Beschreibende Geometrie: Den visuellen Bereich erschließen: Erkundung der beschreibenden Geometrie im Computer Vision

Von Fouad Sabry

Was ist beschreibende Geometrie?

Beschreibende Geometrie ist der Zweig der Geometrie, der die Darstellung dreidimensionaler Objekte in zwei Dimensionen mithilfe eines bestimmten Satzes von Verfahren ermöglicht. Die daraus resultierenden Techniken sind wichtig für Ingenieurwesen, Architektur, Design und in der Kunst. Die theoretische Grundlage für die beschreibende Geometrie bilden planare geometrische Projektionen. Die früheste bekannte Veröffentlichung zu dieser Technik war „Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt“, veröffentlicht in Linien, Nürnberg: 1525, von Albrecht Dürer. Der italienische Architekt Guarino Guarini war auch ein Pionier der projektiven und beschreibenden Geometrie, wie aus seinen Werken „Placita Philosophica“ (1665), „Euklides Adauctus“ (1671) und „Architettura Civile“ hervorgeht, die das Werk von Gaspard Monge (1746–1818) vorwegnahmen, der es normalerweise ist wird die Erfindung der beschreibenden Geometrie zugeschrieben. Gaspard Monge wird aufgrund seiner Entwicklungen im Bereich der geometrischen Problemlösung üblicherweise als „Vater der beschreibenden Geometrie“ angesehen. Seine ersten Entdeckungen machte er 1765, als er als Zeichner für militärische Befestigungen arbeitete, obwohl seine Erkenntnisse später veröffentlicht wurden.

Wie Sie davon profitieren werden

(I) Erkenntnisse und Validierungen zu den folgenden Themen:

Kapitel 1: Beschreibende Geometrie

Kapitel 2: Analytische Geometrie

Kapitel 3: Affine Transformation

Kapitel 4: Orthographische Projektion

Kapitel 5: 3D-Projektion

Kapitel 6: Schrägprojektion

Kapitel 7: Fluchtpunkt

Kapitel 8: Bildebene

Kapitel 9: Linie (Geometrie)

Kapitel 10: Parallelprojektion

(II) Beantwortung der öffentlichen Top-Fragen zu Beschreibende Geometrie.

(III) Beispiele aus der Praxis für die Verwendung der Beschreibenden Geometrie in vielen Bereichen.

Für wen dieses Buch gedacht ist

Profis, Studenten und Doktoranden, Enthusiasten, Hobbyisten und diejenigen, die über Grundkenntnisse oder Informationen für jede Art beschreibender Geometrie hinausgehen möchten.

 

 

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Eine Milliarde Sachkundig [German]
• Erscheinungsdatum: 5. Mai 2024

Buchvorschau

Kapitel 1: Beschreibende Geometrie

Die deskriptive Geometrie ist der Zweig der Geometrie, der die Darstellung dreidimensionaler Objekte in zwei Dimensionen ermöglicht, indem ein bestimmter Satz von Prozessen angewendet wird. Diese Techniken sind für das Ingenieurwesen, die Architektur und das Design sowie für die Kunst unerlässlich.

Die Protokolle von Monge ermöglichen es, ein imaginäres Objekt so zu zeichnen, dass es dreidimensional modelliert werden kann. Alle geometrischen Merkmale des fiktiven Gegenstandes werden in der richtigen Größe und Form berücksichtigt und können von jedem Ort im Raum aus visualisiert werden. Jedes Bild wird auf einer zweidimensionalen Oberfläche dargestellt.

Die deskriptive Geometrie verwendet den bilderzeugenden Ansatz paralleler, hypothetischer Projektoren, die von einem imaginären Objekt ausgehen und eine parallele, imaginäre Projektionsebene im rechten Winkel schneiden. Die Anhäufung von sich überschneidenden Punkten erzeugt das gewünschte Bild.

Zwei Bilder eines Objekts werden in beliebig senkrechte Richtungen projiziert. Jede Bildansicht enthält drei räumliche Dimensionen, von denen zwei als maßstabsgetreue, zueinander senkrechte Achsen und die dritte als unsichtbare (Punktansicht) in den Bildraum (Tiefe) zurücktretende Achse dargestellt werden. Jede der beiden benachbarten Bildperspektiven enthält eine maßstabsgetreue Darstellung einer der drei Dimensionen des Raumes.

Jedes dieser Bilder könnte als Grundlage für eine dritte projizierte Vision dienen.

Die dritte Perspektive kann eine vierte Projektion initiieren, und unendlich mehr.

Jede dieser sequentiellen Projektionen ist eine umständliche, 90°-Drehung im Raum, um das Objekt aus einer anderen Richtung zu betrachten.

Bei jeder aufeinanderfolgenden Projektion wird eine Bemaßung in voller Größe verwendet, die im vorherigen Bild als Point-of-View-Dimension angezeigt wurde. Um die vollständige Ansicht dieser Dimension zu erhalten und sie in die neue Ansicht einzubeziehen, muss man die vorherige Ansicht ignorieren und zur zweiten vorherigen Ansicht übergehen, in der diese Dimension in voller Größe erscheint.

Jede einzigartige Perspektive wird erzeugt, indem sie in eine von unendlich vielen Richtungen projiziert wird, die senkrecht zur vorhergehenden Projektionsrichtung verläuft.

(Stellen Sie sich die vielen Richtungen der Speichen eines Wagenrades vor, die jeweils senkrecht zur Richtung der Achse stehen.) Das Ergebnis ist, dass man in 90°-Drehungen umkreisförmig um ein Objekt herumschreitet und das Objekt von jedem Schritt aus betrachtet.

Jede neue Ansicht, die einer orthogonalen Projektionslayout-Anzeige hinzugefügt wird, wird als Entfaltung des Glaskastenmodells angezeigt.

Abgesehen von der Orthographie sind sechs konventionelle Primäransichten (Vorderseite; Rechte Seite; linke Seite; Nach oben; Unteres; Hinten), versucht die deskriptive Geometrie, vier wesentliche Lösungsansichten zu liefern: die wahre Länge einer Linie (d. h. in voller Größe, nicht verkürzt), die Punktansicht einer Linie (Endansicht), die reale Form einer Ebene (d. h. gemäß dem Maßstab (oder nicht abgekürzt) und die Kantenansicht einer Ebene (d. h. (Ansicht einer Ebene mit der Sichtlinie senkrecht zu der Sichtlinie, die mit der Sichtlinie verbunden ist, um die wahre Form der Ebene zu erzeugen).

Häufig helfen diese bei der Entscheidung über die Projektionsrichtung für die nächste Ansicht.

Durch den 90°-Umweg entfaltet jede Projektion aus der Punktperspektive einer Linie ihre volle Länge; Die Punktansicht wird durch Projektion in eine Richtung erhalten, die parallel zu einer echten Längenlinienansicht verläuft. Die Punktansicht einer beliebigen Linie, die auf eine Ebene projiziert wird, erzeugt die Kantenansicht der Ebene; Eine Projektion senkrecht zur Kantenansicht einer Ebene zeigt ihre wahre Form (maßstabsgetreu).

Diese unterschiedlichen Perspektiven können genutzt werden, um technische Schwierigkeiten zu lösen, die sich aus Festkörpergeometriekonzepten ergeben.

Das Studium der deskriptiven Geometrie ist heuristisch von Vorteil. Es fördert die Visualisierung, die räumliche Analyse und die intuitive Fähigkeit, die optimale Blickrichtung für die Darstellung eines zu lösenden geometrischen Problems zu erkennen. Beispielhafte Beispiele:

Zwei schiefe Linien (z. B. Rohre) werden in allgemeinen Positionen platziert, um die Position ihrer kürzesten Verbindung (gemeinsame Senkrechte) zu ermitteln

Zwei schräge Linien (Rohre) an allgemeinen Positionen, so dass der kürzeste Verbinder in vollem Maßstab zu sehen ist.

Zwei Schräglinien an allgemeinen Positionen, so dass der kürzeste parallele Verbinder zu einer bestimmten Ebene maßstabsgetreu angezeigt werden kann (z. B. um die Position und die Abmessung des kürzesten Verbinders in einem konstanten Abstand von einer abstrahlenden Oberfläche zu bestimmen)

Eine Oberfläche, auf der ein senkrecht gebohrtes Loch in seiner Gesamtheit betrachtet werden kann, als ob man durch das Loch blicken würde (z. B. um mit anderen Bohrlöchern auf Abstände zu testen)

Eine Ebene, die in gleichem Abstand zwischen zwei schiefen Linien in allgemeinen Positionen liegt (z. B. um den sicheren Strahlungsabstand zu überprüfen?)

Der kürzeste Abstand zwischen einem bestimmten Punkt und einer Ebene (z. B. um die wirtschaftlichste Position für die Verstrebung zu finden)

Die sich schneidende Linie zwischen zwei Flächen, einschließlich gekrümmter Flächen (vielleicht für die kostengünstigste Schnittgröße?)

Die tatsächliche Größe des Winkels, der von zwei Ebenen gebildet wird.

Ein Standard für die Darstellung von Computermodellierungsansichten, die sequentiellen orthographischen Projektionen ähneln, wurde noch nicht akzeptiert. Ein Kandidat dafür ist in den folgenden Bildern dargestellt. Die Visuals in den Illustrationen wurden mit Hilfe von technischen Computergrafiken in drei Dimensionen erstellt.

Die dreidimensionale Computermodellierung erzeugt den virtuellen Raum hinter der Röhre und kann jede Ansicht eines Modells aus jedem Winkel innerhalb dieses virtuellen Raums erzeugen. Dies geschieht ohne die Notwendigkeit benachbarter orthogonaler Ansichten, was dazu führen kann, dass die gewundene Schritt-für-Schritt-Methodik der Beschreibenden Geometrie obsolet wird. Aufgrund der Tatsache, dass die deskriptive Geometrie die Untersuchung der gültigen oder zulässigen Darstellung des drei- oder mehrdimensionalen Raums auf einer flachen Ebene ist, ist sie für die Verbesserung der Computermodellierungsfähigkeiten unerlässlich.

Bei den X-, Y- und Z-Koordinaten von P, R, S und U werden die X-Y- und X-Z-Projektionen 1 bzw. 2 maßstabsgetreu gezeichnet.

Um eine der Linien genau zu sehen (Länge in der Projektion entspricht Länge im 3D-Raum), muss man: SU In diesem Fall wird die Projektion 3 mit der Scharnierlinie H2,3 parallel zu S2U2 gezeichnet.

Um eine Schlussfolgerung über