Wärmemanagement in der Elektronik: Theorie und Praxis

Von Andreas Griesinger

Das Buch gibt einen Überblick über das Wärmemanagement elektronischer Systeme. Neben den physikalischen Grundlagen der Wärmeübertragung werden passive und aktive Kühlmethoden vorgestellt. Dazu gehören Technologien auf Bauelement- und Substratebene, thermische Interfacematerialien, Kühlkörper, Lüfter und Heatpipes. Für die Analyse von Wärmepfaden werden etablierte und neue Messverfahren beschrieben. Diese liefern thermophysikalische Stoffwerte und thermische Kontaktwiderstände.  Zahlreiche Beispiele unterstreichen den Praxisbezug.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Springer Vieweg
• Erscheinungsdatum: 14. Aug. 2019
• ISBN: 9783662586822

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019

A. GriesingerWärmemanagement in der Elektronik https://doi.org/10.1007/978-3-662-58682-2_1

1. Einleitung

Andreas Griesinger¹  

(1)

Duale Hochschule Baden-Württemberg, Stuttgart, Deutschland

Andreas Griesinger

Email: [e-mail]

Wärme ist eine Energie, die auf Grund einer Temperaturdifferenz übertragen wird. Die Richtung der Übertragung ist nach der Forderung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik stets vom höheren zum tieferen Temperaturniveau. Wärme tritt nur in Erscheinung, wenn sie bei einer Zustandsänderung eine Systemgrenze überschreitet. Im Gegensatz zur Temperatur beschreibt sie keinen Zustand, sondern eine Zustandsänderung. Im Gegensatz zur Temperatur ist sie keine Zustandsgröße, sondern eine Prozessgröße.

Wärme kann auf drei verschiedene Arten übertragen werden: a Wärmeleitung, b Konvektion und c Wärmestrahlung, Abb. 1.1. Die drei Wärmetransportmechanismen sind in der Regel überlagert (konjugierter Wärmetransport). Die Herausforderung bei der Entwicklung eines Kühlkonzepts besteht darin, Wärmepfade zu analysieren und zu optimieren.

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Abb. 1.1

Die drei Möglichkeiten des Wärmetransports: a Leitung, b Konvektion und c Strahlung

Wärmeleitung ist der Energietransport auf mikroskopischer Teilchenebene, bei dem Energie- und Impuls von einem Teilchen zum nächsten weiter gegeben werden. Bei elektrischen Isolatoren sind im Wesentlichen die Atomrümpfe beteiligt. Bei metallischen Werkstoffen stehen zusätzlich frei bewegliche Elektronen zur Verfügung. Ihre Wirkung beim Energie- und Impulstransport ist wesentlich größer als die der Atomrümpfe. Deshalb sind Metalle im Gegensatz zu den meisten elektrischen Isolatoren gute Wärmeleiter. Wärmeleitung tritt in Festkörpern und Fluiden auf.

Konvektion ist der Transport von Enthalpie von einem Festkörper in ein Fluid. Der konvektive Wärmetransport tritt nur in Verbindung mit einem Massenstrom auf. Bei natürlichen Konvektion verursachen Dichteunterschiede auf Grund von Temperaturunterschieden die Strömung. Typische Strömungsgeschwindigkeiten in elektronischen Geräten liegen zwischen 0 m/s und 0,3 m/s. Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strömung durch einen Lüfter oder eine Pumpe angeregt. Prinzipiell ist zwischen laminarer und turbulenter Strömung zu unterscheiden. Bei der laminaren Strömung treten keine Verwirbelungen auf. Die Strömungsschichten haben unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten, vermischen sich aber nicht. Bei der turbulenten Strömung führt Quervermischung durch Wirbel zu einem dreidimensionalen Strömungsfeld. Die Art der Strömung ist für den Wärmetransport entscheidend: Bei turbulenter Strömung ist die Wärmeübertragung zwischen einer Festkörperoberfläche und dem angrenzenden Fluid wesentlich besser.

Wärmestrahlung besteht aus elektromagnetischen Wellen, die grundsätzlich von allen Festkörpern und Fluiden ausgeht. Für die Ausbreitung der Wellen ist kein Trägermedium erforderlich. Im Temperaturbereich von 0 bis 140  $${}^{\circ}$$ C liegt der größte Teil der emittierten Strahlung im Wellenlängenbereich zwischen 2 und 20  $$\upmu$$ m. Im Gegensatz zur Leitung und Konvektion wird bei der Wärmestrahlung Energie ausgetauscht: Ein Körper strahlt seine Umgebung an während die Umgebung auch den Körper anstrahlt. Dabei ist der Nettowärmestrom stets von „heiß nach „kalt gerichtet. Damit ist der 2. Hauptsatz der Thermodynamik erfüllt.

Im Folgenden werden zunächst die drei Wärmetransportmechanismen mit ihren mathematischen Beschreibungen betrachtet.

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A. GriesingerWärmemanagement in der Elektronik https://doi.org/10.1007/978-3-662-58682-2_2

2. Wärmeleitung

Andreas Griesinger¹  

(1)

Duale Hochschule Baden-Württemberg, Stuttgart, Deutschland

Andreas Griesinger

Email: [e-mail]

Wärmeleitung ist der Energietransport aufgrund atomarer oder molekularer Wechselwirkungen in Gasen, Flüssigkeiten oder Festkörpern. Für den Zusammenhang zwischen Wärmestrom und Temperaturgradient gilt das Fouriersche Wärmeleitungsgesetz . Der eindimensionale Fall beschreibt die Wärmeleitung durch eine ebene, homogene Schicht, Abb. 2.1.

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Abb. 2.1

Wärmeleitung durch eine ebene, homogene Schicht

Für den übertragenen Wärmestrom gilt:

$$\displaystyle\displaystyle\dot{Q}=\lambda A\frac{\Updelta T}{d}$$

(2.1)

mit

$$\dot{Q}$$ :

übertragener Wärmestrom in W

$$\lambda$$ :

Wärmeleitfähigkeit in W/(m K)

$$A$$ :

wärmeübertragende Fläche in m $${}^{2}$$

$$\Updelta T=T_{1}-T_{2}$$

:

treibende Temperaturdifferenz in K

$$d$$ :

Schichtdicke in m.

Die Wärmeleitfähigkeit $$\lambda$$ ist eine thermophysikalische Stoffgröße, die im Allgemeinen von der Temperatur und vom Druck abhängt. In Abb. 2.2 sind einige Werte zusammengestellt [1]. Sie beziehen sich auf 300 K. Luft ist mit

$$\lambda=0{,}0263$$

 W/(m K) bei 300 K ein sehr schlechter Wärmeleiter. Schon eine dünne Schicht im Wärmepfad führt zu einem beachtlichen thermischen Widerstand. Bei der thermischen Optimierung sind deshalb Luftschichten oder Lufteinschlüsse besonders zu beachten. Nach Möglichkeit sollten sie durch ein besser leitendes Material, wie z. B. Wärmeleitpaste, aus dem Wärmepfad verdrängt werden, vgl. Kap. 13.

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Abb. 2.2

Wärmeleitfähigkeit verschiedener Stoffe bei 300 K

Für die Beschreibung der Wärmeleitung in elektronischen Komponenten wird in der Praxis an Stelle der Wärmeleitfähigkeit oft der thermische Widerstand $$R_{th}$$ in K/W verwendet. Dieser ergibt sich durch Umformen von Gl. 2.1:

$$\displaystyle\displaystyle R_{th}=\frac{\Updelta T}{\dot{Q}}=\frac{d}{\lambda A}\ .$$

(2.2)

Im Allgemeinen ist Wärmeleitung ein dreidimensionales Phänomen. Der Wärmestrom und der Temperaturgradient werden durch die Vektoren $$\dot{\vec{Q}}$$ und $$\mathop{\mathrm{grad}}T$$ beschrieben, die nicht notwendigerweise parallel sind:

$$\displaystyle\displaystyle\dot{\vec{Q}}=-\lambda A\mathop{\mathrm{grad}}T\qquad\dot{\vec{q}}=-\lambda\mathop{\mathrm{grad}}T$$

(2.3)

mit

$$\dot{\vec{q}}=\dot{\vec{Q}}/A$$ :

Wärmestromdichte (Vektor) in W/m $${}^{2}$$

$$\lambda$$ :

Wärmeleitfähigkeit, Tensor 2. Stufe in W/(m K).

Bemerkungen

Der Quotient $$A/d$$ in Gl. 2.1 beinhaltet die geometrischen Größen der Anordnung. Diese werden häufig zum Formkoeffizient $$F^{*}$$ zusammengefasst. Mit $$F^{*}=A/d$$ , dem Formkoeffizient für eine ebene Schicht, wird der übertragene Wärmestrom zu

$$\displaystyle\dot{Q}=\lambda F^{*}(T_{1}-T_{2})\ .$$

(2.4)

Das Minuszeichen in Gl. 2.3 gibt an, dass die Wärme stets in Richtung abnehmender Temperatur fließt. In ausführlicher Schreibweise wird Gl. 2.3 zu

$$\displaystyle\left(\begin{array}[]{@{}c@{}}\dot{q}_{x}\\ \dot{q}_{y}\\ \dot{q}_{z}\end{array}\right)=-\left(\begin{array}[]{@{}ccc@{}}\lambda_{11}&\lambda_{12}&\lambda_{13}\\ \lambda_{21}&\lambda_{22}&\lambda_{23}\\ \lambda_{31}&\lambda_{32}&\lambda_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}[]{@{}c@{}}\partial T/\partial x\\ \partial T/\partial y\\ \partial T/\partial z\end{array}\right)\ .$$

(2.5)

Die Komponenten $$\lambda_{ij}$$ im Tensor zeigen bestimmte Symmetrien. Im Sonderfall des isotropen Mediums bleiben nur drei gleiche Komponenten der Diagonalen

$$\lambda_{11}=\lambda_{22}=\lambda_{33}=\lambda$$

. Alle anderen werden zu null. Damit ergibt sich für die Wärmestromdichte in $$x,y,z$$ -Richtung in kartesischen Koordinaten

$$\displaystyle\dot{q}_{x}=-\lambda\frac{\partial T}{\partial x}\qquad\dot{q}_{y}=-\lambda\frac{\partial T}{\partial y}\qquad\dot{q}_{z}=-\lambda\frac{\partial T}{\partial z}\ .$$

(2.6)

Ein typisch anisotrop wärmeleitendes Material, das in elektronischen Systemen häufig für die Wärmespreizung eingesetzt wird, ist Graphitfolie. Auf Grund seiner Struktur erreicht Graphit in der Ebene eine Wärmeleitfähigkeit von 150–1500 W/(m K). Senkrecht dazu sind die Werte mit etwa 5–25 W/(m K) wesentlich geringer.

2.1 Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit

Die Wärmeleitfähigkeit ist eine temperaturabhängige, thermophysikalische Stoffgröße . Bei Gasen wird sie mit zunehmender Temperatur generell höher, da die Wechselwirkung zwischen den Gasmolekülen zunimmt. Für Flüssigkeiten und Festkörper ist keine allgemeine Aussage möglich. Die Wärmeleitfähigkeit kann in einem bestimmten Bereich mit der Temperatur zu- oder abnehmen. Abb. 2.3 und 2.4 zeigen die Wärmeleitfähigkeit von Luft und Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur [2]. Für Luft und Wasser lassen sich jeweils Polynome zweiter Ordnung angeben, die die Datenpunkte mit einer Genauigkeit $$<1{,}5\,\%$$ beschreiben. Bei vielen Festkörpern gibt es über einen großen Temperaturbereich einen linearen Zusammenhang zwischen Wärmeleitfähigkeit und Temperatur in der Form

$$\displaystyle\lambda(\vartheta)=\lambda_{o}+\ B\,\vartheta{ }$$

(2.7)

mit

$$\lambda(\vartheta)$$ :

Wärmeleitfähigkeit bei der Temperatur $$\vartheta$$ in W/(m K)

$$\vartheta$$ :

Temperatur in $${}^{\circ}$$ C

$$\lambda_{o}$$ :

Wärmeleitfähigkeit bei $$\vartheta=0\,^{\circ}$$ C in W/(m K)

$$B$$ :

Temperaturkoeffizient in 1/ $${}^{\circ}$$ C.

In Tab. 2.1 sind typische Beispiele aus der Elektronik zusammengestellt mit den Werten aus [1, 2, 3]. Metalle mit hohem Reinheitsgrad haben einen negativen Temperaturkoeffizient $$B$$ , Metalle mit einem hohen Fremdatomanteil einen positiven Temperaturkoeffizient.

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Abb. 2.3

Wärmeleitfähigkeit von Luft in Abhängigkeit der Temperatur

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Abb. 2.4

Wärmeleitfähigkeit von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur

Tab. 2.1

Parameter der Gl. 2.7 zur Berechnung der temperaturabhängigen Wärmeleitfähigkeit nach [1, 2, 3]

a die Parameter wurden aus [1, 2] durch lineare Regression der gegebenen Datenpunkte ermittelt. Die Abweichung der Geraden zu den Datenpunkten ist $$<3\,\%$$ .

b High Density Polyethylen (dt. Hochdruckpolyethylen)

Abb. 2.5 zeigt die Wärmeleitfähigkeit einiger Kunststoffe zwischen $$-100\,^{\circ}$$ C und $$+100\,^{\circ}$$ C [2]. Im betrachteten Temperaturbereich gibt es kein lineares Verhalten.

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Abb. 2.5

Wärmeleitfähigkeit von Kunststoffen nach [2] abhängig von der Temperatur

Die Abkürzungen stehen für: LDPE Low Density Polyethylen (dt. Niederdruckpolyethylen), PA6 Polyamid, PTFE Polytetrafluorethylen, PEEK Polyetheretherketon, PUR Polyurethan, PP Polypropylen.

2.2 Druckabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit

Bei Gasen ist die Wärmeleitfähigkeit in einem großen Bereich druckunabhängig. Erst bei kleinen Drücken (ca. $$p<10^{-3}$$  mbar) wird die Wärmeleitfähigkeit mit abnehmendem Druck linear kleiner. In diesem Fall ist die mittlere freie Weglänge der Gasmoleküle in der Größenordnung ihres umgebenden Raumes. Die Bewegungsfreiheit eines Moleküls wird dann nicht mehr durch seine Nachbarmoleküle bestimmt, sondern durch die konstante Größe des Raums (Pirani-Effekt). Eine Erklärung liefert die kinetische Gastheorie [4]. Der Pirani-Effekt wird beispielsweise bei der Druckmessung im Vakuum eingesetzt.

Bei Flüssigkeiten und Festkörpern ist die Wärmeleitfähigkeit im technisch relevanten Bereich ( $$p<20$$  bar) unabhängig vom Druck. Bei manchen Kunststoffen ist ein Einfluss ab etwa $$p=200$$  bar messbar.

Eine Ausnahme sind hoch gefüllte Polymere. Dort können die Füllpartikel in der Polymermatrix bereits bei einem mechanischen Druck $$p<20$$  bar einen durchgängigen Wärmeleitpfad (Perkolationspfad) bilden, in dem sie sich berühren, Abb. 2.6. Dieses Verhalten wird durch die Perkolationstheorie beschrieben [5]. Der Feststoffpfad ermöglicht einen wesentlich besseren Wärmetransport im System. Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen Druck und Wärmeleitfähigkeit lässt sich dann nicht angeben.

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Abb. 2.6

Polymermatrix mit Füllstoffpartikel (links). Bei mechanischem Anpressdruck bilden die Partikel einen geschlossenen Wärmeleitpfad (Perkolationspfad, rote Linien, rechts)

Bemerkung

In Abb. 2.7 ist beispielhaft die effektive Wärmeleitfähigkeit einer mit Klebefilm beschichteten PE-Folie dargestellt. Mit zunehmendem Anpressdruck steigt die effektive Wärmeleitfähigkeit. Die Gesamtprobendicke beträgt drucklos 842  $$\upmu$$ m und reduziert sich bei 20 bar auf 836  $$\upmu$$ m. Die Messkurve wird häufig falsch interpretiert. Sie basieren auf der stationären Zylindermethode nach ASTM D5470-17. Dabei wird die Probe zwischen zwei Aluminiumstempel geklemmt, siehe Kap. 11. Die effektive Wärmeleitfähigkeit $$\lambda_{\text{eff}}$$ beschreibt den Wärmetransport in der Probe (Bulk-Material) und den beiden Kontaktflächen zwischen der Probe und den beiden Aluminiumstempeln. Die Probenoberflächen passen sich mit zunehmendem Anpressdruck der Oberflächenrauheit des Aluminiums an. Schlecht wärmeleitende Luft wird aus den Mikrostrukturen der Oberfläche verdrängt, der Wärmetransport wird mit zunehmendem Druck besser. Die höhere effektiven Wärmeleitfähigkeit $$\lambda_{\text{eff}}$$ mit zunehmendem Anpressdruck liegt demnach am verbesserten Wärmetransport in den Grenzschichten, die Wärmeleitfähigkeit des Bulk-Materials ist konstant.

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Abb. 2.7

Effektive Wärmeleitfähigkeit einer mit Klebefilm beschichteten PE-Folie

2.3 Differenzialgleichung der instationären Wärmeleitung

Das Fouriersche Wärmeleitungsgesetz (Gl. 2.3) beschreibt den Wärmestrom $$\dot{Q}$$ , der bei einer anliegenden Temperaturdifferenz in einem Medium übertragen wird. Die Zeit $$t$$ taucht nicht auf, der beschriebene Zusammenhang ist stationär. Neben dieser stationären Gleichung gibt es eine zweite Grundgleichung der Wärmeleitung, die Differenzialgleichung der instationären Wärmeleitung (Wärmeleitungsgleichung).

Die Lösung dieser inhomogenen, partiellen Differentialgleichung mit den entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen beschreibt das zeitabhängige Temperaturfeld $$T(\vec{x},t)$$ in einem homogenen, ruhenden Medium. In vektorieller Schreibweise lautet die Wärmeleitungsgleichung

$$\displaystyle\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=a\,\nabla^{2}\,T\pm\frac{\dot{q}^{*}}{\rho c_{p}}\ .$$

(2.8)

In den jeweiligen Koordinatensystemen erhält man:

Kartesische Koordinaten

$$\displaystyle\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=a\left[\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}\right]\pm\frac{\dot{q}^{*}}{\rho c_{p}}$$

(2.9)

Zylinderkoordinaten

$$\displaystyle\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=a\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\,\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}T}{\partial\theta^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}\right]\pm\frac{\dot{q}^{*}}{\rho c_{p}}$$

(2.10)

Kugelkoordinaten

$$\displaystyle\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=a\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\,\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\,\frac{\partial T}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\,\frac{\partial^{2}T}{\partial\Phi^{2}}\right]\pm\frac{\dot{q}^{*}}{\rho c_{p}}$$

(2.11)

mit

$$a$$ :

Temperaturleitfähigkeit in m $${}^{2}$$ /s

$$\rho$$ :

Dichte in kg/m $${}^{3}$$

$$c_{p}$$ :

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck in J/(kg K)

$$\dot{q}^{*}$$ :

Quellendichte (Wärmequelle oder Wärmesenke pro Volumen) in W/m $${}^{3}$$ .

Die Temperaturleitfähigkeit $$a$$ hängt mit der Wärmeleitfähigkeit $$\lambda$$ zusammen über

$$\displaystyle a=\frac{\lambda}{\rho\ c_{p}}\ .$$

(2.12)

Neben der Wärmeleitfähigkeit $$\lambda$$ , die den stationären Wärmetransport beschreibt, gibt es die Temperaturleitfähigkeit $$a$$ als thermophysikalische Stoffgröße. Im Gegensatz zur Wärmeleitfähigkeit ist die Temperaturleitfähigkeit $$a$$ eine dynamische Größe. Sie charakterisiert die zeitliche Veränderung eines Temperaturfeldes durch Wärmeleitung. Anschaulich steht die Temperaturleitfähigkeit für die Geschwindigkeit des Temperaturausgleichs in einem Körper bei instationärer Wärmeleitung.

Gase haben eine vergleichsweise geringe Wärmeleitfähigkeit. Ihre Temperaturleitfähigkeit ist dagegen hoch: Für Luft liegt der Wert beispielsweise in der Größenordnung von Stahl. Der Grund ist die geringe Dichte der Gase. Auch bei kleinen $$\lambda$$ -Werten ergeben sich deshalb mit Gl. 2.12 relativ große Werte für $$a$$ . Mit zunehmender Temperaturleitfähigkeit steigt die Wärmedurchlässigkeit eines Materials. Die Ursache dafür kann eine gute Wärmeleitfähigkeit oder ein schlechtes Speichervermögen $$(\rho c_{p})$$ des Materials sein.

Die Quellendichte $$\dot{q}^{*}$$ ist ein Maß für die Wärme, die pro Volumen entsteht, z. B. durch elektrische Verlustleistung, oder verschwindet, z. B. durch eine endotherme chemische Reaktion.

Herleitung der Differenzialgleichung der Wärmeleitung

Für die Herleitung der Wärmeleitungsgleichung wird an einem kleinen Volumenelement $$dV$$ mit den Kantenlängen $$dx$$ , $$dx$$ und $$dz$$ die Energiebilanz betrachtet, Abb. 2.8. Zur Vereinfachung bezieht sich die Bilanz zunächst nur auf die x-Richtung. Im Allgemeinen Fall tritt der Wärmestrom $$\dot{Q}_{x}$$ an der Stelle $$x$$ in das Volumenelement ein. An der Stelle $$x+dx$$ tritt der Wärmestrom $$\dot{Q}_{x+dx}$$ aus. Der Wärmestrom $$\dot{Q}_{s}$$ wird in Form innerer Energie gespeichert. Außerdem kann im Volumenelement die Wärme $$\dot{q^{*}}\,dV$$ entstehen oder in einer Senke verschwinden. Damit folgt:

$$\dot{Q}_{x}\pm\dot{q}^{*}dV =\dot{Q}_{x+dx}+\dot{Q_{s}}.$$

(2.13)

$$\text{mit}\quad\dot{Q}_{x+dx}=\dot{Q}_{x}+\frac{\partial\dot{Q}}{\partial x}dx\quad \text{und}\quad\dot{Q}_{s}=m\,c_{v}\frac{\partial T}{\partial t}\quad\text{folgt}$$$$\dot{q}_{x}\,dy\,dz\pm\dot{q}^{*}dx\,dy\,dz =m\,c_{v}\frac{\partial T}{\partial t}+\dot{q}_{x}\,dydz+\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\,dx\,dy\,dz.$$

(2.14)

$$\text{Einsetzen von}\quad\dot{q}_{x} =-\lambda\frac{\partial T}{\partial x}\quad\text{f{\"u}hrt zu}$$$$-m\,c_{v}\frac{\partial T}{\partial t}\pm\dot{q}^{*}\,dx\,dy\,dz =\frac{\partial}{\partial x}\left(-\lambda\frac{\partial T}{\partial x}\right)\,dx\,dy\,dz\ .$$

(2.15)

$$\text{Unter der Annahme}\ \lambda=\text{const.} \text{ und Division durch}\ dx\,dy\,dz\ \text{folgt}$$$$-\rho c_{v}\frac{\partial T}{\partial t}\pm\dot{q}^{*} =-\lambda\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}\qquad|:\rho c_{p},\ c_{v}\approx c_{p}$$

(2.16)

$$\frac{\partial T}{\partial t} =\frac{\lambda}{\rho\,c_{p}}\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}\pm\frac{\dot{q}^{*}}{\rho\,c_{p}}\ .$$

(2.17)

Für die y- und z-Richtung gilt die gleiche Betrachtung. Damit folgt Gl. 2.9.

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Abb. 2.8

Energiebilanz an einem Volumenelement $$dV$$

Bemerkungen

Bei der Herleitung von Gl. 2.8 wird vorausgesetzt, dass die Wärmeleitfähigkeit $$\lambda$$ und die Wärmekapazitäten $$c_{p}$$ , $$c_{v}$$ weder temperatur- noch ortsabhängig sind. Falls diese Annahme nicht zutrifft, ergibt sich eine nichtlineare Differenzialgleichung.

Die obigen Darstellungen beruhen auf der Fourierschen Wärmeleitung. Diese ist eine modellhafte, vereinfachende Beschreibung der Physik. Sie gilt nicht allgemein. Beispielsweise führt nach Gl. 2.1 ein Wärmestrom durch eine ebene Schicht zu einem Temperaturfeld in dieser Schicht. Dies geschieht ohne zeitliche Verzögerung: Zum Zeitpunkt, an dem der Wärmestrom einsetzt, ist das Temperaturfeld vollständig ausgebildet. Diese Vorstellung ist nur haltbar, wenn von einer unendlich großen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wärme ausgegangen wird. Tatsächlich kann die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

Beim Wärmemanagement elektronischer Systeme spielen solche Überlegungen jedoch praktisch keine Rolle.

Beispiel

Die Oberflächentemperaturen einer ebenen, homogenen Schicht (z. B. einer Gehäusewand, siehe Abb. 2.1,) sind konstant und betragen

$$T_{1}=\text{const.}$$

und

$$T_{2}=\text{const.}$$

mit $$T_{1}> T_{2}$$ . Gesucht ist der Temperaturverlauf im Inneren der Schicht.

Im Fall der stationären, eindimensionalen Wärmeleitung ohne Wärmequellen vereinfacht sich Gl. 2.9 zu

$$\displaystyle\underbrace{\frac{\partial T}{\partial t}}_{=0}=a\left[\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\underbrace{\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}}_{=0}\right]\pm\underbrace{\frac{\dot{q}^{*}}{\rho c_{p}}}_{=0}\quad\text{bzw.}$$$$\displaystyle\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0\ .$$

Die zweifache Integration führt zu

$$T(x)=c_{1}\,x+c_{2}$$

. Die Integrationskonstanten $$c_{1}$$ , $$c_{2}$$ werden durch die Randbedingungen

$$\begin{aligned}\displaystyle x=0:&amp;\displaystyle\quad T=T_{1}\quad\text{und}\\ \displaystyle x=d:&amp;\displaystyle\quad T=T_{2}\end{aligned}$$

festgelegt. Damit folgt für den Temperaturverlauf in der Schicht:

$$\displaystyle\displaystyle T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{d}\,x\ .$$

Der Wärmestrom $$\dot{Q}$$ durch die Schicht ergibt sich mit der Fourier Gleichung 2.1:

$$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle\dot{Q}=\dot{q}\,A=-\lambda\,A\,\frac{dT}{dx}&amp;\displaystyle=-\lambda\,A\,\frac{d}{dx}\left(T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{d}\,x\right)\\ \displaystyle&amp;\displaystyle=\lambda\,A\,\frac{T_{1}-T_{2}}{d}\ .\end{aligned}$$

2.4 Stationäre, eindimensionale Wärmeleitung ohne Wärmequellen

Der einfache Fall der Wärmeleitung in einer ebenen, homogenen Schicht wird durch Gl. 2.1 beschrieben.

2.4.1 Mehrschichtigiger Aufbau: Wärmestrom senkrecht zur Schichtung

Die Oberflächentemperaturen einer mehrschichtigen, ebenen Platte der Fläche A werden durch Heizung und Kühlung auf die Temperaturen $$T_{1}$$ und $$T_{3}$$ geregelt. Der Wärmestrom $$\dot{Q}$$ , der in die Schicht 1 eintritt, verlässt die Schicht 3 unverändert, Abb. 2.9. Die Schichten haben untereinander einen idealen thermischen Kontakt. In der Schicht mit der kleinsten Wärmeleitfähigkeit stellt sich der größte Temperaturgradient ein. Dies folgt aus Gl. 2.1: Bei konstantem $$\dot{Q}$$ in jeder Schicht und konstanter Fläche $$A$$ ergibt sich für den kleinsten $$\lambda$$ -Wert der größte Temperaturgradient $$\Updelta T/d$$ .

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Abb. 2.9

Wärmeleitung durch einen Mehrschichtaufbau, Wärmestrom senkrecht zur Schichtung mit Temperaturverlauf

Für den Wärmestrom durch den Schichtaufbau gilt:

$$\displaystyle\displaystyle\dot{Q}=\frac{A}{{\displaystyle\frac{d_{1}}{\lambda_{1}}}+{\displaystyle\frac{d_{2}}{\lambda_{2}}}+{\displaystyle\frac{d_{3}}{\lambda_{3}}}}\,(T_{1}-T_{3})\ .$$

(2.18)

Entsprechend ist der Wärmestrom durch $$n$$ Schichten

$$\displaystyle\displaystyle\dot{Q}=\frac{A}{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{d_{i}}{\lambda_{i}}}}\,(T_{1}-T_{n})\ .$$

(2.19)

Herleitung

Für den Wärmestrom $$\dot{Q}$$ durch die drei Schichten gilt

$$\displaystyle\dot{Q}=\lambda_{1}\,\frac{A}{d_{1}}\,(T_{1}-T_{12})=\lambda_{2}\,\frac{A}{d_{2}}\,(T_{12}-T_{23})=\lambda_{3}\,\frac{A}{d_{3}}\,(T_{23}-T_{3})\ .$$

(2.20)

Umstellen liefert:

$$\begin{aligned}\displaystyle T_{1}-T_{12}&amp;\displaystyle=\frac{\dot{Q}}{A}\,\frac{d_{1}}{\lambda_{1}}\\ \displaystyle T_{12}-T_{23}&amp;\displaystyle=\frac{\dot{Q}}{A}\,\frac{d_{2}}{\lambda_{2}}\\ \displaystyle T_{23}-T_{3}&amp;\displaystyle=\frac{\dot{Q}}{A}\,\frac{d_{3}}{\lambda_{3}}\ .\end{aligned}$$

Die Addition der drei Gleichungen führt zu

$$\displaystyle T_{1}-T_{3}=\frac{\dot{Q}}{A}\left(\frac{d_{1}}{\lambda_{1}}+\frac{d_{2}}{\lambda_{2}}+\frac{d_{3}}{\lambda_{3}}\right)\ .$$

(2.21)

Durch Umstellen folgt Gl. 2.18.

Bemerkung

Zu demselben Ergebnis (Gl. 2.18) führt die Betrachtung mit einem einfachen Widerstandsmodell, Abb. 2.10. Der Gesamtwiderstand $$R_{th,\mathrm{ges}}$$ ist die Summe der drei Schichtwiderstände:

$$\displaystyle R_{th,\mathrm{ges}}=\frac{T_{1}-T_{3}}{\dot{Q}}=R_{th,1}+R_{th,2}+R_{th,3}=\frac{d_{1}}{\lambda_{1}\,A}+\frac{d_{2}}{\lambda_{2}\,A}+\frac{d_{3}}{\lambda_{3}\,A}\ .$$

(2.22)

Durch Auflösen von Gl. 2.22 nach $$\dot{Q}$$ folgt Gl. 2.18.

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Abb. 2.10

Widerstandsmodell eines Dreischichtaufbaus zur Berechnung des Wärmestroms

Beispiel

Ein Bauelement (Chip) ist auf eine Leiterplatte gelötet und mit einem thermischen Interfacematerial (TIM, z. B. Wärmeleitkleber) an eine Coolplate gekoppelt, Abb. 2.11. Folgende Werte sind bekannt:

Das Bauelement gibt an die Leiterplatte über eine Fläche von

$$A=40\,\mathrm{mm}^{2}$$

einen Wärmestrom von $$\dot{Q}=5$$  W ab.

Es wird von eindimensionaler Wärmeleitung ausgegangen, d. h. Wärmespreizung ist zu vernachlässigen.

1.

Wie hoch ist die Temperatur des Lots unter dem Bauelement?

2.

Um wie viel Kelvin sinkt die Temperatur, wenn auf der Kupferschicht der Lötstopplack entfernt wird?

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Abb. 2.11

Bauelement auf eine Leiterplatte gelötet. Wärmepfad vom Chip bis zur Coolplate

1. Lottemperatur

Es gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle R_{th,\mathrm{ges}}=\frac{T_{L}-T_{C}}{\dot{Q}}&amp;\displaystyle=R_{th,LP}+R_{th,\mathrm{Cu}}+R_{th,LS}+R_{th,T}\\ \displaystyle&amp;\displaystyle=\frac{d_{LP}}{\lambda_{LP}\,A}+\frac{d_{\mathrm{Cu}}}{\lambda_{\mathrm{Cu}}\,A}+\frac{d_{LS}}{\lambda_{LS}\,A}+\frac{d_{T}}{\lambda_{T}\,A}{ }\\ \displaystyle&amp;\displaystyle=(7{,}5+0{,}008+3{,}125+2{,}5)\,\text{K/W}\\ \displaystyle&amp;\displaystyle=13{,}13\,\text{K/W}\\ \displaystyle T_{L}&amp;\displaystyle=T_{C}+\dot{Q}\cdot R_{th,\mathrm{ges}}\\ \displaystyle&amp;\displaystyle=(273{,}15+40)\text{K}+5\,\text{W}\cdot 13{,}13\,\text{K/W}=378{,}8\,\text{K}\\ \displaystyle&amp;\displaystyle\approx 106\,^{\circ}\text{C}\ .\end{aligned}$$

2. Temperatur ohne Lötstopplack

Ohne Lötstopplack wird $$R_{th,LS}=0$$ . Damit reduziert sich der Gesamtwiderstand auf

$$R^{\prime}_{th,\mathrm{ges}}=10{,}0$$

 K/W. Die Lottemperatur sinkt auf

$$\begin{aligned}\displaystyle T_{L}&amp;\displaystyle=T_{C}+\dot{Q}\cdot R^{\prime}_{th,\mathrm{ges}}\\ \displaystyle&amp;\displaystyle=363{,}2\,\text{K}\\ \displaystyle&amp;\displaystyle\approx 90\,^{\circ}\text{C}\ .\end{aligned}$$

Ohne Lötstopplack sinkt die Lottemperatur um 16 K.

2.4.2 Mehrschichtiger Aufbau: Wärmestrom parallel zur Schichtung

Die Oberflächentemperaturen $$T_{1}$$ und $$T_{2}$$ eines mehrschichtigen Aufbaus der Länge $$d$$ und der Breite $$b$$ werden durch Wärmeabgabe und Kühlung auf die Temperaturen $$T_{1}$$ und $$T_{2}$$ eingestellt ( $$T_{1}> T_{2}$$ ), Abb. 2.12. Der Temperaturverlauf parallel zur Schichtung ist in jeder Schicht gleich und lässt sich mit Gl. 2.1 berechnen. Der Wärmestrom $$\dot{Q}$$ durch die drei Schichten der Platte beträgt insgesamt:

$$\displaystyle\displaystyle\dot{Q}=\frac{b}{d}\,(\lambda_{1}h_{1}+\lambda_{2}h_{2}+\lambda_{3}h_{3})\,(T_{1}-T_{2})\ .$$

(2.23)

Für ein System, das aus $$n$$ Schichten besteht, gilt entsprechend:

$$\displaystyle{\displaystyle\dot{Q}=\frac{b\,h}{d}\lambda_{m}\,(T_{1}-T_{2})}\quad\text{mit}\quad{\displaystyle{h=\sum_{i=1}^{n}}h_{i}\quad\text{und}\quad{\displaystyle\lambda_{m}=\frac{\sum_{i=1}^{n}h_{i}\lambda_{i}}{\sum_{i=1}^{n}h_{i}}}}\ .$$

(2.24)

../images/453854_1_De_2_Chapter/453854_1_De_2_Fig12_HTML.png

Abb. 2.12

Wärmeleitung durch einen mehrschichtigen Aufbau mit Wärmestrom parallel zur Schichtung (oben) und Temperaturverlauf in den Schichten (unten)

Herleitung

Der gesamte Wärmestrom $$\dot{Q}$$ ist die Summe der Einzelwärmeströme durch die 3 Schichten:

$$\displaystyle\dot{Q}=\dot{Q}_{1}+\dot{Q}_{2}+\dot{Q}_{3}\ .$$

(2.25)

Mit den Wärmeströmen durch die einzelnen Schichten

$$\displaystyle\displaystyle\dot{Q}_{1}=\frac{b}{d}\,h_{1}\,\lambda_{1}\,(T_{1}-T_{2})\quad\dot{Q}_{2}=\frac{b}{d}\,h_{2}\,\lambda_{2}\,(T_{1}-T_{2})\quad\dot{Q}_{3}=\frac{b}{d}\,h_{3}\,\lambda_{3}\,(T_{1}-T_{2})\quad$$

folgt Gl. 2.23.

Bemerkung

Zu demselben Ergebnis (Gl. 2.23) führt wieder die Betrachtung mit einem einfachen Widerstandsmodell, Abb. 2.13. Der Gesamtwiderstand beträgt

$$R_{th,\mathrm{ges}}=\frac{T_{1}-T_{2}}{\dot{Q}} =\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R_{th,1}}+\frac{1}{R_{th,2}}+\frac{1}{R_{th,3}}}$$