Eindimensionale und instationäre Wärmeleitung in ruhenden und einfachen Körpern: Entwicklung und Realisierung des Halleschen Kalorimeters für die Anwendung in der oberflächennahen Geothermie und der Verfahrenstechnik

Von Jörg Laske

Die theoretische Physik ist für jeden Ingenieur sein ständiger Begleiter, um die an ihn gestellten Aufgaben im höchsten Maße an Zuverlässigkeit zu meistern. Darüber hinaus ist ein solides fachübergreifendes Grundlagenwissen von immenser Bedeutung. Kreativität hilft der Entscheidungsfindung und eröffnet Möglichkeiten, z.B. mathematische Werkzeuge zu entwickeln. Die daraus entstandenen Ergebnisse können den Ingenieur zu Recht mit Stolz erfüllen und außerdem seiner Reputation hilfreich sein. Dieses Fachbuch bzw. diese "Wissenschaftliche Abhandlung" beschäftigt sich nun mit einer Problematik, dessen Lösung in der angewandten Mathematik gefunden wurde. Bei der Entwicklung des Halleschen Kalorimeters entstanden physikalische Phänomene, die es zu erkennen und gegen zu steuern galt. Ein dauerhafter Gefährte der Problemanalyse war die immer wieder zur Anwendung kommende Regressionsanalyse, auf die hinreichend in diesem Werk eingegangen wird und ein fabelhaftes Hilfsmittel für Ingenieure ist. In anschaulicher Weise wird aufgezeigt, wie das Hallesche Kalorimeter und die Modellbildung unter Zuhilfenahme einer Software sukzessive entstanden sind. Das Buch stellt somit auch eine Anleitung zum Bau des Kalorimeters dar.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: tredition
• Erscheinungsdatum: 9. Juni 2021
• ISBN: 9783347328433

Buchvorschau

1 Wissenschaftlicher Ansatz

Die kalorischen Zustandsgrößen von oberflächennahen Erdböden sollen mittels eines eigens dafür generierten Kalorimeters bestimmt werden. Mit dem Halleschen Kalorimeter wird die Anwendung der eindimensionalen, instationären Wärmeleitung verwirklicht und eine Analyse mit einem Tabellenkalkulationsprogramm zur Bestimmung der kalorischen Größen entwickelt. Die Eindimensionalität stellt einen Spezialfall der instationären Wärmeleitung dar und soll durch einen Messzylinder und einen Wärmeschrank realisiert werden.

Jede Bodenprobe hinterlässt im Halleschen Kalorimeter seine individuelle Wärmeflusskurve, die als kalorischer Fingerabdruck bezeichnet werden kann, und liefert den Zusammenhang zu der zugrundeliegenden physikalischen Gesetzmäßigkeit respektive dem wissenschaftlichen Ansatz in diesem Analyseverfahren.

Das Hallesche Kalorimeter nebst Software ist das Resultat der Applikation der Fourier´schen Differentialgleichung.

Für diesen Sonderfall (homogener Zylinder sowie der Invarianz von parametrisierten Größen) existiert die folgende modifizierte Fourier´sche Differentialgleichung.

Mit Verwendung der Größen in dimensionsloser Form lässt sich die partielle Differentialgleichung wie folgt darstellen.

Der Separationsansatz von Bernoulli dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen und liefert bei dessen Anwendung unter Berücksichtigung der Anfangswertprobleme die allgemeine Gleichung [Baehr und Stephan, 2010], deren Herleitung im Anhang A1 näher ausgeführt ist.

Abb 1.1: Temperaturverlauf über den Radius

Modell der „Instationären und eindimensionalen Wärmeleitung"

Im kartesischen Koordinatensystem liegt die Grundfläche des senkrechten Kreiszylinders auf der x-y-Ebene respektive auf der Polarebene. Die Mittelachse des Zylinders beginnt im Koordinatenursprung und ist die z-Achse, die senkrecht zur x-y-Ebene steht. Werden parallel von der Mittelachse bis zum Außenmantel auf einer Ebene unendlich viele Geraden gelegt und lässt sie um die Zylinderachse rotieren, entstehen aneinanderreihende Zylinderringe (siehe Abb 1.2), die den Vollzylinder ergeben. Jeder für sich betrachtete Zylinderring hat zum Zeitpunkt t komplett die gleiche Temperatur, die nun eine Eindimensionalität zulässt. Daraus folgt, dass jede senkrechte Strecke (Strecke = Zylinderradius R) von der Zylinderachse, egal in welchem Winkel und in welcher Höhe R ⊥ H, ein deckungsgleiches Temperaturprofil besitzt, das von der instationären Wärmeleitung geprägt wird. Der thermische Vorgang ist somit eindimensional und vereinfacht die Modellbildung.

Abb 1.2: Summe der Zylinderringe = Vollzylinder

Das Hallesche Kalorimeter zielt auf die Verwendung verschiedenster Materialien hin, die sich nicht nur auf Lockergesteinsböden beschränken, sondern auch auf Schüttstoffe jeglicher Art.

Abb 1.3: Viertelparaboloid; typisches Temperaturprofil über den Radius

2 Einführung

Der mengenmäßige Anteil zwischen den Wärmepumpen und anderen Wärmeerzeugern ist in den letzten zehn Jahren auf etwa gleichem Niveau geblieben. Wärmepumpen haben sich somit als mögliche Wärmeerzeuger aufgrund vieler Vorzüge im Markt gut etabliert.

2.1 Planungsablauf zur Errichtung einer Wärmepumpenheizungsanlage

Mit dem folgenden Flussdiagramm soll ein Einblick gewonnen werden, welchen umfangreichen Weg ein TGA-Ingenieur gehen muss, bis die Planung einer Wärmepumpenheizungsanlage kleinerer Leistung abgeschlossen ist.

Abb 2.1: Planungsablauf

2.2 Oberflächennahe Geothermie

Der Bereich, in dem Erdwärmekollektoren verlegt werden, liegt mindestens 1,2 Meter unter der Erdoberfläche, weil dort der Erdboden im Winter frostfrei bleibt. Dieser regeneriert sich wesentlich in den Sommermonaten, wenn die Sonnenstrahlen in den Boden eintreten, das Regenwasser in den Boden eindringt, die Wärmeübertragung von der Atmosphäre und von den unteren Bereichen gegeben ist.

Abb 2.2: Erdflächenkollektoren [bwp e.V.]

Das folgende Diagramm Abb 2.3 veranschaulicht die oberflächennahen Temperaturverläufe über das Jahr. Es ist gut zu erkennen, dass die Temperaturen in Bewegung sind.

Abb 2.3: Erdtemperaturen (erstellt in Office Excel®)

Die Temperatur in den oberen Erdschichten bis zu 10 Metern variieren mit den Jahreszeiten.

2.3 Entzugsleistung

Die spezifische Wärmeentzugsleistung ist die Leistung, die für die Größe der Erdkollektorfläche entscheidend ist. Sie wird in der Einheit W/ m² bei verschiedenen Jahresbetriebsstunden der Wärmepumpe (z.B. 1800 h/a oder 2400 h/a) angegeben.

Die Entzugsleistung ist abhängig von dem Verlegeabstand und der Verlegetiefe der Erdkollektoren, der Bodenbeschaffenheit (gesteinsspezifischen Wärmetransportvermögen des Untergrunds) und den Betriebsstunden. Sie liegt zwischen

Tab 2.1: Entzugsleistung [VDI 4640 Blatt 2]

Tab 2.2: Entzugsleistung nach Klimazone [VDI 4640 Blatt 2]

In der VDI 4640 Blatt 1 stehen in einer Tabelle die gesteinsspezifischen thermodynamischen Kenngrößen, die für die Auswertung und die Vergleichsanalyse herangezogen werden. Hier nachfolgend ein Auszug:

Tab 2.3: Gesteinsspezifische Kenngrößen [VDI 4640 Blatt 1]

In einschlägigen Fachbüchern u.a. in [Hannoschöck, 2018] sind ebenfalls thermodynamische Stoffgrößen für lose Erdgesteine zu finden, die nachfolgend auszugsweise aufgeführt sind.

Tab 2.4: Kalorische Zustandsgrößen [Hannoschöck, 2018]

Das in diesem Dokument entwickelte Verfahren bestimmt die beiden thermodynamischen Kenngrößen von losen Erdböden: