Stochastik ohne Zufall und Wahrscheinlichkeit: Die Mathematik der relativen Anteile

Von Rüdiger Stegen

In diesem Buch wird Grundlegendes der Stochastik wie Kolmogoroffsche Axiome, Erwartungswerte, bedingte Wahrscheinlichkeiten, stochastische Unabhängigkeit, Satz von Bayes oder Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit nicht mit „Zufall“ und „Wahrscheinlichkeit“, sondern mit „relativer Anteil“ formuliert. Drei Interpretationen relativer Anteile werden näher betrachtet: Freude, Macht und Wahrscheinlichkeit. Anhand vieler Beispiele wird gezeigt, dass die angewandte Stochastik nicht nur allgemeiner und umfassender, sondern auch einfacher und anschaulicher wird, wenn man sie auf relativen Anteilen statt auf Zufall und Wahrscheinlichkeit aufbaut.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Springer Spektrum
• Erscheinungsdatum: 12. Aug. 2021
• ISBN: 9783658337797

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R. StegenStochastik ohne Zufall und Wahrscheinlichkeitessentialshttps://doi.org/10.1007/978-3-658-33779-7_1

1. Einleitung

Rüdiger Stegen¹  

(1)

Braunschweig, Deutschland

Rüdiger Stegen

Email: [e-mail]

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat ihre historischen Ursprünge in der Analyse von Glücksspielen im 17. Jahrhundert. Daraus entwickelte sich eine mathematische Theorie, deren Grundlage heute die Kolmogoroffschen Axiome sind. Dabei betonte Kolmogoroff bereits zu Beginn seiner bahnbrechenden Arbeit, dass die Begriffe Zufall und Wahrscheinlichkeit in seinen Axiomen im Allgemeinen nichts mit der anwendungsbezogenen Bedeutung dieser Begriffe zu tun haben (Kolmogoroff 1933, S. 1).

Im essential starten wir beim Allgemeinen und widmen uns erst zum Schluss dem Sonderfall, bei dem Zufall und Wahrscheinlichkeit eine Rolle spielen. Konkret heißt das:

Grundlegendes, wie die Kolmogoroffschen Axiome, der Erwartungswert, die bedingte Wahrscheinlichkeit, die stochastische Unabhängigkeit, der Satz von Bayes oder der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit werden einschließlich einfacher praktischer Beispiele so formuliert, dass die Begriffe Zufall, Wahrscheinlichkeit und Ereignis nicht vorkommen.

Jetzt stellen sich natürlich die Fragen: wenn Zufall und Wahrscheinlichkeit nicht zu den Grundlagen der Stochastik gehören, was gehört denn stattdessen dazu? Von was genau ist die Wahrscheinlichkeit nur ein Anwendungsbeispiel? Und wie sieht sie denn nun konkret aus, diese „Stochastik ohne Zufall und Wahrscheinlichkeit"? Die Antwort ist im Untertitel des essentials zu finden, aber dazu bedarf es einiger Vorbereitungen.

In Kap. 2 starten wir mit einigen Grundlagen und betrachten dabei zunächst das ungewichtete und gewichtete arithmetische Mittel. Dann widmen wir uns der Additivität und zeigen, dass 1 plus 1 nicht unbedingt 2 ergeben muss.

Die Ergebnisse nutzen wir dann in Kap. 3 bei den relativen Anteilen, für die drei Regeln hergeleitet werden.

Die drei Regeln für relative Anteile sehen formal wie die Kolmogoroffschen Axiome aus, haben aber nichts mit Wahrscheinlichkeit, Zufall oder Ereignissen zu tun.

Anschließend wird gezeigt, dass auch das gewichtete arithmetische Mittel mehrerer relativer Anteile den drei Regeln gehorcht, obwohl es im Allgemeinen nicht als relativer Anteil interpretierbar ist.

Danach befassen wir uns mit bedingten relativen Anteilen, bei denen man sich auf relative Anteile innerhalb von Teilbereichen beschränkt. Ein besonders wichtiges und einfaches Beispiel für relative Anteile sind relative Häufigkeiten, wobei gezeigt wird, dass viele relative Anteile in relative Häufigkeiten umgewandelt, also durch Abzählen bestimmt werden können – eine Spielart der Digitalisierung.

In Kap. 4 untersuchen wir Anwendungsbeispiele, bei denen relative Anteile genutzt werden, um etwas quantitativ zu bewerten. Dabei wird das, was allgemein für relative Anteile hergeleitet wurde, für die Anwendungsbeispiele Freude, Macht und Wahrscheinlichkeit konkretisiert. Will man Freude oder Macht durch einen Index ausdrücken, so kann man dazu in bestimmten Fällen relative Anteile nutzen. Ganz ähnlich ist es bei Wahrscheinlichkeiten, die ebenfalls in bestimmten Fällen durch relative Anteile quantifiziert werden können. Insbesondere lassen sich die typischen Wahrscheinlichkeitsaufgaben in Schule und Hochschule auf relative Anteile