Auswuchttechnik

Von Hatto Schneider

Auswuchten ist für das Qualitätsmanagement von Rotoren ein unverzichtbarer Prozess, der Etappen von der Konstruktion bis zur Inbetriebnahme umfasst. Mit jeder Weiterentwicklung der Rotoren – mit neuen Konzepten, Materialien und Bearbeitungsmethoden – verändern sich die Anforderungen an die Auswuchttechnik. Auf der Suche nach der jeweils optimalen Lösung dieser komplexen Aufgaben helfen keine Patentrezepte, sondern nur ein fundiertes Wissen über die theoretischen Hintergründe des Auswuchtens, seine praktische Durchführung und die Leistungsfähigkeit der verschiedenen Auswuchtsysteme.

In der 8. Auflage wird die neue Sichtweise der Auswuchttheorie erläutert, wie sie als Einführung in die Auswuchttechnik in DIN ISO 19499 beschrieben und in E-VDI 3835 – anhand von wellenelastischen Rotoren – vertieft wird. Das Buch beschreibt den aktuellen Wissensstand und die Normung auf diesem Spezialgebiet. Es soll die systematische Einarbeitung in das Fachgebiet – im Studium ebenso wie in der Industrie – sowie die ständig erforderliche Weiterbildung unterstützen.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Springer Vieweg
• Erscheinungsdatum: 30. Aug. 2013
• ISBN: 9783642249143

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Hatto SchneiderVDI-BuchAuswuchttechnik8., neu bearb. Aufl. 201310.1007/978-3-642-24914-3_1© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

1. Einführung

Hatto Schneider¹  

(1)

Rotor Balancing Consulting, Im Kantelacker 39, Heppenheim, 64646, Deutschland

Hatto Schneider

Email: [e-mail]

1.1 Entwicklung der Auswuchttechnik und der -maschinen

1.2 Normen und Richtlinien

Zusammenfassung

Auswuchten ist ein Vorgang, bei dem die Massenverteilung eines Rotors geprüft und – wenn erforderlich – soweit verbessert wird, dass die Unwuchten in zulässigen Grenzen liegen. Als Rotor in diesem Sinne gelten nicht nur alle die Teile, die sich im Betriebszustand drehen, sondern auch jene, die aus funktionalen Gründen drehbar gelagert sind und Beschleunigungen ausgesetzt sind.

Auswuchten ist ein Vorgang, bei dem die Massenverteilung eines Rotors geprüft und – wenn erforderlich – soweit verbessert wird, dass die Unwuchten in zulässigen Grenzen liegen. Als Rotor in diesem Sinne gelten nicht nur alle die Teile, die sich im Betriebszustand drehen, sondern auch jene, die aus funktionalen Gründen drehbar gelagert sind und Beschleunigungen ausgesetzt sind.

Rotoren können extrem unterschiedliche Eigenschaften haben und dadurch extrem unterschiedliche Aufgaben stellen, Tab. 1.1.

Tab. 1.1

Bandbreite von auszuwuchtenden Rotoren

Bei nahezu allen Rotoren wird heute das Auswuchten als unbedingt notwendig angesehen, sei es, um die Funktion der Maschine zu verbessern, ihre Lebensdauer zu verlängern, oder um durch einen schwingungs- bzw. geräuscharmen Lauf besondere Einsatzmöglichkeiten oder ein zusätzliches Verkaufsargument zu erhalten.

Obwohl die meisten Verantwortlichen von seiner Existenz wissen, findet der Auswuchtprozess auch heute noch häufig in einer Nische statt und wird nur in manchen Unternehmen einem der weit verbreiteten Qualitätsmanagementsysteme – z. B. DIN ISO EN 9000 – unterworfen.

Entsprechend den Qualitätsmanagementsystemen wären festzulegen:

das Qualitätsziel

das/die Verfahren, um dieses Ziel zu erreichen,

und die Überprüfung des Ergebnisses.

Für das Auswuchten sind das, und zwar für alle Rotoren, egal ob mit starrem Verhalten, oder mit wellenelastischem Verhalten:

die Auswuchtgüte,

das Auswuchtverfahren mit allen Details,

und die Überprüfung der erzielten Auswuchtgüte.

Während für andere Arbeitsgänge, wie z. B. Drehen, alle wichtigen Daten vorgegeben werden – die Werkzeugmaschine, die Aufnahme für das Werkstück, der Drehstahl, Schnittgeschwindigkeit, Vorschub, Spantiefe, Rüst- und Stückzeit – entzieht sich das Auswuchten häufig der Planung und der Kontrolle. Dem „Wuchtbereich" und den dort Tätigen überlässt man somit viele Details. Diese entscheiden dann aufgrund von Erfahrungen, oder eigenen Vorstellungen, was und wie es getan werden soll.

Das liegt hauptsächlich daran, dass das Grundlagenwissen der Auswuchttechnik noch nicht hinreichend Allgemeingut geworden ist. Manchmal wird auch unterschätzt, in welchem Maße Einsichten und Methoden inzwischen weiterentwickelt wurden. Man arbeitet mit tradierten Verfahren und Maßstäben, so dass die heute gegebenen Möglichkeiten nicht voll genutzt werden.

Es wird auch manchmal verkannt, dass die wesentlichen Voraussetzungen für einen realisierbaren und kostengünstigen Auswuchtvorgang bereits beim Entwurf eines Rotors geschaffen werden müssen.

Ebenso besteht häufig Unklarheit darüber, wie die verschiedenen Auswuchtprobleme am zweckmäßigsten gelöst werden, welche Möglichkeiten der Auswuchtmaschinenmarkt heute bietet und wie die Auswuchtmaschinen – die ja als Messmittel fungieren – regelmäßig geprüft werden können.

Dieses Buch soll zum Verständnis der Auswuchttechnik beitragen, dem Anfänger zur Einarbeitung in dieses Fachgebiet dienen, aber vor allem den Mitarbeitern in Industrie und Forschung eine selbständige Beurteilung der anstehenden Auswuchtprobleme ermöglichen.

1.1 Entwicklung der Auswuchttechnik und der -maschinen

Man kann annehmen, dass das Problem „Auswuchten" schon vor vielen tausend Jahren mit den ersten Wasser- und Windrädern auftauchte. Wenn diese Laufräder nicht hinreichend symmetrisch gebaut wurden, oder bei der Auswahl des Materials nicht sorgsam auf gleiche Dichte und identische Abmessung geachtet wurde, traten Schwierigkeiten auf: das Rad drehte sich gerne in eine bestimmte Position (schwere Stelle nach unten) und lief bei schwachen Strömungen erst gar nicht an.

Diese „statische Unwucht konnte man empirisch durch Zusatzmassen m auf dem Radius r (im Ruhezustand oberhalb der Achse) ausgleichen, so dass das Laufrad anschließend „rund lief (Abb. 1.1).

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Abb. 1.1

Ein Problem seit vielen Jahrtausenden: Eine statische Unwucht an einem Wasserrad, d. h. der Schwerpunkt liegt im Ruhezustand unterhalb der Achse. Die statische Unwucht kann durch eine Ausgleichsmasse m am Radius r korrigiert werden

Im Laufe der Zeit wurden die Hilfsmittel verbessert und Anfang des 19. Jahrhunderts hatte man die statische Unwucht hinreichend im Griff: die Rotoren wurden mit viel Geschick und Einfühlungsvermögen auf Schneiden oder Rollen „ausgependelt. Später wurden sie sogar auf speziellen Auswuchtwaagen „ausgewogen.

Manchmal mussten sie aber auch im Betriebszustand noch weiter korrigiert werden, um einen ruhigen und störungsfreien Lauf zu erreichen. Dazu wurden Ausgleichsmassen in unterschiedliche Positionen gesetzt und aus den Ergebnissen Rückschlüsse auf einen optimalen Ausgleich gezogen.

Mit den ersten schnelllaufenden Maschinen in der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts und dem Siegeszug der elektrischen Maschinen trat ein weiteres, bis dahin unbekanntes Unwuchtproblem auf, die erprobten Auswuchtmethoden reichten plötzlich nicht mehr aus. Man entdeckte eine weitere Unwuchtart, die „Momentenunwucht" (Abb. 1.2) und lernte, dass man sie nur unter Rotation erkennen kann, da sich im Ruhezustand die Wirkungen aufheben.

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Abb. 1.2

Ein bis dahin unbekanntes Problem, die Momentenunwucht: zwei gleich große, aber entgegengesetzt liegende Unwuchten in zwei verschiedenen Radialebenen. Eine Momentenunwucht kann nur während der Rotation entdeckt werden

Durch die wachsende Zahl der Dampfturbinen, Generatoren, Elektromotoren, Kreiselpumpen und -kompressoren wurde dieses Problem immer ausgeprägter. Im Betriebszustand oder in einfachen Gestellen und mit einfachen Markiermitteln – Kreide, Bleistift – wurde in zwei Ausgleichsebenen ausgewuchtet. Es war ein iteratives Verfahren, d. h. man kam dem Ziel nur in kleinen Schritten näher. Meist hatte jeder Hersteller rotierender Maschinen seine eigenen Auswuchtvorrichtungen, sein eigenes „Geheimrezept und spezielle Auswuchtexperten für diese „Geheimwissenschaft.

In den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts traten wiederum neue Probleme beim Auswuchten aus. Rotoren, die mit der Erfahrung der Vergangenheit ausgewuchtet wurden, zeigten gravierende Schwingungsprobleme. Es waren immer Rotoren, deren Betriebsdrehzahl knapp unterhalb oder sogar oberhalb einer Biegeresonanz liefen, die also typische Resonanzphänomene zeigten. Für diese Rotoren wurden zusätzliche bzw. ganz spezielle Auswuchtverfahren erforderlich, wobei man meistens in die Nähe dieser Resonanzen fuhr, um die Durchbiegungen durch gezielte Korrekturen in mehreren Ebenen reduzieren zu können. Später wurden diese besonderen Unwuchten „modale" Unwuchten genannt (Abb. 1.3).

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Abb. 1.3

Modale Unwucht: die Einzelunwuchten entlang des Rotors werden mit einer Biege-Eigenform (hier erste Eigenform) gewichtet. Zur Korrektur modaler Unwuchten werden im Allgemeinen mehr als 2 Ausgleichsebenen benötigt

Ein frühes Patent, das sich mit dem Auswuchten beschäftigte, wurde 1870 – also 4 Jahre nach Erfindung der Dynamomaschine durch W. VON SIEMENS – in Kanada von H. MARTINSON angemeldet (Abb. 1.4). Es handelte vom Antrieb durch eine Gelenkwelle und zeigt das Modell einer Auswuchtmaschine, das jedoch noch nicht auf die Belange der Industrie abgestimmt war.

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Abb. 1.4

Ein Auszug aus dem Patent von H. Martinson über eine Auswuchtmaschine, 1870. Es handelt sich hier eher um ein physikalisches Modell als um eine Lösung für die industrielle Produktion

Um die Jahrhundertwende erhielt die Auswuchttechnik neue Impulse durch N. W. AKIMOFF in den USA und A. STODOLA in der Schweiz.

In Deutschland wurde 1907 durch F. LAWACZEK eine Maschine zum Auswuchten in zwei Ebenen zum Patent angemeldet (Abb. 1.5) und bei Carl Schenck, Darmstadt, gebaut. Die erste Ausführung machte noch einige Probleme, aber die Idee wurde weiterentwickelt (Patent auf horizontale Auswuchtmaschine 1912) und durch die Arbeiten von H. HEYMANN erfolgreich modifiziert.

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Abb. 1.5

Auszug aus Patent Lawaczek (1907). Auswuchtmaschine mit vertikaler Anordnung des Rotors

Diese Maschinen wurden an Firmen in der ganzen Welt geliefert und stellten den Beginn einer industriellen Produktion von Auswuchtmaschinen dar.

Maschinen aus den Anfangsjahren des 20. Jahrhunderts haben nur wenige Gemeinsamkeiten mit den modernen Auswuchtmaschinen des beginnenden 21. Jahrhunderts. Zwar musste auch damals der Rotor eingelagert und angetrieben werden – im Grunde mit ähnlichen Elementen wie heute – aber die Messtechnik steckte noch in den Kinderschuhen.

Man war für die industrielle Nutzung auf robuste und einfach anwendbare Lösungen und damit auf rein mechanische Messmittel angewiesen.

Um die Messempfindlichkeit zu steigern, wurde während des Auslaufs in der Abstützungsresonanz gemessen, wobei als Nebenprodukt eine recht gute Frequenzselektivität (Unterdrückung von Störsignalen) anfiel.

Über die Winkellage konnten anfangs aber nur Vermutungen angestellt werden, und eine exakte Zuordnung der Messwerte zu den gewünschten Ausgleichsebenen (Ebenentrennung) war ebenfalls noch nicht möglich.

Mit einer Fülle von neuen Ideen und Patenten wurden in den folgenden Jahrzehnten die Maschinen vervollständigt und verbessert, Varianten oder neue Systeme entwickelt (Abb. 1.6). Wesentliche Ziele waren dabei immer die Verbesserung der Genauigkeit, um den steigenden Forderungen zu genügen, und eine Erhöhung der Wirtschaftlichkeit, die vor allem durch Kürzung der Stückzeiten erreicht werden konnte. Alle diese Fortschritte fanden damals nur auf der Maschinenbauseite statt.

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Abb. 1.6

Eine Lawaczek-Heymann-Auswuchtmaschine mit horizontal gelagertem Rotor (1), Pendelkugellager (2), Markierer für den Unwuchtwinkel (3) und für die Unwuchtgröße (4)

Dies änderte sich schon etwas mit der Einführung der mechanisch-elektrischen Messwertwandlers, aber die grundlegende Veränderung kam erst nach dem Zweiten Weltkrieg mit der raschen Entwicklung der elektronischen Messtechnik, der Halbleitertechnik und der Einführung von Computern in alle Bereiche der Industrie.

Mit der stärkeren Betonung der Messseite konnte die Mechanik der Auswuchtmaschine wieder einfacher gestaltet werden und hat, abgesehen von Sondermaschinen, wieder zu der übersichtlichen Bauweise der frühen Jahre zurückgefunden (Abb. 1.7).

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Abb. 1.7

Aktuelle Auswuchtmaschine für universelle Anwendung, mit Gelenkwellenantrieb und Schutz gegen wegfliegende Teile durch Teleskop-Verkleidung nach DIN ISO 7475, Klasse C

Alle wichtigen Aufgaben wie: Empfindlichkeit, Frequenzselektion, Ebenentrennung, Ausgleichsanweisung usw. werden heute von der Messeinrichtung übernommen.

Trotzdem hat die Mechanik auch heute eine große Bedeutung (wie man an den Details in Kap. 12 sieht), denn es geht letztlich immer um das harmonische Zusammenspiel von allen Komponenten: der Mechanik, der Antriebstechnik und der Messtechnik.

Auch wenn heute noch gelegentlich Auswuchtmaschinen älterer Bauart in Betrieb sind, werden im folgenden nur neuzeitliche Konzeptionen zu Grunde gelegt und beschrieben.

1.2 Normen und Richtlinien

Die ersten Bestrebungen, einheitliche Maßstäbe zu erhalten, betrafen die Maschinenschwingungen. In Deutschland begann Mitte der fünfziger Jahre des 20. Jahrhunderts ein Arbeitsausschuss der VDI¹-Fachgruppe „Schwingungstechnik die Arbeit für die Richtlinie VDI 2056 „Beurteilungsmaßstäbe für mechanische Schwingungen von Maschinen (1964).

Überlegungen zur Unwucht führten zu der Richtlinie VDI 2060 „Beurteilungsmaßstäbe für den Auswuchtzustand rotierender starrer Körper" (1966).

Die VDI-Richtlinie 2060 wurde dem zuständigen ISO²-Sekretariat als Vorschlag eingereicht. Sie war wesentliche Grundlage für die ISO 1940 „Balance quality of rotating rigid bodies" (1973).

Für die Verständigung auf dem Gebiet der Auswuchttechnik wurde die ISO 1925 „Balancing – Vocabulary" (1974) eine wesentliche Hilfe. In ihr wurden die wichtigsten Begriffe der Auswuchttechnik festgelegt und definiert.

Eine Anleitung für die vollständige Beschreibung und richtige Beurteilung von Auswuchtmaschinen für universellen Einsatz entstand mit der ISO 2953 „Balancing machines – Description and evaluation" (1975).

ISO 5406 „The mechanical balancing of flexible rotors (1980) beschreibt verschiedene Typen nachgiebiger Rotoren und ordnet ihrem Verhalten niedrigtourige und hochtourige Auswuchtverfahren zu. Auswuchttoleranzen für dieses Gebiet wurden in der ISO 5343 „Criteria for evaluating flexible rotor balance (1983) beschrieben. Beide wurden später zur ISO 11342 (mit dem gleichen Titel wie ISO 5406) zusammengefasst und aktualisiert.

Zu den Gefahren beim Auswuchten von Rotoren nahm erstmalig ISO 7475 „Balancing machines – Enclosures and other safety measures" (1984) Stellung und empfahl gestaffelte Maßnahmen.

Ein wichtiges Detail beim Auswuchten von Einzelteilen – die Behandlung von Passfedern – legte ISO 8821 (1989) fest.

Hinweise zur sachgemäßen Auslegung von Rotoren mit wellenelastischem Verhalten, abhängig von Eigenschaften der Rotoren, ihren Betriebsbedingungen und der modalen Dämpfung findet sich in ISO 10814 (1996).

Nach den frühen Jahren, in denen jedes Land seine eigenen Maßstäbe und Klassifizierungen aufgestellt hat, erfolgt bis etwa zur Jahrtausendwende die richtungweisende Arbeit bei der ISO – getragen von den wesentlichen Industrieländern – so dass die Verständigung auf internationaler Ebene auch auf diesem Gebiet einfacher wurde. Dann ließ das internationale Interesse leider etwas nach, es wurde jedoch noch ISO 20806 (2004) herausgegeben: Hinweise für das betriebsmäßige Auswuchten von mittleren und kleinen Rotoren.

Außerdem ist ISO 19499 (2007) erschienen, das Resultat einer langwierigen Diskussion. Diese Norm gibt eine aktuelle Einführung in die Auswuchttechnik und eine Übersicht über die Auswucht-Normen.

An Details wurde nicht mehr ernsthaft gearbeitet, so dass der für Deutschland zuständige Ausschuss C 6.1 im NALS³ zwei Arbeitskreise einrichtete, um wichtige Themen weiter zu bearbeiten:

AK 1: Statistische Verfahren in der Auswuchttechnik – Qualitätsfähigkeitskenngrößen zur Beurteilung des Unwuchtmessprozesses.

AK 2: Auswuchten von Rotoren mit wellenelastischem Verhalten – Verfahren zum Auswuchten bei mehreren Drehzahlen.

Die Grundlagen zur Beurteilung von Messprozessen bei multivariat normalverteilten Messergebnissen beschreibt die Norm DIN 55319-3 (2007). Hier wird auch ein Auswuchtbeispiel angeführt, aber das reicht in der Detaillierung nicht für eine zielgerichtete Anwendung. Deshalb wird in dem Arbeitskreis 1 versucht, die möglichen und sinnvollen Vorgehensweisen beim Auswuchten zu erläutern.

ISO 11342 (1998) beschreibt für das Auswuchten von Rotoren mit wellenelastischem Verhalten 9 verschiedene Verfahren, 6 niedrigtourige und 3 hochtourige. Für das wichtigste und universellste Verfahren G – das hochtourige Auswuchten bei mehreren Drehzahlen – nennt die Norm 2 verschiedene Kriterien für die Auswuchtgüte und zwei verschiedene Vorgehensweisen beim Auswuchtprozess.

Aufgrund neuerer Erkenntnisse kam der Arbeitskreis 2 zu dem Schluss, dass nur eine bestimmte Kombination tragfähig ist und hat diese in der Richtlinie zugrunde gelegt und beschrieben. Der Entwurf E-VDI 3835 wurde Sept. 2009 veröffentlicht, der Weißdruck folgt vermutlich 2013.

Viele ISO-Standards wurden wortgetreu übersetzt als DIN⁴ ISO Norm oder als VDI-Richtlinie veröffentlicht.

Die für die Auswuchttechnik wichtigen heute gültigen Normen und Richtlinien sind im Literaturverzeichnis aufgelistet. Eine nach Themen gegliederte Übersicht gibt Tab. 1.2.

Tab. 1.2

Übersicht über internationale Auswuchtnormen, neue Bezeichnungen kursiv, schon realisiert fett

Die maßgeblichen Gremien der ISO haben 2010 beschlossen, alle Auswuchtnormen unter einer Nummer – 21940 – zusammenzufassen, und nach einer vereinbarten Systematik Teile-Nummern zu vergeben. In Tab. 1.2 sind diese neuen Nummern kursiv dargestellt, die schon veröffentlichten Normen fett.

Eine Ausnahme stellt dabei ISO 2041 dar, da sie nicht nur für die Auswuchttechnik gilt, sondern allgemein für den Bereich Schwingungen und Stöße.

Die notwendigen Bearbeitungen reichen von rein editorischen Maßnahmen bis zu kompletten Überarbeitungen des technischen Inhalts, sie werden in den nächsten Jahren erfolgen. Dabei sollen die teilweise verstreuten Begriffe und Definitionen in der dafür eigentlich zuständigen ISO 1925 zusammengefasst und in den anderen Teilen – wo sie als neue Begriffe auftauchten – gestrichen werden.

Die deutschen Übersetzungen – DIN ISO – werden möglichst kurzfristig nach den jeweiligen ISO Ausgaben veröffentlicht.

Fußnoten

1

VDI: Verein Deutscher Ingenieure

2

ISO: International Organization for Standardization

3

NALS: Normenausschuss Akustik, Lärmminderung und Schwingungstechnik im DIN und VDI

4

DIN: Deutsches Institut für Normung

Hatto SchneiderVDI-BuchAuswuchttechnik8., neu bearb. Aufl. 201310.1007/978-3-642-24914-3_2© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

2. Physikalische Grundlagen

Hatto Schneider¹  

(1)

Rotor Balancing Consulting, Im Kantelacker 39, Heppenheim, 64646, Deutschland

Hatto Schneider

Email: [e-mail]

2.1 Physikalische Größen

2.2 Skalar und Vektor

2.2.1 Addition

2.2.2 Multiplikation

2.3 Maßsystem

2.3.1 Grundgrößen

2.3.2 Abgeleitete Größen

2.4 Physikalische Gesetze

2.4.1 Dynamische Grundgleichung

2.4.2 Massenanziehung

2.5 Kreisbewegung

2.5.1 Ebener Winkel

2.5.2 Winkelfrequenz

2.5.3 Bahngeschwindigkeit

2.5.4 Winkelbeschleunigung

2.5.5 Bahnbeschleunigung

2.5.6 Antriebsdrehmoment

2.5.7 Trägheitsmoment

2.5.8 Radialbeschleunigung

2.5.9 Fliehkraft

2.6 Schwingungen

2.6.1 Einmassenschwinger mit Fliehkraftanregung

2.6.2 Freiheitsgrade

2.6.3 Dynamische Steifigkeit

Zusammenfassung

Die Auswuchttechnik basiert in ihrer Theorie auf den allgemeinen physikalischen Grundlagen. Damit nicht aus anderen Büchern die einzelnen Ableitungen und Erklärungen mühsam zusammengesucht werden müssen, wurden die wichtigsten Punkte für das Auswuchten in den nächsten Abschnitten zusammengestellt.

Die Auswuchttechnik basiert in ihrer Theorie auf den allgemeinen physikalischen Grundlagen. Damit nicht aus anderen Büchern die einzelnen Ableitungen und Erklärungen mühsam zusammengesucht werden müssen, wurden die wichtigsten Punkte für das Auswuchten in den nächsten Abschnitten zusammengestellt.

2.1 Physikalische Größen

Physikalische Sachverhalte werden durch Gleichungen zwischen physikalischen Größen beschrieben. Wesentliches Merkmal einer Größe ist ihre Messbarkeit. Man unterscheidet Grundgrößen, die nicht durch Gleichungen auf andere, bereits festgelegte Größen zurückgeführt werden, und abgeleitete Größen, die aus der Verbindung der Grundgrößen untereinander entstehen.

Jede physikalische Größe ist aus Zahlenwert und Einheit zusammengesetzt, z. B.:

$$\begin{matrix} s & = & 12 & {\text{m}} \\ \begin{aligned} \text{Kurzzeichen}\;{\text{f{\"u}r}} \\ \text{{die\;Gr{\"o}{\ss}e}\;(Weg)}\\\end{aligned} & {} & \text{Zahlenwert} & \text{Einheit} \\\end{matrix}$$

Die Einheit ist eine willkürlich gewählte und vereinbarte Bezugsgröße für die physikalische Größe. Damit die Zahlenwerte nicht zu groß oder zu klein werden, verwendet man dekadische Vielfache und dezimale Teile der Einheiten, z. B. km und mm (s. 19.3.1). Nur bei Vielfachen der Zeiteinheit Sekunde sind nicht-dekadische Vielfache (Minute, Stunde, Tag, Jahr) zugelassen.

2.2 Skalar und Vektor

Es gibt ungerichtete Größen, die Skalare, und gerichtete Größen, die Vektoren. Ein typischer Skalar ist die Masse: Die Angabe 7,5 kg ist zur Beschreibung der Sachlage ausreichend. Die Eigenschaft eines Vektors kann man sich z. B. am Weg klarmachen: Die Angabe 12 m ist offensichtlich nicht ausreichend. In der Umgangssprache setzt man meistens hinzu: hoch, lang, weit o.ä., bei einem gegebenen Objekt oder Vorgang bedeutet dies eine Richtungsangabe.

Zur Veranschaulichung physikalischer Sachverhalte oder Vorgänge verwendet man Koordinatensysteme (Bezugssysteme) und gibt die Lage der Vektoren darin an. Vektoren werden am besten durch Pfeile dargestellt, die in die gewünschte Richtung weisen, wobei die Länge dem Betrag entspricht. In Gleichungen werden Vektoren mit einem querliegenden Pfeil über dem Kurzzeichen gekennzeichnet, der Weg also z. B. mit $$\vec{s}$$ .

Beim Rechnen zeigen Skalare und Vektoren wesentliche Unterschiede.

2.2.1 Addition

Grundsätzlich dürfen nur Größen mit der gleichen Einheit addiert oder subtrahiert werden. Während aber bei den Skalaren die Maßzahlen nur unter Berücksichtigung ihrer Vorzeichen miteinander verrechnet werden (3 kg + 9 kg = 12 kg), müssen die Vektoren „vektoriell" addiert werden: An den Endpunkt des Vektors $${{\vec{s}}_{1}}$$ wird der Vektor $${{\vec{s}}_{2}}$$ angefügt, die vektorielle Summe ist der Vektor vom Anfang des Vektors $${{\vec{s}}_{1}}$$ zum Ende des Vektors $${{\vec{s}}_{2}}$$ (Abb. 2.1a).

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Abb. 2.1

Addition und Subtraktion von Vektoren. a Addition. b Subtraktion

Die Differenz $${{\vec{s}}_{1}}-{{\vec{s}}_{2}}$$ wird gebildet, indem $${{\vec{s}}_{2}}$$ in der entgegengesetzten Richtung angetragen und dann nach dem gleichen Schema verfahren wird (Abb. 2.1b): $${{\vec{s}}_{1}}+(-{{\vec{s}}_{2}})$$ .

2.2.2 Multiplikation

Aus der Multiplikation eines Skalars mit einem anderen Skalar entsteht wieder ein Skalar, z. B.

$$ Pt=W\quad \quad \quad \text{Leistung}\cdot \text{Zeit}=\text{Arbeit} $$

(2.1)

Wird ein Skalar mit einem Vektor multipliziert, so entsteht ein neuer Vektor, der im allgemeinen einen anderen Betrag, aber immer die gleiche Wirkungsachse hat wie der ursprüngliche Vektor, z. B.

$$ \vec{v}t=\vec{s}\quad \quad \quad \text{Geschwindigkeit}\cdot \text{Zeit}=\text{Weg} $$

(2.2)

Bei der Multiplikation zweier Vektoren gibt es dagegen zwei grundsätzlich verschiedene Formen:

Das skalare Produkt hat, wie der Name schon sagt, einen Skalar als Ergebnis, die Gleichung lautet z. B.

$$ {\vec{F}}{\vec{s}}={{W}};\quad \quad \quad \text{Kraft}\cdot \text{Weg}=\text{Arbeit} $$

(2.3)

Solange die Kraft mit dem Weg in einer Linie liegt, kann man dafür auch schreiben: Fs = W, ohne den Vektorcharakter der Kraft und des Weges zu berücksichtigen (die Vorzeichen müssen aber beachtet werden). Steht die Kraft senkrecht auf dem Weg, so ist die Arbeit gleich null. Es ist daher nur die Komponente in Richtung des Weges zu berücksichtigen (Abb. 2.2). In diesem Fall werden die Größen wie Skalare behandelt.

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Abb. 2.2

Beispiel für ein skalares Produkt: Arbeit ist Kraft · Weg

$$ F\,s\,\cos \varphi =W\quad \quad \quad {\rm N}{\cdot}{\rm m} $$

(2.4)

Bei einem Vektorprodukt erhält man als Ergebnis wieder einen Vektor, der eine bestimmte Lage zu den ursprünglichen Vektoren einnimmt, z. B.

$$\vec{r}\times \vec{F}=\vec{M};\quad \quad \quad \text{Radius\;,,kreuz`` Kraft}=\text{Drehmoment}.$$

(2.5)

Entgegengesetzt zu dem skalaren Produkt ist dabei das Ergebnis besonders groß, wenn zwischen Radius- und Kraft-Vektor ein rechter Winkel ist, das Ergebnis ist null, wenn beide Vektoren in die gleiche Richtung weisen. Zahlenmäßig bedeutet dies

$$ rF\sin \varphi =M\quad \quad \quad {\rm N}{\cdot}{\rm m} $$

(2.6)

Die Richtung, in der man den Radiusvektor drehen muss, um ihn auf dem kürzesten Wege in die gleiche Richtung zu bringen wie den Kraftvektor, gibt den Drehsinn des Momentes an (Abb. 2.3).

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Abb. 2.3

Beispiel für ein Vektorprodukt: Drehmoment ist Hebelarm × Kraft

Der Vektor des Drehmomentes steht senkrecht auf der Ebene, in der $$\vec{r}$$ und $$\vec{F}$$ liegen (also hier senkrecht auf der Bildebene), die Spitze zeigt nach unten. Man sieht also auf sein Rückende (man sagt auch, dass er die Bewegungsrichtung einer Rechtsschraube unter der Drehung des Momentes angibt).

Daraus ergibt sich, dass $$\vec{r}$$ und $$\vec{F}$$ nicht einfach vertauscht werden dürfen (da sich ein anderer Drehsinn ergeben würde); als Gleichung geschrieben ergibt sich

$$ \vec{r}\times \vec{F}=-\vec{F}\times \vec{r}\quad \quad \quad {\rm N}{\cdot}{\rm m} $$

(2.7)

Die Angabe des Drehmomentvektors enthält drei Aussagen: die Drehachse, die Größe und die Drehrichtung des Momentes.

2.3 Maßsystem

Im Internationalen Einheitensystem SI (ISO 80000, DIN 1301, DIN 1304) sind sechs Grundgrößen festgelegt.

2.3.1 Grundgrößen

Von diesen Grundgrößen interessieren uns für das Gebiet der Auswuchttechnik nur folgende:

Weg s mit der Einheit Meter m,

Zeit t mit der Einheit Sekunde s,

Masse m mit der Einheit Kilogramm kg.

Während Weg und Zeit leicht verständlich sind, muss die dritte Grundgröße etwas näher erläutert werden.

Die Masse ist eine Körpereigenschaft, ortsunabhängig und kann in diesem Zusammenhang (beim Auswuchten) als konstant angenommen werden. Eine Masse wird üblicherweise auf einer Waage gemessen – im Vergleich zu geeichten Gewichtsstücken oder durch direkte Anzeige (DIN 1305).

2.3.2 Abgeleitete Größen

Wichtige abgeleitete Größen für das Auswuchten sind:

Geschwindigkeit $$\vec{v}$$ als Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dazu benötigten Zeit.

$$ \vec{v}=\displaystyle\frac{{\vec{s}}}{t}\quad \quad \quad \text{in m}/\text{s} $$

(2.8)

Ist die Geschwindigkeit $$\vec{v}$$ nicht konstant, entspricht dieser Wert der Durchschnittsgeschwindigkeit. Soll die Momentangeschwindigkeit angegeben werden, so muss geschrieben werden:

$$ \vec{v}=d{\vec{s}}/dt\quad \quad \quad \text{in m}/\text{s} $$

(2.9)

Unter $$d{\vec{s}}$$ und $$dt$$ sind unendlich kurze Weg- und Zeitintervalle zu verstehen. Geschwindigkeits- und Wegvektor haben stets die gleiche Richtung.

Beschleunigung $$\vec{a}$$ gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.

$$ \vec{a}=d{\vec{v}}/dt\quad \quad \quad \text{in (m}/\text{s)}/\text{s bzw}.\;\text{m}/{{\text{s}}^{\text{2}}} $$

(2.10)

Wird die Geschwindigkeit größer, dann wird $$\vec{a}$$ positiv, verringert sie sich, so wird $$\vec{a}$$ negativ (Abb. 2.4).

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Abb. 2.4

Lage der Geschwindigkeitsvektoren. a Beim Beschleunigen, wobei $\Delta \vec{v}$ gleichgerichtet mit ${{\vec{v}}_{1}}$ ist und damit $\vec{a}$ positiv wird. b Bei der Verzögerung (Bremsen), wobei $\Delta \vec{v}$ und $\vec{a}$ negativ werden

In der Umgangssprache wird dieser Vorgang unterschiedlich bezeichnet: im einen Fall mit Beschleunigen, im anderen mit Bremsen.

2.4 Physikalische Gesetze

Zum Verständnis der Theorie der Auswuchttechnik und zum praktischen Umgang sind zwei physikalische Gesetze wesentlich, die kurz erläutert werden sollen.

2.4.1 Dynamische Grundgleichung

Die dynamische Grundgleichung (das dynamische Bewegungsgesetz) lautet:

$$ \vec{F}=m\frac{d{\vec{v}}}{dt}=m\vec{a}\quad \quad \quad \text{Kraft}=\text{Masse}\cdot \text{Beschleunigung} $$

(2.11)

Bei einem Körper mit der Masse m ändert sich der Geschwindigkeitsvektor auf Grund einer angreifenden Kraft $$\vec{F}$$ . Die Kraft ist ein Vektor und hat die gleiche Richtung wie $$d{\vec{v}}$$ bzw. $$\vec{a}$$ . Die Einheit der Kraft ergibt sich, wenn eine Masse von 1 kg mit 1 m/s² beschleunigt wird, sie wird Newton genannt:

$$ \text{1}\;\text{kg}\cdot \text{1}\frac{\text{m}}{{{\text{s}}^{\text{2}}}}=\text{1\;N}\quad \quad \quad \text{1 Newton} $$

(2.12)

Die Kraft, die unter der Erdbeschleunigung $$\vec{g}=9,81\;\text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}}$$ auf einen Körper einwirkt, nennen wir seine Gewichtskraft $$\vec{G}$$ :

$$ \vec{G}=m\vec{g}\quad \quad \quad \text{N} $$

(2.13)

Die Gewichtskraft einer Masse von 1 kg ist

$$ G=\text{l}\;\text{kg}\cdot\text{9,81}\;\text{m}/{{\text{s}}^{\text{2}}}=\text{9,81}\;\text{N}$$

(2.14)

Für Näherungsrechnungen kann g ≈ 10 m/s² gesetzt werden, so dass die Gewichtskraft G einer Masse von 1 kg ≈ 10 N ist.

2.4.2 Massenanziehung

Die Erdanziehung und damit die Gewichtskraft ist ein Sonderfall des Massenanziehungsgesetzes, wonach sich zwei Massen gegenseitig anziehen; es ergibt sich:

$$ \vec{F}=a\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}\quad \quad \quad a\;\text{Konstante}\;\text{in}\;\text{N}\cdot {{\text{m}}^{\text{2}}}/\text{k}{{\text{g}}^{\text{2}}} $$

(2.15)

Dabei sind m 1 und m 2 die beiden Massen und r der Abstand zwischen ihren Schwerpunkten. Mit der Masse des Körpers m 1 und der Erde m 2 wird deutlich, dass die Gewichtskraft auf der Erde anders als z. B. auf dem Mond ist, also keine Konstante des Körpers sein kann.

2.5 Kreisbewegung

Alle Körper, für die das Auswuchten von Bedeutung ist, rotieren oder sind zumindest drehbar gelagert. Die Drehbewegung und alle mit ihr zusammen hängenden Begriffe und Formeln sind also für die Auswuchttechnik sehr wichtig. In den nächsten Abschnitten werden die wichtigen Grundlagen erläutert und die beim Auswuchten benötigten physikalischen Größen abgeleitet. Dabei geht es mehr um das grundsätzliche Verständnis als um eine exakte Mathematik.

2.5.1 Ebener Winkel

Bewegt sich in Abb. 2.5 ein Punkt auf einer Kreisbahn mit dem Radius r von 1 nach 2, so hat er den Weg b zurückgelegt. Der Quotient

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Abb. 2.5

Zusammenhang zwischen Bogen $\vec{b}$ , Radius $\vec{r}$ und Winkel $\vec{\upvarphi }$

$$ \frac{b}{r}=\varphi \quad \quad \quad \text{mit}\;\text{Radiant}\;\text{(rad)}\;\text{als}\;\text{Einheit} $$

(2.16)

wird als ebener Winkel bezeichnet.

Der ebene Winkel ist ein Vektor, der gleichzeitig die Drehachse, den Drehsinn und den Drehwinkel festlegt¹. In Abb. 2.5 weist er im Mittelpunkt 0 aus der Bildebene nach vorn (Rechtsschraube). Für b = r wird φ = 1 rad, für einen vollen Umlauf ergibt sich b = 2π r und damit φ = 2π rad.

Es ist ersichtlich, dass der ebene Winkel eine analoge Angabe zum Winkel in Grad ist: Beide Bezeichnungen geben auf unterschiedliche Art an, welche Drehung der Strahl vom Kreismittelpunkt 0 zum Punkt während dessen Wanderung von 1 nach 2 durchgeführt hat. In Winkelgraden ausgedrückt, ist eine volle Umdrehung 360°, als ebener Winkel 2π rad; daraus folgt:

$$ 1\ rad=\frac{360{}^\circ }{2\pi }\cong 57,3{}^\circ$$

(2.17)

Wird Gl. (2.16) nach b aufgelöst und als Vektorprodukt geschrieben, so erhält man mit

$$ \vec{b}=\vec{\varphi }\times \vec{r}\quad \quad \quad \text{mit}\,\text{m}\,\text{als}\,\text{Einheit} $$

(2.18)

eine sehr einfache Berechnungsmöglichkeit für die auf der Kreisbahn zurückgelegte Strecke.

2.5.2 Winkelfrequenz

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung vergrößert sich der Vektor $$\vec{\upvarphi }$$ stetig. Teilt man den ebenen Winkel $$\vec{\upvarphi }$$ durch die Zeit, die während der Drehung vergeht, so erhält man die Winkelfrequenz $$\vec{\omega }$$ zu

$$ \vec{\omega }=\frac{{\vec{\varphi }}}{t}\quad \quad \quad \text{mit}\;\text{rad}/\text{s}\;\text{als}\;\text{Einheit} $$

(2.19)

Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung ändert sich die Winkelfrequenz dauernd. Um den Momentanwert der Winkelfrequenz zu erfassen,