Jetzt lerne ich Mathematik für die Mittelstufe: www.alles-Mathe.de
Von Marco Schuchmann
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Über dieses E-Book
Dabei sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken im Buch zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb auch viele Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.
Auf den beiden Seiten zum Buch, der Seite www.alles-Mathe.de und der Seite www.Mathe-total.de werden Programme zum Lösen von Aufgaben und zum Erstellen von Graphen bereitgestellt wie auch Übungsaufgaben, Ergänzungen zum Buch und eine Formelsammlung zur Flächen- und Volumenberechnung.
Marco Schuchmann
Dr. rer. nat. Marco Schuchmann hat in Darmstadt Mathematik studiert und ist an der Hochschule Darmstadt im Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften angestellt. Hier hält er u.a. Mathematikvorlesungen über Themen, wie z.B. Wavelets und auf dem Gebiet der mathematischen Statistik. Seit 1996 veröffentlicht er mathematische Fachbücher.
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Buchvorschau
Jetzt lerne ich Mathematik für die Mittelstufe - Marco Schuchmann
15 Exponentialfunktionen
1 Rechnen mit Variablen
1.1 Zusammenfassen von Termen
Gleiche Variablen und Produkte gleicher Variablen können zusammengefasst werden, d.h. sie können addiert oder subtrahiert werden:
Beispiele:
4a + 3a = 7a
2b – 3b = -1b = -b
4a + 3b + 2a – 8b = 4a + 2a + 3b – 8b = 6a – 5b
2x + 3y + 5xy + 9x – y = 11x + 2y +5xy
15 – 8x + 10 + 2x = 25 – 6x
5x² + 8xy + 3x² + 2xy = 8x² + 10xy
Bemerkungen:
1) Es gilt das folgende Gesetz (Kommutativgesetz):
a·b = b·a
2) Damit die Übersicht größer ist, sortiert man aber bei Termen die Variablen alphabetisch. Außerdem kann man den Malpunkt, wie wir es bereits oben getan haben, weg lassen:
4·x = 4x
3) Statt 1x schreibt man x. Weiterhin gilt somit:
Aufgaben:
a) x + 4x
b) 3x – 8y + 2x – 4y
c) 2a + 8b – 10a + 12b
d) 10xy + 8x + 15xy – 2x + 4y
e) 9a² – 7a + 2a² + 2a
f) 5a + 3 + 2a + 7
Lösungen:
a) 5x
b) 5x – 12y
c) -8a + 20b
d) 25xy + 6x + 4y
e) 11a² – 5a
f) 7a + 10
1.2 Das Distributivgesetz
Das Distributivgesetz lautet wie folgt:
a(b + c) = ab + ac
Beispiele:
4(2x + 3y) = 4·2x + 4·3y = 8x + 12y
-(x – 2y) = -x + 2y
-5(3a – 2b) = -15a + 10b
Ausklammern
Das Distributivgesetz wird auch beim Ausklammern verwendet. Dabei werden gemeinsame Teiler ausgeklammert. Z.B. haben bei dem Term 10x + 15y beide Summanden den Teiler 5. Dadurch könnte man für den Term auch 5(10/5x + 15/5y) = 5(2x + 3y) schreiben.
Beispiele:
4x + 8y = 4(x + 2y)
20 + 40a = 20(1 + 2a)
4x² + 8x = 4x(x + 2)
Bemerkungen:
1) Es gilt:
x·x = x²
x·x·x = x³
2) x² sollte nicht mit 2x = x + x verwechselt werden.
3) Beim Zusammenfassen wird das Distributivgesetz verwendet: 4a + 6a = a(4 + 6) = 10a
4) Aus dem Distributivgesetz folgt (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, d.h. hier muss man insgesamt 4 Produkte bilden.
Aufgaben:
1) Löse die Klammern auf und fasse - wenn möglich - zusammen:
a) 5(x + 3)
b) –(-x -4y)
c) 4(2a – 3b)
d) 2x(x + 3y)
e) -3(-2a + 3b + c)
f) 4(3y + 2z) + 2(3x – 5z)
g) 5(8a – 2b) – 5(3a + 4b)
h) (4 – 3x)(2 + 4x)
i) (2a – 3b )(2a + 3b)
2) Klammere gemeinsame Faktoren aus:
a) 5x + 10y
b) -15a + 10b
c) 6x + 9y + 12z
d) 4 – 8a
e) -12a² + 24a
f) 6x – 12xy + 15x²
g) 25u – 30v + 20w
Lösungen:
1)
a) 5x + 15
b) x + 4y
c) 8a – 12b
d) 2x² + 6xy
e) 6a – 9b – 3c
f) 12y + 8z + 6x – 10z = 6x + 12y – 2z
g) 40a – 10b – 15a – 20b = 25a – 30b
h) 8 + 16x – 6x – 12x² = -12x² +10x + 8
i) 4a² +6ab – 6ab – 9b² = 4a² – 9b²
2)
a) 5(x + 2y)
b) 5(-3a + 2b)
c) 3(2x + 3y + 4z)
d) 4(1 – 2a)
e) 12a(-a + 2)
f) 3x(2 – 4y + 5x)
g) 5(5u – 6v + 4w)
2 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
Wir betrachten die Gleichung:
x + 4 = 5
Eine solche Gleichung kann systematisch gelöst werden, indem auf beide Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert wird. Oder man multipliziert beide Seiten (d.h. aber komplett jeweils eine Seite) mit einer Zahl ungleich Null oder dividiert durch diese. Dadurch wird die Lösung nicht verändert und man spricht von einer Äquivalenzumformung. Nun könnte man