Planung von Elektroanlagen: Theorie, Vorschriften, Praxis

Von Ismail Kasikci

Dieses Werk stellt dem Planer von Elektroanlagen die benötigten technischen Grundlagen, die einzuhaltenden Vorschriften und Standards sowie vielerlei weitere praxisrelevante Informationen und Daten zur Verfügung. Nach Möglichkeit wurden die Planungswerte und Gleichungen in Tabellen und Abbildungen aufgeführt, um eine hohe Übersichtlichkeit und rasches Auffinden zu gewährleisten. Es dient somit als Lehr- und Handbuch für den täglichen Gebrauch durch den Elektro-Fachmann. Regenerative Energien insbesondere Wasserkraft,- Windkraft- und PV-Anlagen werden ebenfalls behandelt. Kurzschlussberechnung, Mittelspannungsanlagen, Erdungsanlagen, Spannungsfallberechnung und Schutztechnik bilden einen besonderen Schwerpunkt innerhalb des Werks. Viele Beispiele aus der Praxis runden das Buch ab.

In der dritten Auflage wurden alle Themen sehr stark überarbeitet, besonders der Spannungsfall, Erdungsanlagen, Kurzschlussstromberechnung und Schutztechnik in HS-Anlagen. 

Das Buch wendet sich an Studierende der Elektrotechnik, Ingenieure, Techniker und Praktiker aus den Bereichen Nieder- und Mittelspannungsanlagen, Erdungsanlagen, Netzschutz, Planung, Betrieb und Instandhaltung, Netzbetreiber, Behörden sowie Ingenieurbüros.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Springer Vieweg
• Erscheinungsdatum: 12. Okt. 2018
• ISBN: 9783662564271

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2018

Ismail KasikciPlanung von Elektroanlagenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-56427-1_1

1. Einleitung

Ismail Kasikci¹ 

(1)

Energie-Ingenieurwesen, Biberach University of Applied Sciences, Karlstrasse 11, 88400 Biberach, Deutschland

Mit diesem Buch erhalten Sie ein umfassendes Werk, das Sie täglich bei Ihrer Arbeit oder bei Ihrem Studium brauchen. Sie werden mit den Komponenten der Elektrotechnik- Erzeugung, Übertragung, Verteilung, Schaltanlagen, Netzschutztechnik und elektrischer Maschinen- Schritt für Schritt vertraut gemacht. Angesichts viele theoretischer Publikationen, die Sie im Literaturverzeichnis nachlesen können, wird die Theorie in jedem Kapitel kurz und übersichtlich erklärt, dann gibt es praktische Beispiele mit Normen und es wird aufgezeigt, wie sie in der Praxis vorkommen können.

Das Buch ist ein gutes Nachschlagewerk und richtet sich vor allem an Fachkollegen, Elektromeister, Techniker und Studenten. Es kann an Universitäten und Hochschulen als Begleitbuch zu den Vorlesungen genutzt werden.

Das vorliegende Buch ist folgendermaßen aufgebaut:

Kap.​ 2 erklärt die Grundlagen der Drehstromtechnik.

Kap.​ 3 gibt einen kurzen Überblick über die komplexen Rechnungen.

Kap.​ 4 beschreibt Leistungen im Drehstromsystem.

Kap.​ 5 fasst die voarangehenden Themen mit Beispielen zusammen.

Kap.​ 6 behandelt die symmetrischen Komponenten mit Mit,- Gegen- und Nullsystem.

Kap.​ 7 vermittelt ausführlich die Berechnung der Kurzschlussströme, die Kurzschlussimpedanzen von Betriebsmitteln und die Kurzschlussfestigkeit von Anlagen.

Kap.​ 8 gibt einen Überblick über die Lastflussrechnung.

Kap.​ 9 beschreibt die Theorie des Spannungsfalls in Hochspannungsnetzen und in Niederspannungsnetzen.

Kap.​ 10 behandelt die Strombelastbarkeit von Kabeln und Leitungen, den Schutz bei Überlast und Kurzschluss und die Querschnittsdimensionierung

Kap.​ 11 beschreibt die Bemessung des Schutzleiters.

Kap.​ 12 erklärt Spannungsänderung und Blindleistung in elektrischen Netzen.

Kap.​ 13 beschreibt das Thema Erdungen in Schaltanlagen mit vielen praktischen Beispielen und Bildern.

Kap.​ 14 erklärt die Grundlagen für die Planung und die Berechnung des äußeren- und inneren Blitzschutzes.

Kap.​ 15 gibt einen Überblick über die Netzkonzepte in Niederspannungsanlagen.

Kap.​ 16 erklärt den Schutz gegen elektrischen Schlag und die Schutzmaßnahmen mit den verschiedenen Erdungsarten im Niederspannungsnetz.

Kap.​ 17 behandelt den zentralen Erdungspunkt (ZEP).

Kap.​ 18 gibt einen Überblick über die Netzkonzepte in Mittelspannungsanlagen.

Kap.​ 19 erklärt den Aufbau von Hochspannungsanlagen.

Kap.​ 20 gibt einen Überblick über die Sammelschienensysteme.

Kap.​ 21 diskutiert Schalt- und Schutzgeräte in Hoch- und Niederspannungsanlagen.

Kap.​ 22 erklärt Selektivität zwischen den einzelnen Überstromschutzeinrichtungen und den Back-up-Schutz bei hohen Kurzschlusssströmen.

Kap.​ 23 gibt einen Überblick über die sicherungslosen Schaltanlagen, die Vor- und Nachteile von Leistungsschaltern und Sicherungen und vergleicht beide Überstromschutzeinrichtungen miteinander.

Kap.​ 24 vermittelt Grundlagen über die Selektivschutztechnik in Verteilungsnetzen.

Kap.​ 25 behandelt die Grundlagen und gebräuchlichsten Ausführungen von elekrischen Maschinen.

Kap.​ 26 beschreibt die regenerativen Energiesysteme.

Kap.​ 27 erklärt die Netzanschlussregeln.

Kap.​ 28 stellt eine sehr ausführliche Projektierung einer Industrieanlage vor.

In diesem Buch werden folgende Symbole verwendet (Abb. 1.1).

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Abb. 1.1

Symbole

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2018

Ismail KasikciPlanung von Elektroanlagenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-56427-1_2

2. Drehstromtechnik

Ismail Kasikci¹ 

(1)

Energie-Ingenieurwesen, Biberach University of Applied Sciences, Karlstrasse 11, 88400 Biberach, Deutschland

Elektrische Energie wird aus anderen Energieformen, wie Kohle, Gas, Uranium, Wind, Sonne, in Kraftwerken umgewandelt (Erzeuger) und über längere Strecken übertragen, verteilt und in andere Energieformen umgeformt (Verbraucher) (Abb. 2.1). Die Übertragung und Verteilung erfolgt mit dem symmetrischen Dreiphasensystem. Zu seiner Erzeugung ist eine Anordnung mit drei räumlich versetzten Spulen erforderlich. Man bezeichnet die Spulen auch als Stränge. In ihnen werden drei gleich große Wechselspannungen induziert, die um jeweils 360°/3 = 120° gegeneinander phasenverschoben sind [2].

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Abb. 2.1

Energiesysteme

2.1 Arten der Drehstromsysteme, Bezeichnungen

Die Sternschaltung (Y) ist gekennzeichnet durch den Sternpunkt der Knoten, an dem sowohl alle Spulenabgänge als auch der Neutralleiter miteinander verbunden sind. Bei der Dreieckschaltung wird jeweils ein Spulenausgang an den Anfang der benachbarten Spule angeschlossen. Diese Anschlussknoten werden dann wiederum an die drei Außenleiter L1, L2 und L3 geführt. Unter der Strangspannung versteht man die messbare Spannung zwischen zwei Punkten eines Stranges. Die Strangspannung beträgt ca. 230 V. Die einzelnen Strangspannungen werden durch die Strangbezeichnung und deren Index bezeichnet, z. B. für V-Strangspannung. Unter der verketteten Spannung (auch Außenleiterspannung) versteht man die messbare Spannung zwischen zwei Strängen. Zur Übertragung der Wechselspannungen und -ströme vom Generator zum Verbraucher können die stromführenden Leiter der Wicklungsstränge unterschiedlich zusammengeschaltet werden [1, 3, 4].

2.2 Schaltungen der Drehstromsysteme

Die verschiedenen Schaltungsarten für Quelle und Verbraucher werden in diesem Abschnitt beschrieben. Dreiphasenwechselströme bestehen aus drei Wechselspannungsquellen, die jeweils um 120° phasenverschoben sind. Mit drei Spannungsquellen benötigt man sechs Leitungen. In der Energietechnik werden aber nur drei oder vier Leitungen gebraucht. Dazu gibt es zwei Schaltungsvarianten für die Quellen und die Verbraucher. Die drei Strangspannungen sind in Abb. 2.2 dargestellt.

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Abb. 2.2

Dreiphasensysteme

Die einzelnen Strangspannungen kann man wie folgt beschreiben (Abb. 2.3):

$$u_1(t) = \hat u\cdot sin\omega t $$

(2.1)

$$u_2(t) = \hat u\cdot sin(\omega t-120^{\,\circ}) $$

(2.2)

$$u_3(t)=\hat u\cdot sin(\omega t-240^{\,\circ}) $$

(2.3)

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Abb. 2.3

Strangspannungen

Eine andere Möglichkeit, die Leiterspannungen zu beschreiben, ist:

$$\underline U_1 = U_{1} \angle 0^{\,\circ} $$

(2.4)

$$\underline U_2 = U_{1} \cdot e^{-j120^{\,\circ}} $$

(2.5)

$$\underline U_3 = U_{1}\cdot e^{-j240^{\,\circ}} $$

(2.6)

Die drei Grundformen der Phasendarstellung sind:

$$u(t) = \underbrace{U e^{\varphi}}_\textrm{Exponentialform} = \underbrace{U\angle \varphi}_\textrm{Polarform} = \underbrace{U cos\varphi +j U sin\varphi}_\textrm{Komponentenform} $$

(2.7)

Jede Größe (Spannung oder Strom) kann leicht von einer Form in eine andere umgewandelt werden (Abb. 2.4).

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Abb. 2.4

Umwandlung der Größen

2.3 Schaltungen des Generators

Abb. 2.5 zeigt eine Sternschaltung mit drei Strangspannungen, die zu einem Sternpunkt (N) zusammengeschaltet sind. Damit können einphasige Verbraucher an das System angeschlossen werden. Im Sternpunktleiter fließt der Sternpunktleiterstrom $I_\textrm{N}$ zur Quelle zurück. Der Sternpunktleiter entfällt bei Mittelspannungs- und Hochspannungsnetzen [5, 6].

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Abb. 2.5

Sternschaltung mit Neutralleiter

Die drei Außenleiter L1, L2 und L3 werden zum Verbraucher geführt. Bei der Dreieckschaltung (Abb. 2.6) sind Anfang und Ende der Leiter miteinander verbunden.

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Abb. 2.6

Dreieckschaltung

Bei der Sternschaltung werden die Spannungen unterteilt in:

a) Sternpunktspannungen:

$\underline U_1, \underline U_2, \underline U_3$

. Diese Spannungen sind um 120 $^{\,\circ}$ phasenverschoben:

$$\underline U_1 = U_{Str} \angle 0^{\,\circ}=U_{Str} $$

(2.8)

$$\underline U_2 = U_{Str} \angle -120^{\,\circ} = U_{Str}\cdot\left(-0,5-j\frac{\sqrt 3}{2}\right) $$

(2.9)

$$\underline U_3 = U_{Str} \angle -240^{\,\circ} = U_{Str}\cdot\left(-0,5+j\frac{\sqrt 3}{2}\right) $$

(2.10)

$$\underline U_1+ \underline U_{2}+\underline U_3=0 $$

(2.11)

b) Leiter-Leiter-Spannungen (Leiterspannungen) oder verkettete Spannungen:

$\underline U_{12}, \underline U_{23}, \underline U_{31}$

Die Außenleiterspannungen sind:

$$\underline U_{12}+\underline U_{23}+\underline U_{31}=0 $$

(2.12)

$$\underline U_{12} = \underline U_{1}-\underline U_{2}=U_{Str} [e^{\,j0^{\,\circ}}-e^{\,j120^{\,\circ}}]=\sqrt 3\cdot U_{Str} \angle -30^{\,\circ} $$

(2.13)

$$\underline U_{23} = \underline U_{2}-\underline U_{3}=U_{Str} [e^{\,j120^{\,\circ}}-e^{\,j240^{\,\circ}}]=\sqrt 3\cdot U_{Str} \angle -90^{\,\circ} $$

(2.14)

$$\underline U_{31} = \underline U_{3}-\underline U_{1}=U_{Str} [e^{\,j240^{\,\circ}}-e^{\,j0^{\,\circ}}]=\sqrt 3\cdot U_{Str} \angle -210^{\,\circ} $$

(2.15)

Die Beziehung zwischen Strang- und Leiterspannungen ist:

$$ U_L = U_{Str}\cdot \sqrt 3 $$

2.4 Schaltungen des Verbrauchers

Die ausgeführten Leiter von der Quelle (Transformator oder Generator) werden zum Verbraucher geführt (Abb. 2.7). Die Verbraucher können in Stern- oder Dreieckschaltung mit drei Spannungen zusammengeschaltet werden.

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Abb. 2.7

Sternschaltung mit Neutralleiter

Die Außenleiter und der Sternpunk der Quelle und des Verbrauchers werden zusammengeschaltet. Es gilt:

$$\begin{aligned}\underline U_1 &= U_{Str} \angle 0^{\,\circ} \end{aligned}$$

(2.16)

$$\begin{aligned}\underline U_2 &= U_{Str} \cdot e^{-j120^{\,\circ}} \end{aligned}$$

(2.17)

$$\begin{aligned}\underline U_3 &= U_{Str}\cdot e^{-j240^{\,\circ}} \end{aligned}$$

(2.18)

Für die Außenleiterströme erhält man:

$$\underline I_1=\frac{\underline U_{1}}{\underline Z} $$

(2.19)

$$\underline I_2 = \frac{\underline U_{2}}{\underline Z}=\underline I_1\cdot e^{-j120^{\,\circ}} $$

(2.20)

$$\underline I_3 = \frac{\underline U_{3}}{\underline Z}= \underline I_1\cdot e^{-j240^{\,\circ}} $$

(2.21)

Der Strom im Neutralleiter bei einem symmetrischen System ist:

$$\underline I_\textrm{N} = \underline I_{1}+ \underline I_{2}+\underline I_{3}= \underline I_{1}\cdot [1+ e^{-j120^{\,\circ}} + e^{-j240^{\,\circ}}]=0 $$

(2.22)

mit

$$ I_\textrm{L} = I_\textrm{Str}. $$

Symmetrische Dreieckschaltungen (Abb. 2.8):

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Abb. 2.8

Dreieckschaltung

Die Außenleiter der Quelle und des Verbrauchers werden zusammengeschaltet. Für die Ströme im Dreieck kann man schreiben: Bei einer symmetrischen Schaltung sind (

$ \underline Z= \underline Z_{12}= \underline Z_{23}=\underline Z_{31}$

) die Strangströme dem Betrage nach gleich groß und um 120 $^{\,\circ}$ gegeneinder phasenverschoben. Die Außenleiterspannungen ergeben sich zu:

$$\begin{aligned}\underline U_{12} &= U_{1} \angle 0^{\,\circ} \end{aligned}$$

(2.23)

$$\begin{aligned}\underline U_{23} &= U_{1} \cdot e^{-j120^{\,\circ}} \end{aligned}$$

(2.24)

$$\begin{aligned}\underline U_{31} &= U_{1}\cdot e^{-j240^{\,\circ}} \end{aligned}$$

(2.25)

Die Strangströme:

$$\underline I_{12} = \frac{\underline U_{12}}{\underline Z} $$

(2.26)

$$\underline I_{23} = \frac{\underline U_{23}}{\underline Z}=\underline I_{12}\cdot e^{-j120^{\,\circ}} $$

(2.27)

$$\underline I_{31} = \frac{\underline U_{31}}{\underline Z}= \underline I_{12}\cdot e^{-j240^{\,\circ}} $$

(2.28)

Die Außenleiterströme lassen sich durch Anwendung der Knotenregel angeben:

$$\underline I_{1} = \underline I_{12}-\underline I_{31}=\underline I_{12}\cdot \sqrt 3 \angle -30^{\,\circ} $$

(2.29)

$$\underline I_{2} = \underline I_{23}-\underline I_{12}=\underline I_{12}\cdot \sqrt 3 \angle -150^{\,\circ} $$

(2.30)

$$\underline I_{3} = \underline I_{31}-\underline I_{23}=\underline I_{12}\cdot \sqrt 3 \angle -270^{\,\circ} $$

(2.31)

2.5 Unsymmetrische Drehstromsysteme

Es gibt zwei Möglichkeiten, um unsymmetrische Drehstromsysteme zu beschreiben:

1.

Erzeugerspannungen sind in Magnitude und Winkel verschieden.

2.

Lastimpedanzen sind nicht gleich.

Wir werden die Lastimpedanzen betrachten.

Unsymmetrische Sternschaltung (Abb. 2.9).

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Abb. 2.9

Unsymmetrische Sternschaltung mit Neutralleiter

Außenleiterströme:

$$\underline I_\textrm{1} = \frac{\underline U_\textrm{1}}{\underline Z_\textrm{L1N}} $$

(2.32)

$$\underline I_\textrm{2}=\frac{\underline U_\textrm{2}}{\underline Z_\textrm{L2N}} $$

(2.33)

$$\underline I_\textrm{3} = \frac{\underline U_\textrm{3}}{\underline Z_\textrm{L3N}} $$

(2.34)

$$\underline I_\textrm{N} = \underline I_\textrm{1}+ \underline I_\textrm{2}+\underline I_\textrm{3} $$

(2.35)

Unsymmetrische Dreieckschaltung ist in Abb. 2.10 dargestellt.

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Abb. 2.10

Unsymmetrische Dreieckschaltung

Strangströme:

$$\underline I_\textrm{12} = \frac{\underline U_\textrm{12}}{\underline Z_\textrm{12}}$$

(2.36)

$$\underline I_\textrm{23} = \frac{\underline U_\textrm{23}}{\underline Z_\textrm{23}} $$

(2.37)

$$\underline I_\textrm{31} = \frac{\underline U_\textrm{31}}{\underline Z_\textrm{31}} $$

(2.38)

Komplexe Außenleiterströme:

$$\underline I_\textrm{1} = \underline I_\textrm{12}-\underline I_\textrm{31} $$

(2.39)

$$\underline I_\textrm{2} = \underline I_\textrm{23}-\underline I_\textrm{12} $$

(2.40)

$$\underline I_\textrm{3} = \underline I_\textrm{31}-\underline I_\textrm{23} $$

(2.41)

$$\underline I_\textrm{1}+\underline I_\textrm{2}+\underline I_\textrm{3}=0 $$

(2.42)

2.6 Verkettungsfaktor

Der Zusammenhang zwischen Dreieckschaltung und Sternschaltung wird mithilfe von Abb. 2.11 beschrieben.

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Abb. 2.11

Zusammenhang zwischen Dreieckschaltung und Sternschaltung

Erster Ansatz (Abb. 2.11a):

$$U_\textrm{23} = U = U_\textrm{Dreieck} $$

(2.43)

$$\frac{\frac{1}{2}\cdot U_\textrm{Dreieck}}{U_\textrm{Stern}} = sin 60^{\,\circ} =\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{U_\textrm{Dreieck}}{U_\textrm{Stern}} = \sqrt 3 $$

(2.44)

Zweiter Ansatz (Abb. 2.11b):

$$\underline U_\textrm{12} = \underline U_\textrm{1} - \underline U_\textrm{2}= U\cdot e^{\,j0^{\,\circ}}- U\cdot e^{-j120^{\,\circ}} = U\cdot [1- (cos120^{\,\circ}-jsin120^{\,\circ})] $$

(2.45)

$$\underline U_\textrm{12} = U\cdot \left[1-\left(-\frac{1}{2} - j \frac{1}{2}\sqrt 3\right)\right] = U\cdot \left[\frac{3}{2} + j \frac{1}{2}\sqrt 3\right] $$

(2.46)

$$\underline U_\textrm{12} = U\cdot \sqrt 3 \cdot \left[\frac{1}{2}\cdot \sqrt 3 + j \frac{1}{2}\right] = U\cdot \sqrt 3 \cdot (cos30^{\,\circ}+jsin30^{\,\circ}) = U\cdot \sqrt 3 \cdot e^{\,j30^{\,\circ}} $$

(2.47)

Die Außenleiterströme sind wie die Spannungen das $\sqrt 3$ -Fache der Strangströme.

$$\underline I = \sqrt 3\cdot I_{Str} $$

(2.48)

2.7 Zählpfeilsystem

Zur Beschreibung von Netzwerken in der Elektrotechnik werden Größen durch Zählpfeilsysteme, sogenannte Verbraucherzählsysteme (VZS) und Erzeugerzählsysteme (EZS), gekennzeichnet. Die Festlegung der Richtung ist willkürlich. Im Verbraucherzählsystem (VZS) werden die Spannungs- und Stromzählpfeile so gewählt, dass die an einem Verbraucher berechneten Wirk- und Blindleistungen positiv (Leistung wird aufgenommen – Spannungsfall) und an einem Erzeuger berechnete Wirk- und Blindleistungen negativ sind (Leistung wird abgegeben – Spannungserzeugung) (Abb. 2.12) [2, 3].

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Abb. 2.12

Zählpfeilsysteme von Zweipolen

Literatur

1.

Hermann, Merz: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen und Berechnungsbeispiele für Einsteiger, VDE Verlag, 2001, ISBN 3-8007-2372-7

2.

Moeller, Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik, Teubner Verlag Stuttgart, 19. Auflage, ISBN: 3-519-56400-9

3.

Gerd Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik, AULA Verlag, 15. Auflage, 2011, ISBN 978-3-89104-598-5

4.

Gerd Hagmann: Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik, AULA Verlag, 15. Auflage, 2011, ISBN 978-3-89104-598-5

5.

Busch, R.: Elektrotechnik und Elektronik. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 2. Auflage, 1996

6.

Albach: Grundlagen der Elektrotechnik 1 - Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, Pearson Studium, ISBN: 3-8273-7106-6

Weiterführende Literatur

7.

Linse, H.: Elektrotechnik für Maschinenbauer. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 129. Auflage, 2005Crossref

8.

Linse, Fischer: Elektrotechnik für Maschinenbauer - Grundlagen und Anwendungen, Teubner Verlag Stuttgart, ISBN: 3-519-36325-9

9.

Flegel, Birnstiel, Nerreter: Elektrotechnik für Maschinenbauer, Carl Hanser Verlag München Wien, ISBN: 3-446-15622-4

10.

Seidel, Wagner: Allgemeine Elektrotechnik - Gleichstrom - Felder - Wechselstrom Carl Hanser Verlag München Wien, ISBN: 3-446-22090-9

11.

Lindner.: Elektroaufgaben, Band I: Gleichstrom, Fachbuchverlag Leipzig, 26. Auflage, 1992

12.

Lindner.: Elektroaufgaben, Band II: Wechselstrom, Fachbuchverlag Leipzig, 22. Auflage, 1994

13.

Böttle, P.; Boy, H.G.: Aufgaben und Lösungen zur Elektrotechnik, Vogel-Verlag, 9.A

14.

Klaus Tkotz, Kronach: Fachkunde Elektrotechnik, Verlag Europa-Lehrmittel. 28. Auflage, 2012

15.

Heinz O. Häberle, Gregor Häberle, Dieter Isele, Hans Walter Jöckel, Rudolf Krall, Bernd Schiemann, Dietmar Schmid, Siegfried Schmitt, Klaus Tkotz: Tabellenbuch Elektrotechnik, Verlag Europa-Lehrmittel, 27. Auflage 2016

16.

DKE: Die deutsche Normungsroadmap, E-Energy/Smart Grid

17.

VDN: Technische Richtlinie Transformatorenstationen am Mittelspannungsnetz, Bau und Betrieb von Übergabestationen zur Versorgung von Kunden aus dem Mittelspannungsnetz, VDN, Juni 2003

18.

EnWG: Gesetz über die Elektrizitäts- und Gasversorgung (Energiewirtschaftsgesetz - EnWG)

19.

Fehmel, G.; Flachmann, H.; Mai,O.: Elektrische Maschinen. 10. Aufl. Würzburg: Vogel, 1993

20.

Giersch, H-U.; Harthus, H.; Vogelsang, N.: Elektrotechnik für Fachschulen, Elektrische Maschinen, 3. Aufl. Stuttgart: B.G. Teubner, 1991

21.

Rolf Fischer: Elektrische Maschinen, 14. Aufl. Carl Hanser Verlag München Wien, ISBN 978-3-446-41754-0

22.

Andreas Binder: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen, Betriebsverhalten, 1. Aufl. Springer Heidelberg, Dordrecht London New York, ISBN 978-3-540-71849-9 ISBN 978-3-540-71850-5 (eBook), https://​doi.​org/​10.​1007/​978-3-540-71850-5.

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Ismail KasikciPlanung von Elektroanlagenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-56427-1_3

3. Einführung in die komplexe Rechnung

Ismail Kasikci¹ 

(1)

Energie-Ingenieurwesen, Biberach University of Applied Sciences, Karlstrasse 11, 88400 Biberach, Deutschland

3.1 Begriffe und Rechenregeln

Die Wechselstromgrößen werden mithilfe der komplexen Rechnung durchgeführt. Die Mathematik gibt uns mit der Euler’schen Gleichung die Möglichkeiten zur Darstellung der komplexen Zahlen in der trigonometrischen Komponentenform oder in der Exponentialform (Abb. 3.1) [1, 2, 3, 4].

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Abb. 3.1

Darstellung komplexer Zahlen

Die komplexe Zahl wird durch den Zeiger dargestellt.

In Normalform (Komponentenform oder algebraische Form) schreibt man:

$$\underline Z = a+jb, $$

(3.1)

wobei a = Realteil und b = Imaginärteil ist:

$$|Z| = \sqrt {a^2+b^2}, ~~~~ a = Z\cdot cos\alpha, ~~~~ b = Z\cdot sin\alpha $$

(3.2)

In trigonometrischer Form:

$$\underline Z = Z\cdot cos\alpha + j Z\cdot sin\alpha =Z\cdot(cos\alpha +j sin\alpha) $$

(3.3)

In Versorform:

$$\underline Z = Z\cdot \angle cos\alpha $$

(3.4)

In Exponentialform (Euler’sche Form):

$$\underline Z = Z\cdot e^{\,j\omega t} $$

(3.5)

Die Euler-Gleichung kann durch Potenzreihendarstellung der reellen Funktion ex beschrieben werden:

$$e^x = 1+ \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+\cdots $$

(3.6)

Potenzreihendarstellung der komplexen Funktion e jx

$$e^{\,jx} = 1+ j\frac{x}{1!}+ j^2\frac{x^2}{2!}+ j^3 \frac{x^3}{3!}+j^4 \frac{x^4}{4!}+\cdots $$

(3.7)

$$e^{\,jx} = \underbrace{1- \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}+\cdots}_{cos x} +j \underbrace{\frac{x}{1!}- \frac{x^3}{3!}+ \cdots}_{sinx} $$

(3.8)

$$e^{\,jx} = cos x + j sinx $$

(3.9)

3.2 Rechenregeln für komplexe Zahlen

Um die elektrischen Schaltungen berechnen zu können, brauchen wir Rechenregeln für komplexe Zahlen, die wir hier wiederholen werden. Für Addition und Subtraktion muss die Komponentenform vorliegen. Bei den übrigen Rechenarten benutzt man die Exponentialform.

Addition und Subraktion:

$$\underline z_1\pm \underline z_2 = (a_1+jb_1)\pm (a_2+jb_2)= (a_1\pm a_2)+ j(b_1\pm b_2) $$

(3.10)

Multiplikation:

$$\underline z_1\cdot \underline z_2 = z_1\cdot e^{\,j{\varphi_1}}\cdot z_2\cdot e^{\,j{\varphi_2}} = z_1\cdot z_2\cdot \ e^{\,j({\varphi_1+\varphi_2})} $$

(3.11)

Division:

$$\frac{\underline z_1}{\underline z_2} = \frac{z_\textrm{1} \cdot e^{\,j{\varphi_1}}}{z_\textrm{2} \cdot e^{\,j\varphi_2}} = \frac{z_\textrm{1}}{z_\textrm{2}} \cdot e^{(\,j\varphi_1-\varphi_2 )} $$

(3.12)

Spezielle Werte:

$$ j^{\,\circ} = 1 , ~~ j^1 = j ,~~ j^2 = -1 ,~~ j^3 = -j , ~~ j^4 = 1 $$

3.3 Komplexe Größen der Wechselstromtechnik

Die mathematischen Überlegungen der komplexen Rechnung kann man auf die Elektrotechnik übertragen (Abb. 3.2):

$$\underline Z = Z\cdot (cos\varphi +j sin\varphi )= Z\cdot e^{\,j\varphi,} $$

(3.13)

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Abb. 3.2

Darstellung elektrotechnischer Größen

wobei

$$ \underline Z = \frac{1}{\underline Y} $$

ist.

Spannung und Strom können auch als komplexe Spannungs- bzw. Stromzeiger angegeben werden:

$$\underline U = U\cdot e^{\,j\,\varphi _u}, \quad\underline I = I\cdot e^{\,j\varphi _i} $$

(3.14)

Das ohmsche Gesetz wird auf die Anwendung bei Wechselspannungen,- und -strömen erweitert. Während uns bisher der Quotient U/I (hier Gleichspannung U und Gleichstrom I) den ohmschen Widerstand R liefert, erhalten wir aus dem komplexen Quotienten U/I die komplexe Impedanz Z:

$$\underline Z=\frac{\underline U}{\underline I}=\frac{U}{I}\cdot e^{\,j(\varphi _u-\varphi _i)} $$

(3.15)

Die Impedanz lässt sich natürlich auch wieder in Real- und Imaginärteil zerlegen:

$$\underline Z = R+jX,~~~\underline Y = \frac{1}{Z} = G+jB, $$

(3.16)

wobei R Wirkwiderstand (Resistanz) und X Blindwiderstand (Reaktanz), G Wirkleitwert (Konduktanz) und B Blindleitwert (Suszeptanz)ist.

Vorteile der Zeigerdarstellung von Wechselspannungen und - strömen:

Mit diesen zeitlich unabhängigen komplexen Wechselgrößen wird gerechnet wie mit komplexen Zahlen:

1.

numerisch mit Real- und Imaginärteil oder Betrag und Phasenlage,

2.

grafisch mit Zeigerdiagrammen.

Als Phasenverschiebung bezeichnet man die Differenz der Nullphasenwinkel, wobei eine Größe als Bezugsgröße festgelegt wird. Der Phasenwinkel ist abhängig vom Schaltungsaufbau und der Frequenz.

Literatur

1.

Moeller, Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik Teubner Verlag Stuttgart, 19. Auflage, ISBN: 3-519-56400-9

2.

Hermann, Merz: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen und Berechnungsbeispiele für Einsteiger, VDE Verlag, 2001, ISBN 3-8007-2372-7

3.

Gerd Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik, AULA Verlag, 15. Auflage, 2011, ISBN 978-3-89104-598-5

4.

Gerd Hagmann: Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik, AULA Verlag, 15. Auflage, 2011, ISBN 978-3-89104-598-5

Weiterführende Literatur

5.

Busch, R.: Elektrotechnik und Elektronik. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 2. Auflage, 1996

6.

Linse, H.: Elektrotechnik für Maschinenbauer. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 129. Auflage, 2005Crossref

7.

Linse, Fischer: Elektrotechnik für Maschinenbauer - Grundlagen und Anwendungen, Teubner Verlag Stuttgart, ISBN: 3-519-36325-9

8.

Albach: Grundlagen der Elektrotechnik 1 - Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, Pearson Studium, ISBN: 3-8273-7106-6

9.

Flegel, Birnstiel, Nerreter: Elektrotechnik für Maschinenbauer Carl Hanser Verlag München Wien, ISBN: 3-446-15622-4

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2018

Ismail KasikciPlanung von Elektroanlagenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-56427-1_4

4. Leistungen im Drehstromsystem

Ismail Kasikci¹ 

(1)

Energie-Ingenieurwesen, Biberach University of Applied Sciences, Karlstrasse 11, 88400 Biberach, Deutschland

Die Spannungen und Ströme lassen sich im Wechselstromkreis wie folgt definieren [1, 2]:

$$u(t) = \hat{U}\cos (\omega t + \varphi _u)\Rightarrow \underline U =\frac{ \hat{U}}{\sqrt 2}\cdot (cos\varphi _u + jsin\varphi _u) = U\cdot e^{\,j\varphi _u} $$

(4.1)

$$i(t) = \hat{I}\cos (\omega t + \varphi _i)\Rightarrow \underline I =\frac{ \hat{I}}{\sqrt 2}\cdot (cos \varphi _i+jsin\varphi _i) = I\cdot e^{\,j\varphi _i } $$

(4.2)

Das Produkt der komplexen Größen liefert

$$\underline U \cdot \underline I = U\cdot e^{\,j\varphi _u} I \cdot e^{\,j\varphi _i} = U\cdot I\cdot e^{\,j(\varphi _u+\varphi _i)}. $$

(4.3)

Die Winkeladdition $e^{\,j(\varphi _u+\varphi _i )}$ wird durch den konjugiert komplexen Strom $\underline I^*$ in $e^{\,j(\varphi _u - \varphi _i )}$ ersetzt. Damit erhält man die komplexe Scheinleistung:

$$\underline S = U \cdot \underline I^* = U\cdot e^{\,j\varphi _u} I \cdot e^{-j\varphi _i} = U\cdot I\cdot e^{\,j(\varphi _u - \varphi _i )} = U\cdot I\cdot e^{\,j\varphi} = U\cdot I\cdot (cos\varphi +j sin\varphi ) $$

(4.4)

Aus der komplexen Scheinleistung

$\underline S = P + j Q$

kann man Wirkleistung und Blindleistung gewinnen.

Die Wirkleistung kann man durch die Spannung und den Strom bestimmen aus

$$u = U \cdot \sqrt 2\cdot sin \omega t \Longleftrightarrow i = I \cdot \sqrt 2\cdot sin \omega t. $$

(4.5)

Die Leistung ergibt sich zu

$$p = u\cdot i = 2\cdot U \cdot I \cdot sin^2 \omega t. $$

(4.6)

Mit sin²ωt = $\frac{1}{2}$ (1 − cos2ωt) erhalten wir

$$p = U\cdot I\cdot (1-cos 2\omega t). $$

(4.7)

Diese Leistung schwingt in eine Richtung um die Nulllinie. Der zeitliche Mittelwert ist die Wirkleistung P = U · I.

Für die Blindleistung nehmen wir an, dass der Strom gegenüber der Spannung um $90^{\,\circ}$ nacheilt. Dann gilt:

$$u = U \cdot \sqrt 2\cdot sin \omega t \Longleftrightarrow i = I \cdot \sqrt 2\cdot sin (\omega t - 90^{\,\circ}) $$

(4.8)

Die Leistung ergibt sich zu

$$p = u\cdot i = 2\cdot U \cdot I sin\omega t\cdot sin (\omega t - 90^{\,\circ}). $$

(4.9)

Mit

$ sin\omega t\cdot sin (\omega t - 90^{\,\circ}) = \frac{1}{2} cos (2\omega t - 90^{\,\circ}) = - \frac{1}{2} sin 2\omega t $

erhalten wir

$$p = u\cdot i = - U\cdot I\cdot sin 2\omega t. $$

(4.10)

Diese Leistung schwingt in beide Richtungen um die Nulllinie herum. Der zeitliche Mittelwert ist null. Diese Leistung wird Blindleistung genannt Q = U · I.

Die angegebenen Leistungen können für Stern- und Dreieckschaltungen verwendet werden.

Literatur

1.

Moeller, Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik Teubner Verlag Stuttgart, 19. Auflage, ISBN: 3-519-56400-9

2.

Marlene Marinescu, Jürgen Winter: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen und Berechnungsbeispiele für Einsteiger, VDE Verlag, 2001, ISBN 3-8007-2372-7

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2018

Ismail KasikciPlanung von Elektroanlagenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-56427-1_5

5. Beispiele zur Wechselstromtechnik

Ismail Kasikci¹ 

(1)

Energie-Ingenieurwesen, Biberach University of Applied Sciences, Karlstrasse 11, 88400 Biberach, Deutschland

5.1 Sinusspannung

Gegeben:

$$u(t) = 50\cdot cos(30t+10^{\,\circ})$$

Berechnen Sie:

a)

die Amlitude

$$ U = 50{\ \mathrm{V}}, $$

b)

die Periode

$$T =\frac{2\pi }{ \omega }= 209,4\ \mathrm{ms},$$

c)

die Frequenz

$$f = 1/T = 4,775{\ \mathrm{Hz}}.$$

5.2 Sinusstrom

Gegeben:

$$i(t) = 8\cdot cos(500\pi t - 25^{\,\circ})$$

Berechnen Sie:

a)

die Amlitude

$$I = 8\ \textrm{A},$$

b)

die Kreisfrequenz

$$\omega = 500\cdot \pi = 1570,8\, \textrm{rad/s},$$

c)

die Frequenz

$$f = 1/T = 250{\ \mathrm{Hz}}.$$

5.3 Komplexe Größe

a)

Vereinfachen Sie

$$ \frac{15\angle 45^{\,\circ}}{3-j4}+j2 = \frac{15\angle 45^{\,\circ}}{5\angle -53,13^{\,\circ}}+j2 = 3\angle 98,13^{\,\circ}+j2 = -42+j4,97. $$

b)

Gegeben: $\underline U = 5\ \mathrm{V}$ , R = 1 Ω , X = 2 Ω , gesucht: $\underline Z, \underline I, \varphi _i$ .

$\underline Z = (1+j2)\ \Omega $$$\underline I = \frac{\underline U}{\underline Z} = \frac{5\cdot (1-j2)} {(1+j2)\cdot (1-j2)} = \frac{5\cdot (1-j2)} {1^2-(2j)^2} = \frac{5\cdot (1-j2)} {5} = (1-2j)\ \textrm{A}$$$$Z = \sqrt {(1\ \Omega )^2+(2\ \Omega )^2} = 2,24\ \Omega $$$$\varphi _i = arctan\frac{Im}{Re} = -63,4^{\,\circ}$$

5.4 Belastung der DS-Netze

Daten eines WS-Verbrauchers:

$P_1 = 2,5\ \mathrm{kW} $

und cosφ = 0, 85. Berechnen Sie den Betriebsstrom und geben Sie den Strom in komplexer Schreibweise:

$$ I= \frac{P}{U_0\cdot cos\varphi } = \frac{2500\ \mathrm{W}}{230\ \mathrm{V}\cdot 0,85} = 12,78 ~\textrm{A}$$$$\underline I = 12,78\ \mathrm{A}\cdot e^{-44,85^{\,\circ}}$$

Damit beträgt die Impedanz des Verbrauchers:

$$ \underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = \frac{230 \ \mathrm{V}}{12,78\ \mathrm{A}\cdot e^{-44,85^{\,\circ}}} = 18\ \Omega e^{44,85^{\,\circ}}= (13,71 +j 11,65)\ \Omega $$

Daraus erhält man den Wirkwiderstand R = 13, 71 Ω und den Blindwiderstand X = 11, 65 Ω.

5.5 Symmetrisches System

Gegeben: 400 V,

$\underline Z = (6-j8)\,\Omega $

. Berechnen Sie die Ströme:

$$I_1 = \frac{400\ \mathrm{V}\angle 0^{\,\circ}}{6-j8} = 44\angle 53,13^{\,\circ} ~\textrm{A}$$$$I_2 = \frac{400\ \mathrm{V}\angle -120^{\,\circ}}{6-j8} = 44\angle -66,87^{\,\circ} ~\textrm{A}$$$$I_3 = \frac{400\ \mathrm{V}\angle 120^{\,\circ}}{6-j8} = 44\angle 173,13^{\,\circ} ~\textrm{A}$$

5.6 Komplexe Zahl in Polar- und Exponentialform

Gegeben:

$ \underline Z = (6+j8)\ \Omega $$$ Z = \sqrt {(6^2+8^2)\ \Omega }= 10\ \Omega $$$$\varphi =arctan \frac{X}{R}= 53,13^{\,\circ}$$

In Polarform

$10\angle 53,13^{\,\circ}$

und in Exponentialform

$10\cdot e^{\,j53,13^{\,\circ}}$

.

5.7 Komplexe Zahl in Polar- und Exponentialform

Gegeben:

$u(t)= 325\ \mathrm{V}\cdot cos (\omega t+ 60^{\,\circ}) $

,

$U_{eff} = 230\ \mathrm{V}$

, Winkel $\varphi = 60^{\,\circ}$ ,

Polarform oder Exponentialform:

$\underline U = 230{\ \mathrm{V}}\angle 60^{\,\circ} = 230\ \textrm{V}\cdot e^{\,j60^{\,\circ}}$

,

Komponentenform:

$\underline U = (135,19 + j186)\ \textrm{V}$

.

5.8 Stern-Dreieck-Schaltung

Berechnen Sie bei der Schaltung die Strangströme (Abb. 5.1):

$$I_{AB} =\frac{U_{AB}}{Z_{AB}} = \frac{400\ \mathrm{V}\angle 30^{\,\circ}}{50\ \Omega }= 8\ \mathrm{A}\angle 30^{\,\circ}$$../images/63834_3_De_5_Chapter/63834_3_De_5_Fig1_HTML.png

Abb. 5.1

Stern-Dreieck-Schaltung

$$I_{BC} =\frac{U_{BC}}{Z_{BC}} = \frac{400\ \mathrm{V}\angle -90^{\,\circ}}{50 \angle -90^{\,\circ}\Omega }= 8\ \mathrm{A}\angle 0^{\,\circ}$$$$I_{CA} =\frac{U_{CA}}{Z_{CA}} = \frac{400\ \mathrm{V}\angle 150^{\,\circ}}{50 \angle 90^{\,\circ}\Omega }= 8\ \mathrm{A} \angle 60^{\,\circ}$$

5.9 Stern-Stern-Schaltung

Berechnen Sie bei der Schaltung die Leiterströme und den Neutralleiterstrom (Abb. 5.2).

$$I_{a} =\frac{U_{AN}}{Z_{A}} = \frac{230\ \mathrm{V}\angle 0^{\,\circ}}{15}= 15,33~\textrm{A}\angle 0^{\,\circ}$$$$I_{b} =\frac{U_{BN}}{Z_{B}} = \frac{230\ \mathrm{V}\angle 0^{\,\circ}}{10+j5}= \frac{230\ \mathrm{V}\angle 120^{\,\circ}}{11,18\angle 26,56^{\,\circ}}= 20,57 ~\textrm{A} \angle 93,44^{\,\circ}$$$$I_{c} =\frac{U_{CN}}{Z_{C}} = \frac{230\ \mathrm{V}\angle 0^{\,\circ}}{6-j8}= \frac{230\ \mathrm{V}\angle -120^{\,\circ}}{10\angle -53,13^{\,\circ}}= 23 ~\textrm{A}\angle 66,87^{\,\circ}$$../images/63834_3_De_5_Chapter/63834_3_De_5_Fig2_HTML.png

Abb. 5.2

Stern-Stern-Schaltung

Der Strom im Neutralleiter ist:

$$I_N = -(I_a+I_b+I_c) = -(15,33-2,11+j20,46+11,43-j19,95)\ \textrm{A} $$$$= (-24,65+j0,51)\ \mathrm{A} = 24,65\ \mathrm{A}\angle 98,68^{\,\circ}$$

5.10 Verbraucher

Gegeben sind Last 1: P = 30 kW, cosφ = 0,6 und Last 2: Q = 45 kvar, cosφ = 0,8 (Abb. 5.3). Berechnen Sie alle Ströme:

$$S_\textrm{1} =\frac{P_\textrm{1}}{cos\varphi _\textrm{1}} = \frac{30\ \mathrm{kW}}{0,8} = 50\ \mathrm{kVA}$$../images/63834_3_De_5_Chapter/63834_3_De_5_Fig3_HTML.png

Abb. 5.3

Verbraucherströme

$$Q_\textrm{1} =S_\textrm{1}{cos\varphi _\textrm{1}} = 50\ \mathrm{kVA}\cdot 0,8 = 40\ \mathrm{kvar}$$

Damit ist die Komplexleistung:

$$S_\textrm{1} =P_\textrm{1}+ j Q_\textrm{1} = (30 + j40)\, \textrm{kVA}$$$$S_\textrm{2} =\frac{Q_\textrm{2}}{sin\varphi _\textrm{2}} = \frac{45\ \mathrm{kvar}}{0,6} = 75\ \mathrm{kVA}$$$$P_\textrm{2} =S_\textrm{2}{cos\varphi _\textrm{2}} = 75\ \mathrm{kvar}\cdot 0,8 = 460\ \mathrm{kVA}$$

Damit ist die Komplexleistung:

$$S_\textrm{2} = P_\textrm{2}+ j Q_\textrm{2} = (60 + j{45})\, \textrm{kVA}$$

Gesamtleistung:

$$S = S_\textrm{1} + S_\textrm{2} = (90 + j85)\ \textrm{kVA} = 123,8\angle 43,36^{\,\circ}\ \textrm{kVA}$$

Der Strom für die Last 1 beträgt:

$$ I_\textrm{L1} = \frac{P_\textrm{1}}{\sqrt 3\cdot U} = \frac{50\ \textrm{kVA}}{\sqrt 3\cdot 400\ \mathrm{V}} = 72,16\ \mathrm{A}$$

Der Strom für die Last 2 beträgt:

$$ I_\textrm{L2} = \frac{P_\textrm{2}}{\sqrt 3\cdot U} = \frac{85\ \textrm{kVA}}{\sqrt 3\cdot 400\ \mathrm{V}} = 122,68\ \mathrm{A}$$

Der Gesamtstrom ergibt sich zu:

$$ I_\textrm{G} = \frac{S}{\sqrt 3\cdot U} = 178,69\ \mathrm{A}$$

Weiterführende Literatur

1.

Moeller, Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik Teubner Verlag Stuttgart, 19. Auflage, ISBN: 3-519-56400-9

2.

Marlene Marinescu, Jürgen Winter: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen und Berechnungsbeispiele für Einsteiger, VDE Verlag, 2001, ISBN 3-8007-2372-7

3.

Hermann, Merz: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen und Berechnungsbeispiele für Einsteiger, VDE Verlag, 2001, ISBN 3-8007-2372-7

4.

Marlene Marinescu, Jürgen Winter: Elektrische Maschinen und Antriebe, Grundlagen und Berechnungsbeispiele für Einsteiger, VDE Verlag, 2001, ISBN 3-8007-2372-7

5.

Busch, R.: Elektrotechnik und Elektronik, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 2. Auflage, 1996

6.

Linse, H.: Elektrotechnik für Maschinenbauer, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 129. Auflage, 2005Crossref

7.

Linse, Fischer: Elektrotechnik für Maschinenbauer - Grundlagen und Anwendungen, Teubner Verlag Stuttgart, ISBN: 3-519-36325-9

8.

Albach: Grundlagen der Elektrotechnik 1 - Erfahrungssätze, Bauelemente, Gleichstromschaltungen, Pearson Studium, ISBN: 3-8273-7106-6

9.

Flegel, Birnstiel, Nerreter: Elektrotechnik für Maschinenbauer, Carl Hanser Verlag München Wien, ISBN: 3-446-15622-4

10.

Seidel, Wagner: Allgemeine Elektrotechnik - Gleichstrom - Felder-Wechselstrom, Carl Hanser Verlag München Wien, ISBN: 3-446-22090-9

11.

Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure, Springer Verlag Berlin, ISBN: 3-540-21036-9

12.

Lindner.: Elektroaufgaben, Band I: Gleichstrom, Fachbuchverlag Leipzig, 26. Auflage, 1992

13.

Lindner.: Elektroaufgaben, Band II: Wechselstrom, Fachbuchverlag Leipzig, 22. Auflage, 1994

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2018

Ismail KasikciPlanung von Elektroanlagenhttps://doi.org/10.1007/978-3-662-56427-1_6

6. Symmetrische Komponenten

Ismail Kasikci¹ 

(1)

Energie-Ingenieurwesen, Biberach University of Applied Sciences, Karlstrasse 11, 88400 Biberach, Deutschland

Die Methode der symmetrischen Komponenten wird bei der Berechnung der unsymmetrischen Fehler verwendet. In diesem Abschnitt werden die Grundlagen dieses Verfahrens beschrieben. Ein charakteristischer Drehoperator ist eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1. Die Multiplikation mit einem Drehoperator bedeutet deshalb die Drehung eines beliebigen Zeigers, ohne seinen Betrag zu verändern. Aus der komplexen Zahlenebene ist der Drehoperator $j=\sqrt -1$ bekannt, der eine Drehung um $90^{\,\circ}$ bewirkt. Dementsprechend bedeutet j² = − 1. Eine Drehung um $90^{\,\circ}$ und j³ bringt den Zeiger wieder in die Ausgangsstellung. Im Drehstromsystem sind die Winkel $\varphi=120^{\,\circ}$ und $240^{\,\circ}$ von besonderer Bedeutung. Abb. 6.1 zeigt ein symmetrisches System mit Phasenspannungen, verketteten Spannungen und Einheitszeigern [1, 2, 3, 4].

../images/63834_3_De_6_Chapter/63834_3_De_6_Fig1_HTML.png

Abb. 6.1

Phasenspannungen, verkettete Spannungen und Einheitszeigerns

Abb. 6.2 zeigt ein symmetrisches System, das aus drei um ${120^\circ}$ gegeneinander verschobenen Einheitszeigern besteht.

../images/63834_3_De_6_Chapter/63834_3_De_6_Fig2_HTML.png

Abb. 6.2

Zeigerbilder des Mit-, Gegen- und Nullsystems

Der Drehoperator für $\varphi=120^{\,\circ}$ wird mit $\underline a$ bezeichnet und entsprechend für $240^\circ$ mit $\underline a^2$ , sodass gilt:

$$\underline a = e^{\,j120} = e^{\,j\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2} (1-j\sqrt3)$$

(6.1)

$$\underline {a}^2 = e^{\,j240} = e^{\,j\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1} {2}(1+j\sqrt3)$$

(6.2)

$$\underline {a}^3 = 1$$

(6.3)

Wie man aus den obigen Gleichungen ableiten kann, ist deren Summe gleich null:

$$1+\underline a+\underline {a}^2=0$$

(6.4)

Mit den Drehoperatoren $\underline a$ und $\underline {a}^2$ kann das symmetrische Dreiphasensystem in die komplexe Zahlenebene eingeordnet werden (Abb. 6.1):

$$\underline {U}_\textrm{R} = {U}_\textrm{R},$$

(6.5)

$$\underline {U}_\textrm{S} = \underline {a}^2\cdot {U}_\textrm{R},$$

(6.6)

$$\underline {U}_\textrm{T} = \underline {a}\cdot {U}_\textrm{R}.$$

(6.7)

Für die Außenleiterspannungen gilt:

$$\underline {U}_{\textrm{RS}}=\underline {U}_\textrm{R}-\underline {U}_\textrm{S}= \sqrt3\cdot U_\textrm{R}\cdot e^{\,j30}$$

(6.8)

$$\underline {U}_{\textrm{ST}}=\underline {U}_\textrm{S}-\underline {U}_\textrm{T}= \sqrt3\cdot U_\textrm{R}\cdot e^{\,j270 }$$

(6.9)

$$\underline {U}_{\textrm{TR}}=\underline {U}_\textrm{T}-\underline {U}_\textrm{R}= \sqrt3\cdot U_\textrm{R}\cdot e^{\,j150}$$

(6.10)

6.1 Mit-, Gegen- und Nullsystem

Symmetrische Fehler werden mit der Ersatzschaltung im Mitsystem berechnet. Das Netz wird auf einen einzigen Leiter reduziert und einpolig gezeichnet. Der dreipolige Kurzschluss belastet das Netz symmetrisch. Für die anderen Kurzschlussarten kann man nicht mehr das Mitsystem anwenden, da das Netz unsymmetrisch belastet wird. Dafür ist das Verfahren der symmetrischen Komponenten gut geeignet. Für jeden Leiter des Drehstromsystems werden die entsprechenden Gleichungen (Leiterstströme oder – spannungen) aufgestellt. Der unsymmetrische Betrieb kann durch Netzbelastungen, Erdschluss, Leitungsunterbrechung oder Schaltmechanismen verursacht werden.

Die Spannungen und Ströme an der Kurzschlussstelle werden durch geometrische Addition der symmetrischen Komponentenströme und -spannungen bestimmt. Bei diesem Verfahren wird das Drehstromnetz in drei voneinander unabhängige einpolige Systeme, nämlich das Mit-, Gegen- und Nullsystem, zerlegt.

Die Impedanzen dieser drei Systeme kann man dann für einzelne Betriebssysteme an einer Fehlerstelle angeben. Je nach Fehlerort treten in den Leitern ungleiche Ströme auf. Das einpolige Ersatzschaltbild kann man dann nicht mehr verwenden. Daher ist die Transformation des Originals R,S,T in einen symmetrischen Bildraum mit den Koordinaten 1,2,0 nötig (Verfahren der symmetrischen Komponenten). Die Anwendung der symmetrischen Komponenten zeigt Abb. 6.3. Der Berechnungsvorgang wird nun ausführlich besprochen [1].

../images/63834_3_De_6_Chapter/63834_3_De_6_Fig3_HTML.png

Abb. 6.3

Prinzipschaltplan eines Drehstromnetzes und Zusammensetzung der Komponenten des Mit-, Gegen- und Nullsystems

Berechnungsschritte:

1.

Drehstromnetz mit unsymmetrischem Fehler im RST-Raum zeichnen.

2.

Fehlerbedingungen aufstellen.

3.

Einphasiges Ersatzschaltbild im 120-Raum zeichnen.

4.

Ströme und Spannungen im Bildraum berechnen.

5.

Unsymmetrische Fehlerströme im Originalraum berechnen.

$$\begin{aligned} \underline {I}_\textrm{R}=&\,\underline I_{\textrm{1R}}+\underline I_{\textrm{2R}}+\underline I_{\textrm{0R}},\\ \underline {I}_\textrm{S}=&\,\underline I_{\textrm{1S}}+\underline I_{\textrm{2S}}+\underline I_{\textrm{0S}},\\ \underline {I}_\textrm{T}=&\,\underline I_{1T}+\underline I_{2T}+\underline I_{0T},\\ \underline {I}_{\textrm{0R}}=&\,\underline I_{\textrm{0S}}=\underline I_{\textrm{0T}}=\underline I_\textrm{0}. \end{aligned}$$

(6.11)

Berechnungen im 120-Raum:

$$\begin{aligned} \underline {I}_{\textrm{1S}}=&\,\underline I_{\textrm{1R}}\cdot \underline a^2,\\ \underline {I}_{\textrm{1T}}=&\,\underline I_{\textrm{1R}}\cdot \underline a,\\ \underline {I}_{\textrm{2S}}=&\,\underline I_{\textrm{2R}}\cdot \underline a,\\ \underline {I}_{\textrm{2T}}=&\,\underline I_{\textrm{2T}}\cdot \underline a^2,\\ \underline {I}_{\textrm{0R}}=&\,\underline I_{\textrm{0S}}=\underline I_{\textrm{0T}}. \end{aligned}$$

(6.12)

Fehlerströme im Originalraum:

$$\begin{aligned} \underline {I}_{\textrm{R}}=&\,\underline I_\textrm{1R}+\underline I_\textrm{2R}+\underline I_\textrm{0R},\\ \underline {I}_{\textrm{S}}=&\,\underline I_\textrm{1R}\cdot \underline a^2+\underline I_\textrm{2R}\cdot \underline a+\underline I_\textrm{0R},\\ \underline {I}_{\textrm{T}}=&\,\underline I_\textrm{1T}\cdot \underline a+\underline I_\textrm{2R}\cdot \underline a^2+\underline I_\textrm{0R}.\\ \end{aligned}$$

(6.13)

In Matrizenschreibweise erhält man:

$$\left[ \begin{array}{c} \underline {I}_\textrm{R} \\ \underline {I}_\textrm{S} \\ \underline {I}_\textrm{T} \end{array} \right] =\frac{1}{3}\cdot \left [ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ \underline {a^2}& \underline {a} & \underline {1}\\ \underline{a} & \underline {a^2} & \underline {1} \end{array}\right] , \left[ \begin{array}{c} \underline {I}_\textrm{1R}\\ \underline {I}_\textrm{2R}\\ \underline {I}_\textrm{0R} \end{array} \right].$$

(6.14)

Rücktransformation vom Bildraum in den Originalraum:

$$I_{\textrm{RST}} = T\cdot I_{\textrm{120}}$$

(6.15)

Damit kann man die unbekannten Komponentenströme mit der Matrix T in die tatsächlichen Leiterströme transformieren:

$$\begin{aligned} \underline {I}_{\textrm{1R}}=&\,\frac{1}{3}\cdot(\underline I_\textrm{R}+\underline I_\textrm{S}\cdot \underline a+\underline I_\textrm{T}+\cdot \underline a^2),\\ \underline {I}_{\textrm{2R}}=&\,\frac{1}{3}\cdot(\underline I_\textrm{R}+\underline I_\textrm{S}\cdot \underline a^2+\underline I_\textrm{T}+\cdot \underline a),\\ \underline {I}_{\textrm{0R}}=&\,\frac{1}{3}\cdot(\underline I_\textrm{R}+\underline I_\textrm{S} +\underline I_\textrm{T}).\\ \end{aligned}$$

(6.16)

In Matrizenschreibweise erhält man:

$$\left[ \begin{array}{c} \underline {I}_{\textrm{1R}} \\ \underline {I}_{\textrm{2R}} \\ \underline {I}_{\textrm{0R}} \end{array} \right] =\frac{1}{3}\cdot \left [ \begin{array}{ccc} \underline {1}& \underline {a} & \underline {a^2}\\ \underline {1}& \underline {a^2} & \underline {a}\\ 1&1&1\\ \end{array}\right] , \left[ \begin{array}{c} \underline {I}_{\textrm{R}}\\ \underline {I}_{\textrm{S}}\\ \underline {I}_{\textrm{T}} \end{array} \right].$$

(6.17)

$$I_{\textrm{120}} = S\cdot I_{\textrm{RST}}.$$

(6.18)

Mit diesen Ausführungen kann man nun die unsymmetrischen Ströme- und Spannungen berechnen. Dabei gilt:

$$S = T^{-1}.$$

(6.19)

6.2 Impedanzen der symmetrischen Komponenten

Nur der dreipolige Kurzschluss belastet das Netz symmetrisch. Hier genügt es, mit dem „Mitsystem" zu rechnen . In allen anderen Fällen muss man das Verfahren der symmetrischen Komponenten anwenden, sodass auch Gegen- und Nullsystem berücksichtigt werden.

Das Komponentenverfahren beruht auf dem Überlagerungsprinzip. Zur Bestimmung der Komponentenspannungen und -ströme werden einpolige Ersatzschaltungen benötigt, die im symmetrischen Betrieb des Netzes vollständig gegeneinander entkoppelt sind.

Alle drei Komponentenersatzschaltungen sind an der Fehlerstelle verbunden, und für jede Fehlerart gibt es eine andere Schaltverbindung. Die drei Impedanzen der Komponentensysteme werden hier kurz zusammengestellt (Abb. 6.4).

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Abb. 6.4

Ersatzschaltung im Mit-, Gegen- und Nullsystem

1.

Mitimpedanz $Z_ \textrm{(1)}$ (index m oder 1):

Es liegt ein symmetrisches, mitlaufendes Drehstromsystem mit normaler Phasenlage vor.

Die Ersatzschaltung und die Daten der Betriebsmittel sind identisch mit den Daten der einpoligen Ersatzschaltung zur Berechnung des dreipoligen Kurzschlusses.

2.

Gegenimpedanz $Z_\textrm{(2)}$ (Index i oder 2):

Es liegt ein symmetrisches, gegenlaufendes Drehstromsystem vor.

Die Gegenimpedanz ist für ruhende Betriebsmittel gleich der Mitimpedanz. Bei drehenden Maschinen ist sie davon verschieden.

3.

Nullimpedanz $Z_\textrm{(0)}$ (Index 0):

Es liegt ein System aus drei Strömen mit gleicher Größe und gleicher Phasenlage vor, wenn man die drei parallelgeschalteten Hauptleiter zur Hinleitung und einen vierten Leiter als gemeinsamen Rückleiter nimmt und eine Wechselspannung einsetzt. Dabei fließt in diesem Rückleiter der dreifache Nullstrom.

Die Schaltungsart des Sternpunkts wird bei der Nullimpedanz wie folgt berücksichtigt:

nicht geerdet,

über Erdschlusslöschspule geerdet,

über Widerstände oder Reaktanz geerdet,

direkt geerdet.

Unter der Voraussetzung, dass die symmetrischen Komponenten von Strom und Spannung physikalisch reale Größen sind, müssen sie sich auch über allgemeine physikalische Gesetzmäßigkeiten miteinander verbinden lassen. Jedem der drei Komponentensysteme muss demnach entsprechend dem ohmschen Gesetz eine Impedanz zugeordnet werden können.

Mitimpedanz:

$$\underline{Z}_{\textrm{(1)}}=\frac{\underline{U}_\textrm{(1)}} {\underline{I}_{(1)}},$$

(6.20)

Gegenimpedanz:

$$\underline {Z}_{\textrm{(2)}}=\frac{\underline {U}_\textrm{(2)}}{\underline {I}_\textrm{(2)}},$$

(6.21)

Nullimpedanz:

$$\underline {Z}_{\textrm{(0)}}=\frac{\underline {U}_\textrm{(0)}}{\underline {I}_\textrm{(0)}}.$$

(6.22)

Weiterhin ist es möglich, Ersatzschaltungen für die drei Komponentensysteme anzugeben. Die Mit-, Gegen- und Nullimpedanzen können messtechnisch bestimmt werden, indem man an die zu untersuchende Schaltung jeweils die Mit-, Gegen- und Nullsystemspannung anlegt, den Strom misst und dann die Impedanz berechnet. Die Mitimpedanz ist identisch mit der Impedanz eines Leiters im Drehstromsystem. Sie