 2: Gleichmächtige unendliche Mengen

Deshalb führen wir jetzt ein anderes Kriterium für die Gleichmächtigkeit ein:

Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn man jedem Element der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zuordnen kann.

Wie man im Bild sieht, kann man jedem Element der linken Menge genau ein Element der rechten Menge zuordnen. Die beiden Mengen sind also gleichmächtig: | | = | | = ∞

Man nennt die Menge der natürlichen Zahlen auch eine abzählbar unendliche Menge. Dies gilt auch für jede zur Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtige Menge.

Folgende Mengen sind gleichmächtig und abzählbar unendlich:

Menge der rationalen Zahlen Zur Menge der rationalen Zahlen gehören alle Zahlen , also auch die Menge der natürliche Zahlen . Trotzdem gehört diese Menge zu den abzählbaren Mengen, weil man jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zuordnen kann.

Hier stellt sich natürlich gleich die Frage:

„Gibt es mächtigere Mengen als die Mengen mit abzählbar unendlichen Elementen?"

Nun, diese Frage können wir mit einem deutlichen „Ja" beantworten, denn es gibt neben den Mengen mit abzählbar unendlichen Elementen auch noch die Mengen mit einer überabzählbar unendlichen Anzahl von Elementen. Betrachten wir hierzu die Menge der reellen Zahlen . Diese Menge umfasst alle Zahlen auf der sogenannten Zahlengeraden, also auch alle Zwischenwerte zwischen den rationalen Zahlen . Man kann nun nachweisen, dass zwischen zwei beliebig nahe beieinander liegenden rationalen Zahlen eine überabzählbar unendliche Anzahl von reellen Zahlen existiert. Die Menge der reellen Zahlen, die wir ebenso wie die anderen Zahlenmengen ( , , *, ) im nächsten Kapitel kennenlernen werden, ist also überabzählbar unendlich und damit mächtiger als die Mengen mit abzählbar unendlichen Elementen.

Wir haben jetzt drei verschiedene Typen von Mengen kennengelernt (endlich, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich). Neben diesen drei Typen gibt es noch die sogenannte leere Menge. Damit ist einen Menge gemeint, die überhaupt kein Element enthält, vergleichbar mit einem leeren Behälter. Eine leere Menge schreibt man wie folgt: { } oder Ø

In der folgenden Übersicht sehen wir alle bisher behandelten Fälle von Mengen:

1.3 Beschreibung von Mengen durch ihre Eigenschaften

Bisher haben wir die behandelten Mengen durch Aufzählung oder durch eine verbale Umschreibung definiert. Man kann Mengen, insbesondere Zahlenmengen, aber auch durch die gemeinsamen Eigenschaften ihrer Elemente beschreiben. Im Folgenden wollen wir dies anhand von einigen Beispielen näher erläutern:

Bisher haben zur Mengenbeschreibung die etwas umständlichen Ausdrücke für die Zugehörigkeit benutzt, z.B.: „gehört zur Menge der ..." oder ähnlich. In der Mathematik verwendet man hierfür folgendes Kürzel:

c ∈ M (gesprochen: c ist Element von M)

Unsere 4 Beispiele lassen sich jetzt wie folgt viel kürzer schreiben:

Neben dem Kürzel, welches die Zugehörigkeit zu einer bestimmten Menge beschreibt, gibt es umgekehrt auch ein Zeichen, welches die Nichtzugehörigkeit beschreibt:

c ∉ M (gesprochen: c ist kein Element von M)

1.4 Teilmengen, Unter-/Obermengen, Gleichheit von Mengen

Wie wir am Beispiel des Fußballstadions gut erkennen konnten, besteht eine Menge aus Teilmengen.

Gegeben sei z.B. die folgende bekannte Menge:

M = {Menge der Menschen im Stadion beim Spiel Borussia Dortmund - Bayern München}

So ist sicherlich die Menge:

B = {Spieler im Stadion beim Spiel Borussia Dortmund - Bayern München}

eine Teilmenge der Menge M. Für Teilmengen hat man folgende Schreibweise eingeführt:

B ⊂ M (gesprochen: B ist Teilmenge von M)

Definition einer Teilmenge

Eine Menge B ist Teilmenge von M, wenn jedes Element der Menge B auch in der Menge M enthalten ist. (M = Obermenge, B = Teilmenge oder Untermenge)

Diesen Sachverhalt kann man gut in einem Mengendiagramm darstellen:

Bild 3: Menge B als Teilmenge von M

Wenn man sich die Definition der Teilmenge genau durchliest, dann kommt man zu dem Schluss, dass jede Menge eine Teilmenge von sich selbst sein muss, denn selbstverständlich ist jedes Element der Menge M auch in M enthalten. Logischerweise ist auch jedes einzelne Element einer Menge M Teilmenge der Menge M, so ist die Menge S = {Schiedsrichter} auch Teilmenge der Menge M (S ⊂ M), obwohl es nur einen Hauptschiedsrichter gibt, welcher schlicht Schiedsrichter genannt wird.

Außerdem ist jede leere Menge L = { } oder L = Ø eine Teilmenge aller existierenden Mengen.

Also gilt: Für für alle Mengen M

(gesprochen: für L gleich leere Menge folgt: L ist Teilmenge von M für alle Mengen M)

In der Literatur wird oft auch zwischen Teilmengen und echten Teilmengen unterschieden. Dabei versteht man unter einer echten Teilmenge, eine Teilmenge, die weniger Elemente enthält als die zugehörige Obermenge.

Definition einer Obermenge

Eine Menge M ist Obermenge von B, wenn jedes Element der Menge B auch in der Menge M enthalten ist.

M ⊃ B (gesprochen: M ist Obermenge von B)

Nicht Teilmengen

Eine Menge K ist nicht Teilmenge einer anderen Menge M, wenn nicht jedes Element der Menge K auch in der Menge L enthalten ist:

K ⊄ B (gesprochen: K ist nicht Teilmenge von M)

Gleichheit von Mengen

Wenn eine Menge K Teilmenge einer anderen Menge M ist und die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) beider Mengen identisch ist, dann sind die beiden Menge gleich, man schreibt: Wenn K ⊂ J und

(gesprochen:

Wenn K Teilmenge von J und Mächtigkeit von K gleich Mächtigkeit von J dann folgt K gleich J)

Man kann den Sachverhalt natürlich auch so formulieren:

Wenn eine Menge K Teilmenge einer anderen Menge J ist und wenn gleichzeitig die Menge J

Teilmenge der Menge K ist, dann sind die beiden Menge gleich, man schreibt:

Wenn K ⊂ J und J ⊂ K ⇒ K = J

(gesprochen: Wenn K Teilmenge von J und J Teilmenge von K dann folgt K gleich J)

Ungleichheit von Mengen

Die Ungleichheit von Mengen folgt aus der Negation der Gleichheit von Mengen. Man schreibt wie folgt: A ≠ B (gesprochen: A ungleich B)

Beispiele:

1.5 Mengenoperationen

Zunächst ist hier der Begriff „Operation" zu klären. In der Mathematik versteht man darunter die Verknüpfung von zwei oder mehr Elementen, z.B. von Zahlen oder auch Mengen. Zwischen den zu verknüpfenden Elementen stehen die Operatoren. Allgemein bekannt sind z.B. die Operatoren der Grundrechenarten:

Ein Operator ist in diesem Zusammenhang eine mathematische Handlungsvorschrift, wie mit den Elementen der Operation – den Operanden – zu verfahren ist.

Mit Hilfe von Mengenoperatoren werden zwei oder mehr Mengen zu einer neuen Menge verknüpft. Wir unterscheiden:

1.5.1 Die Schnittmenge

Betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel:

Gegeben ist die Einrichtung eines Schlafzimmers S und eines Esszimmers E mit:

S = { Schrank, Stuhl, Bett, Kommode, Teppich, Nachttisch, Lampe, Bettlampe }

E = { Tisch, Stuhl, Schrank, Lampe, Bild, Teppich, Kommode }

Wenn wir nun die Elemente heraussuchen, welche in beiden Räumen vorkommen, so erhalten wir:

S ∩ E = { Schrank, Stuhl, Kommode, Teppich, Lampe } (gesprochen: S geschnitten mit E =...)

Definition der Schnittmenge

Die Schnittmenge der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Man kann auch sagen, dass alle Elemente der Schnittmenge sowohl in A als auch in B vorkommen. Also kann man schreiben:

(gesprochen: A geschnitten mit B = x mit Eigenschaft x ist Element von A und x Element von B)

Bild 4: Darstellungen von Schnittmengen im Mengendiagramm

Schnittmenge einer Menge mit ihrer Teilmenge:

Eine Teilmenge ist so definiert, dass jedes Element der Teilmenge auch in der Obermenge enthalten ist. Die Teilmenge enthält also alle Elemente die sowohl zur Teilmenge als auch zur Obermenge gehören. Dies ist aber auch die Definition der Schnittmenge, so dass man sagen kann:

Die Teilmenge B einer Menge M ist identisch mit der Schnittmenge von B und M.

Bild 5: Teilmenge und Schnittmenge

Schnittmenge von Mengen ohne gemeinsame Elemente (disjunkte Mengen)

Haben zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente, dann ist die Schnittmenge dieser beiden Mengen leer. Diese Mengen werden auch als disjunkt bezeichnet:

Afür

Bild 6: Disjunkte Mengen

Beispiele:

1.5.2 Die Vereinigungsmenge

Zur Erklärung betrachten wir erneut das Beispiel von der Schnittmenge:

Gegeben ist die Einrichtung eines Schlafzimmers S und eines Esszimmers E mit:

S = {Schrank, Stuhl, Bett, Kommode, Teppich, Nachttisch, Lampe, Bettlampe}

E = {Tisch, Stuhl, Schrank, Lampe, Bild, Teppich, Kommode}

Wenn wir nun die Elemente heraussuchen, welche zu S oder E oder auch zu beiden Mengen gehören, dann erhalten wir die folgende Menge:

S ∪ E = {Schrank, Stuhl, Bett, Kommode, Teppich, Nachttisch, Lampe, Bettlampe, Tisch, Bild}

(gesprochen: S vereinigt mit E =...)

Also können wir die Definition der Vereinigungsmenge wie folgt schreiben:

Definition der Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die zu A oder auch zu B gehören.

Man kann auch sagen, dass alle Elemente der Vereinigungsmenge zu A oder zu B gehören. Also kann man schreiben:

(gesprochen:

A vereinigt mit B = x mit der Eigenschaft x ist Element von A oder x ist Element von B)

Bild 7: Beispiele für Vereinigungsmengen

Die Vereinigungsmenge enthält also alle Elemente beider beteiligten Mengen, wobei laut Definition kein Element doppelt vorkommen darf. Dies gilt natürlich auch für die Vereinigungsmenge zweier disjunkter Mengen (im Bild rechts dargestellt).

Vereinigungsmenge einer Menge mit ihrer Teilmenge:

Bildet man die Vereinigungsmenge einer Obermenge M mit einer Teilmenge B, so erhält man die Obermenge M.

Bild 8: Teilmenge und Vereinigungsmenge

Beispiele:

1.5.3 Die Differenzmenge (Restmenge)

Auch hier verwenden wir wieder unser Beispiel mit den beiden Zimmern:

S = { Schrank, Stuhl, Bett, Kommode, Teppich, Nachttisch, Lampe, Bettlampe }

E = { Tisch, Stuhl, Schrank, Lampe, Bild, Teppich, Kommode }

Wir fragen uns nun, welche Elemente ausschließlich in S vorkommen. Also die Elemente von S, abzüglich der Elemente der Menge E. Wenn wir diese Elemente heraussuchen, erhalten wir:

(gesprochen: S ohne E =…)

Definition der Differenzmenge

Die Differenzmenge der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die zu A aber nicht zu B gehören.

Man kann auch sagen, dass die Differenzmenge alle Elemente der Menge A, abzüglich der Menge B enthält. Also kann man schreiben:

(gesprochen: A ohne B = x mit der Eigenschaft x ist Element von A und x ist nicht Element von B)

Man spricht hier auch von Komplementärmengen, also von zwei Mengen die sich gegenseitig ausschließen.

Bild 9: Differenzmenge A ohne B

Beispiele:

1.5.4 Die symmetrische Differenz

Noch einmal bemühen wir unser Beispiel mit den beiden Zimmern:

S = { Schrank, Stuhl, Bett, Kommode, Teppich, Nachttisch, Lampe, Bettlampe }

E = { Tisch, Stuhl, Schrank, Lampe, Bild, Teppich, Kommode }

Wir fragen uns nun, welche Elemente kommen ausschließlich in S vor, aber nicht in E und umgekehrt. Man kann auch die Elemente der Vereinigungsmenge nehmen, abzüglich