Orthographische Projektion: Erforschung der orthographischen Projektion in der Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was ist orthographische Projektion

Orthographische Projektion ist ein Mittel zur Darstellung dreidimensionaler Objekte in zwei Dimensionen. Die orthographische Projektion ist eine Form der Parallelprojektion, bei der alle Projektionslinien orthogonal zur Projektionsebene verlaufen, was dazu führt, dass jede Ebene der Szene in einer affinen Transformation auf der Betrachtungsfläche erscheint. Die Vorderseite einer orthographischen Projektion ist eine Schrägprojektion, also eine Parallelprojektion, bei der die Projektionslinien nicht orthogonal zur Projektionsebene sind.

Ihre Vorteile

(I) Erkenntnisse und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Orthographische Projektion

Kapitel 2: Orthogonale Matrix

Kapitel 3: Isometrische Projektion

Kapitel 4: Technische Zeichnung

Kapitel 5: 3D-Projektion

Kapitel 6: Axonometrische Projektion

Kapitel 7: Beschreibende Geometrie

Kapitel 8: Schrägprojektion

Kapitel 9: Parallelprojektion

Kapitel 10: Axonometrie

(II) Beantwortung der häufigsten öffentlichen Fragen über orthographische Projektion.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der orthographischen Projektion in vielen Bereichen.

Für wen dieses Buch gedacht ist

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über Grundkenntnisse oder Informationen für jede Art von orthografischer Projektion hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 4. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Orthogonale Projektion

Die orthogonale Projektion (auch orthogonale Projektion und Analemma) führt zu einer affinen Transformation jeder Bildebene auf der Betrachtungsfläche. Bei einer schrägen Projektion sind die Projektionslinien nicht orthogonal zur Projektionsebene.

Bei der Multiview-Projektion kann sich orthogonal auf eine Technik beziehen, bei der die Hauptachsen oder -ebenen des Motivs parallel zur Projektionsebene verlaufen, um die primären Ansichten zu erstellen. Wenn die Hauptebenen oder -achsen eines Objekts in einer orthogonalen Projektion nicht parallel zur Projektionsebene sind, handelt es sich um eine axonometrische Darstellung oder eine Hilfsansicht. (Axonometrische Projektion und Parallelprojektion sind gleichbedeutend.) Pläne, Ansichten und Schnitte sind Untertypen von primären Ansichten. Isometrische, dimetrische und trimetrische Projektionen sind Untertypen von Hilfsansichten.

Ein telezentrisches Objektiv, das eine orthogonale Projektion liefert, ist ein Objekt-Raum-Objektiv.

Die folgende Matrix definiert eine einfache orthogonale Projektion auf die z = 0-Ebene:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Für jeden Punkt v = (vx, v, y, vz) wäre der Punkt umgerechnet Pv

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Häufig ist es vorteilhafter, homogene Koordinaten zu verwenden. Für homogene Koordinaten kann die obige Transformation wie folgt ausgedrückt werden:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Für jeden homogenen Vektor v = (vx, vy, vz, 1) wäre der Vektor Pv nach der Transformation

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

In der Computergrafik wird eine der am häufigsten verwendeten Matrizen für die orthogonale Projektion durch das 6-Tupel (links, rechts, unten, oben, nah, fern) angegeben, das die Schnittebenen angibt. Diese Ebenen erstellen einen Rahmen mit der kleinsten Ecke bei (links, unten, -nah) und der größten Ecke bei (rechts, oben, -weit) (rechts, oben, -weit).

Der Rahmen wird dann auf den Einheitswürfel skaliert, der definiert ist, indem er seine minimale Ecke bei (1,1,1) und seine größte Ecke bei (1,1,1) hat. (1,1,1).

Die folgende Matrix stellt die orthogonale Transformation dar:

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Dies kann als eine Skalierung S gefolgt von einer Verschiebung T entsprechend der Form ausgedrückt werden

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Die Umkehrung der Projektionsmatrix P−1, Sie kann als Unprojektionsmatrix verwendet werden:

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Isometrische Projektion, dimetrische Projektion und trimetrische Projektion sind drei Untertypen der orthogonalen Projektion, abhängig vom genauen Winkel, in dem die Ansicht von der orthogonalen Ansicht abweicht. In axonometrischen Zeichnungen, wie auch in anderen Formen von Diagrammen, wird eine Raumachse typischerweise vertikal dargestellt.

In der isometrischen Ansicht, der am weitesten verbreiteten Art der axonometrischen Projektion, die in technischen Zeichnungen verwendet wird, ist die Blickrichtung so, dass alle drei Raumachsen proportional zusammengedrückt zu sein scheinen und ein gemeinsamer Winkel von 120° zwischen ihnen besteht.

Da die durch die Verkürzung verursachte Verzerrung gleichmäßig ist, bleiben die Proportionen zwischen den Längen erhalten, und die Achsen haben den gleichen Maßstab. Dies erleichtert das direkte Messen anhand der Zeichnung.

Ein weiterer Vorteil ist, dass 120°-Winkel nur mit Zirkel und Lineal leicht konstruiert werden können.

Bei der dimetrischen Projektion ist die Blickrichtung so, dass zwei der drei Raumachsen gleichermaßen komprimiert erscheinen, wobei der damit verbundene Maßstab und die Darstellungswinkel durch den Betrachtungswinkel bestimmt werden. Der Maßstab der dritten Richtung wird individuell festgelegt. Dimetrische Zeichnungen enthalten in der Regel ungefähre Bemaßungen.

Bei der trimetrischen Projektion ist die Blickrichtung so, dass die drei Raumachsen ungleichmäßig komprimiert erscheinen. Die Skala entlang jeder der drei Achsen und die Winkel zwischen ihnen werden unabhängig voneinander anhand des Betrachtungswinkels bestimmt. In trimetrischen Zeichnungen sind Bemaßungsnäherungen üblich, obwohl die trimetrische Perspektive in technischen Zeichnungen selten verwendet wird.

Bei der Multiview-Projektion werden bis zu sechs Bilder eines Objekts erzeugt, die als Primäransichten bezeichnet werden, wobei jede Projektionsebene parallel zu einer der Koordinatenachsen des Objekts verläuft. Die relative Positionierung der Ansichten wird durch eines von zwei Schemata bestimmt: Projektion des ersten Winkels oder Projektion des dritten Winkels. Die Erscheinungen der Ansichten werden auf Flächen projiziert, die jeweils einen sechsseitigen Kasten um das Objekt bilden. Obwohl es möglich ist, sechs verschiedene Seiten zu zeichnen, liefern drei Ansichten einer Zeichnung genügend Informationen, um ein dreidimensionales Objekt zu erstellen. Diese Perspektiven werden als Vorderansicht, Draufsicht und Endansicht bezeichnet. Diese Perspektiven werden auch als Grundriss, Ansicht und Schnitt bezeichnet. Wenn die Ebene oder Achse des dargestellten Objekts nicht senkrecht zur Projektionsebene steht und wenn mehrere Seiten eines Objekts im selben Bild zu sehen sind, wird dies als Hilfsansicht bezeichnet. Daher werden in der Multiview-Projektion die isometrische Projektion, die dimetrische Projektion und die trimetrische Projektion als Hilfsansichten bezeichnet. Eine Raumachse wird in der Regel vertikal dargestellt, was ein Kennzeichen der Multiview-Projektion ist.

Eine orthogonale Projektionskarte ist eine kartografische Kartenprojektion. Die orthogonale Projektion ist wie die stereografische und gnomonische Projektion eine perspektivische (oder azimutale) Projektion, bei der die Kugel auf eine Tangenten- oder Sekantenebene projiziert wird. Der perspektivische Punkt für eine orthogonale Projektion ist unendlich weit. Es zeigt eine Hemisphäre der Erde, wie sie vom Weltraum aus gesehen wird, wobei der Horizont durch einen großen Kreis dargestellt wird. Vor allem in der Nähe der Ränder sind die Formen und Regionen verzerrt.

{Ende Kapitel 1}

Kapitel 2: Orthogonale Matrix

Eine orthogonale Matrix oder orthonormale Matrix ist eine reelle quadratische Matrix in der linearen Algebra, deren Spalten und Zeilen orthonormale Vektoren sind.

Ein möglicher Ausdruck ist

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}

wobei QT die Transponierung von Q und I die Identitätsmatrix ist.

Daraus ergibt sich eine identische Definition: Eine Matrix Q ist orthogonal, wenn ihre Transponierung gleich ihrer Inversen ist:

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},}

wobei Q−1 die Umkehrung von Q ist.

Eine orthogonale Matrix Q ist notwendigerweise invertierbar (mit inversem Q−1 = QT), unitär (Q−1 = Q∗), wobei Q∗ das hermitesche Adjungierte (konjugierte Transponierung) von Q und daher normal (Q∗Q = QQ∗) über den reellen Zahlen ist.

+1 oder -1 ist die Determinante einer orthogonalen Matrix.

Als Ergebnis einer linearen Transformation ist eine Matrix, die das innere Produkt von Vektoren beibehält, orthogonal und fungiert daher als Isometrie des euklidischen Raums, einschließlich einer Rotation oder Rotationsreflexion.

Das heißt, es ist eine einheitliche Metamorphose.

Die Menge der n × n orthogonalen Matrizen ergibt unter Multiplikation die