Als Anne Senft berühmt zu werden drohte: Die Geschichte einer wundersamen Entdeckung

Von Thomas Bokelmann

Das Zerlegen großer Zahlen in Primfaktoren gilt unter Experten als schwierig. Genau auf diese Schwierigkeit vertraut der Internet-Standard der Datenverschlüsslung, mit dem wir als User täglich zu tun haben, ohne es zu merken. Das Produkt zweier großer Primzahlen kann zur Not von Hand bestimmt werden, während es umgekehrt auch mit leistungsfähigen Rechnern extrem aufwendig ist, eine solche Monsterzahl wieder zu zerlegen. Auf diesem Problem beruhen die heute üblichen Verfahren. Nur Quantencomputer, so die gängige Meinung, könnten die Rückverwandlung schnell genug erledigen.
Doch nun kommt ein schräger, frecher Text ins Spiel, der zum ersten Mal, soweit ersichtlich, eine Gitterstruktur beschreibt, die mit den Primzahlen zusammenhängt und über eine einfache Befehlszeile gebildet wird. Die Bauart dieses Gitters macht es möglich, Primfaktoren quasi auf Knopfdruck auszulesen, schneller vermutlich, als mit einem Quantenrechner.
Der Clou: Das Thema, so technisch es klingen mag, ist gut versteckt in der unterhaltsamen, stellenweise zum Schreien komischen Rahmenhandlung eines modernen Märchens. Die Entdeckung der Gitterstruktur gelingt dort einer Schülerin aus Norddeutschland, und das passt genau ins Bild. Obwohl lange unauffindbar, erweist sich der Zusammenhang nach getaner Arbeit als unanständig simpel, Neugierde genügte, ihn aufzudecken. Es sind halbe Kinder, die den Schatz finden, und wer den unbeschwerten Aktionen dieser Helden folgt, wird im Vorübergehen, fast spielerisch davon erfahren. Man liest ein wenig, und ohne es recht zu merken, hat man was erkannt. Nur das Vorwort richtet sich exklusiv an fachlich versierte Leser, abgesehen davon sollten Jung und Alt zu ihrem Lesespaß kommen.
Das Buch enthält Abbildungen und Tabellen, aber keine Formeln oder Befehlszeilen. Wer sich damit auskennt, kann die Sachen in einer Tabellenkalkulation selber testen.
Müssen wir nun warten, bis Kinder sich der Sache annehmen, oder werden Fachexperten auch mal etwas beitragen?

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: tredition
• Erscheinungsdatum: 14. März 2017
• ISBN: 9783743903159

Thomas Bokelmann

Der Autor wuchs in Oberschwaben auf und betätigte sich zunächst, um Abstand zum Tagwerk zu gewinnen, abends bzw. nachts als Textmacher. Dabei geschahen merkwürdige Dinge. Die Texte wurden länger und länger, nach einiger Zeit ging ich regelmäßig früh morgens, vor allen anderen Arbeiten, an den Rechner und brachte die Texte voran, als hätte ich nie etwas anders getan. Mir würde etwas fehlen, wenn es anders wäre.

Buchvorschau

Kleines Vorspiel für fachlich vorbelastete Leser, alle anderen sollten hier souverän schwänzen

Das Auffinden eines Verfahrens, mit dem im Prinzip alle Primzahlen der Reihe nach und ohne die Notwendigkeit von Tests bestimmt werden können, war weniger ein mathematisches als ein strategisches Problem. Im Grunde war's ein Spiel mit Gedanken und Möglichkeiten, zunächst ohne praktischen Bezug. Auch das Sieb des Eratosthenes liefert die exakte Reihe der Primzahlen, indem es Schritt für Schritt alle Produkte aus der Reihe natürlicher Zahlen herausfiltert. Da keine Formel zugrunde liegt, blieben technische Anwendungen aus.

Die hier vorgestellte Methode beschreibt zum ersten Mal eine mit den Primzahlen zusammenhängende, verschränkte Gitterstruktur, aus der sich eine einfach zu programmierende Formel ableiten lässt. Dadurch wird auch das Problem des Faktorisierens, das in der Mathematik (noch) als schwierig gilt, beherrschbar, mit weitreichenden Folgen. Erinnern wir uns.

Praktische Bedeutung haben Primzahlen hauptsächlich in der Datenverschlüsselung. Das Produkt zweier großer Primzahlen lässt sich leicht darstellen, kann aber nur unter hohem Aufwand wieder faktorisiert, d.h. in seine Bestandteile zerlegt werden. Auf dieser Schwierigkeit beruht u.a. die Sicherheit des verbreiteten RSA- Standards. Obwohl durch das Zahlkörpersieb und andere neue Verfahren Schlüssel von beachtlicher Länge nach jahrelangen Operationen im Rechnerverbund diskreditiert wurden, gilt das Verfahren an sich als sicher, da die Schlüssel relativ einfach verlängert werden können, während zugleich die Zahl der Möglichkeiten exponentiell zunimmt. Aber: das Gespenst des Quanten-Computers steht bereits im Raum. Diese Rechner, deren Bits beide Zustände, null und eins, gleichzeitig annehmen sollen, würden unter Verwendung des Shor-Algorithmus, in dem deterministische Formeln durch solche aus der Quantenphysik ergänzt werden, Primzahl-Schlüssel beliebiger Länge in kurzer Zeit diskreditieren. Die technischen Voraussetzungen zur Produktion dieser Chips in brauchbarer Größenordnung sind extrem hoch, Experten rechnen mit weiteren zehn bis fünfzehn Jahren Entwicklungszeit.

Nun könnte sich das Bild allerdings ändern. Wer mit Primzahlen und ihren Produkten arbeitet, um Authentifizierungen zu senden oder Daten zu verschlüsseln, muss sich wohl schon früher auf die Suche nach besseren Ideen begeben. Alle kryptografischen Methoden, die ausschließlich auf dem Faktorisierungsproblem beruhen, gehen möglicherweise auch ohne Quantenrechner den Bach hinunter.

Bei dem hier vorgeschlagenen BOTH-Radar spielt Rechnerleistung nicht die entscheidende Rolle. Einmal programmiert, liefert die Methode Primzahlen bis zur Darstellungsgrenze und als Nebeneffekt oder Hauptzweck, je nachdem, deren Produkte samt Faktoren vor und zurück. Man ruft die Daten auf und liest das Gesuchte ab, weil es eine Darstellungsart gibt, die für jedes Produkt solcher Primzahlen die Information über die enthaltenen Faktoren anzeigt. Die Subtraktion zweier Nachbarzahlen liefert das Ergebnis.

Experten werden an dieser Stelle abwinken, klar, es kann ja nicht sein. Und falls doch, so wird man fragen, wie will er das exponentielle Wuchern der Datenmengen in den Griff bekommen?

Was soll ich denn sagen?

Als mir klar wurde, dass dieses Verfahren nirgendwo beschrieben wird, kamen auch mir Fragen, ich wollte es nicht glauben. Das Thema fällt nicht ansatzweise in mein Fach, und das Wuchern der Datenmengen schien mir eine ernst zu nehmende Sache. Andererseits fiel mir auf, was für Klimmzüge weltweit unternommen wurden und werden, um die Faktoren einzelner Schlüssel zu finden.

Was man vorab sagen kann, ist dieses.

Die Abläufe beim Aufbau eines hinreichend großen Gittersystems der vorgetragenen Art entsprechen sehr wahrscheinlich nicht dem, was man polynomielle Laufzeit genannt hat, zumal sie theoretisch ad infinitum laufen können. Aber der Aufwand ist einmalig und die Ergebnisse bleiben, das Gitter ist real. Es bildet eine Art Chip, der aufgrund seiner Bauart Informationen enthält, die wir ansteuern und auslesen können, was nur mit dieser Zahlengruppe möglich ist. Auch das Raster, mit dem gesiebt wird, gerät schnell groß und größer, die Rechenvorschrift dabei dermaßen simpel, dass es eine Schande ist: Das Gitter entsteht aus lauter Additionen. Außerdem gibt es einen Faktor drei, der die Möglichkeiten zugunsten der Ergebnisse beschränkt. Weitere Filter sind zuschaltbar. Mit Hilfe von Quadratzahlen kann eine Art Grenze eingezogen werden. Schließlich besteht die Möglichkeit, die Suche auf beliebige Sektoren zu beschränken, ohne das Gesamtsystem aufzusetzen. Dazu wird nur jeweils eine, automatisch entwickelte Zeile gespeichert. Oder man fügt sie anderen Fragmenten des begonnenen Systems hinzu, die zugehörige Ordnungszahl läuft mit. Es gibt keine falschen Ergebnisse, jede einzelne der so entwickelten Positionen ist korrekt und innerhalb des Systems immer wieder nützlich, wobei eine jede mit allen anderen logisch verknüpft ist. Als Suchradar ohne System werden die Positionen in einem Durchgang generiert und gescannt. Keine Ahnung, was die Struktur sonst noch hergibt. Kommt sie in der Natur vor? Ermöglicht die Art, wie sie taktet, technische Anwendungen?

Wie angedeutet hat der Verfasser dieser Zeilen den zweifelhaften Vorteil, nicht vom Fach zu sein. In diesem Text jedoch geht es im Wesentlichen um die Projektion des von Leibniz und anderen verwendeten Ausdrucks zur Identifizierung von Primzahl-Kandidaten auf das Format einer 6-Stunden-Uhr, jawohl. Habe ich nicht gesagt, dass es Kinderkram ist? Nachplappern genügt!

Als ich bis hier geschrieben hatte, ereignete sich ein schrecklicher Zwischenfall.

Wie von einem bösen Blitz getroffen wurde mir klar, dass dieser Stoff für Experten überhaupt nicht geeignet ist. All diese Leute, rief der böse Blitz, werden mit vereinten Kräften dasselbe tun, was sie immer getan haben. Sie erfinden tausend Methoden, um ihn besonders schwierig aussehen zu lassen und Kinder so lange für dumme zu verkaufen, bis sie nur noch kotzen wollen.

Und seht nur, ich habe verstanden. Dieses eine Mal müssen Experten und Lehrer bei jungen Helden in die Schule gehen, um die Revolution nicht zu verschlafen. Dass die Lösung des alten Faktorisierungsproblems mit der Gitterstruktur geradezu unanständig simpel ist, als weitere Zumutung.

Ich lade Sie also ein, diese Kröten zu schlucken, und wage zu behaupten, dass es Ihnen sogar Vergnügen bereiten wird. Nur Geduld! Folgen Sie den Helden unserer Geschichte auf ihrer unbeschwerten Schlingerbahn und lassen sich zeigen, warum das sogenannte Primzahl-Rätsel eine Mystifikation darstellt, die nach all der Zeit nun entschleiert wurde.

Th. Bokelmann

Erstes Kapitel, in dem wir Anne kennenlernen

Anne Senft, Schülerin der Ricarda-Huch-Gesamtschule unsrer kleinen, inmitten der Moorlandschaft des Nordens gelegenen Stadt, erledigte nicht alles immer so, wie man das von ihr erwartete. Es wäre gelogen, das zu behaupten. Niemand konnte vorhersehen, was sie im nächsten Augenblick tun würde. Oft kam es vor, dass sie innehielt und zu träumen schien, während in Wirklichkeit unheimlich viele Prozesse liefen. Innerlich eben, in ihrem Rechenzentrum. Man wusste nur, dass es ratterte. Und sagt nicht, Senft klinge wie sanft. Es sind eher Gegensätze, man merkt's nur nicht sofort.

Beim Outfit etwa, ihr hättet nichts gemerkt. Ob die Söckchen verschiedene Farben haben oder gleiche: wer möchte das überhaupt noch wissen? Oder nehmt den Gürtel. Er war nicht mal selbstgemacht wie andere Sachen, die sie trug, es zählten nur die aktuell befestigten Trophäen, das Gebimmel und spezielle Utensilien, die sich als nützlich erweisen könnten, ihr versteht mich, ein Lederband etwa mit herabhängender Feder.

Um das zu verstehen, müsste man wissen, dass Annes Onkel im Garten sieben Hühner samt Gockel hält, und dass der Falke, als er mal ein Küken holen wollte, ihr diese Feder überließ. Da sagt man ja nicht nein. Hat es übrigens nicht gekriegt, das kleine, gelbe Büschel. Überhaupt lässt sich vieles durchaus erklären, ich meine bei Anne. Abstehende Zöpfchen beispielsweise mit eingeflochtenen Perlen und Glitzerfunkel, wenn sie die trug, wiesen auf die Hauptrichtungen des Universums da draußen und auf Sternbilder, die sie kannte, freilich nur ungefähr.

Hing aber auch davon ab, was ihr durch den Kopf ging und in welcher Reihenfolge, das kann sich natürlich ändern. Im Grunde war′s ein Spiel mit flexiblen Regeln. Nur an Fasching, wenn alle Welt auf den Putzzu hauen pflegt, trug sie graues Einerlei, das fällt natürlich auf.

Auch an ihrem Verhalten, hey, ihr hättet lange nichts gemerkt. Wenn sie mit Huckebein sprach oder mit Lisa und Onkel Tom, es war, als könnte sie kein Wässerchen trüben. Anders allerdings bei Thalersepp, amtlich Josef Thaler, dem vermutlich schlechtesten Mathelehrer des Universums. Auf diesen war sie nicht gut zu sprechen, um vorsichtig zu formulieren. Er wird als Fossil aus einer abgelebten Zeit betrachtet, so übel sein Unterricht, doch ausgerechnet in unserer Stadt konnte das Relikt überdauern.

Es soll andererseits nicht verschwiegen werden, dass Thaler serienmäßig die schönsten Zahlen schrieb, die man sich nicht vorstellen kann. Seine Zahlen waren ungeheuer wundersam, wie der Dichter sagt, an der Tafel, in Zeugnissen und Unterlagen, man geriet ins Schwärmen, so schön. Anne immer ausgenommen. Sie beobachtete lieber den rüttelnden Falken, bis er sich jäh in die Tiefe stürzte. Wenn sie mit Lisa abhing und das Gespräch auf Thaler kam, hielten sich beide die Nasen zu. Lisa wieder, ihr habt es erraten, ist die beste Freundin des Universums, dabei etwas älter und eine Klasse höher, damit muss man leben in einer ungerechten Welt.

Als Thaler die Multiplikation durchnahm, bahnten sich in Annes Umgebung einschneidende Veränderungen an. Zunächst stellte sich heraus, dass sie schneller antwortete als Tainie Thalersepp, Sohn des Mathelehrers, im Scherz auch TT die Kröte genannt, weil er daheim absolut nichts zu lachen hatte. Vermutlich besaß er keinen einzigen Lachmuskel. Habt ihr mal eine Kröte mit Lachfalten gesehen? Na also.

Tainie bedeutet mickrig oder zierlich, jedenfalls im Vergleich zum hochgewachsenen Vater. Er konnte einem leid tun auch wegen der Gesamtmenge an Geboten und Vorschriften, die er beachten musste. Kann es sein, dass so ein Wust das System ausbremst? Was haltet ihr von der These?

Ich denke, die Vorschriften wirkten wie ein Rohrverstopfer, wie eine Drosselklappe in einem sonst gut drehenden Motor. Doch wenn der Motor nicht in Fahrt kam, zog Thaler noch mehr Vorschriften aus dem Ärmel. Auch ein Scheißjob! Nachmittags hatte Tainie regelmäßig Ausgehverbot. Er musste Hausaufgaben machen oder Zahlen malen, Zahlen über Zahlen, um perfekt zu werden wie Vater Thalersepp.

Schön gelegen übrigens, unsere Stadt, mit einem See und einer Insel voller Vogelkot, ich komme darauf zurück. Ist meine Heimat und vermutlich der schönste Ort des Universums, soweit man das beurteilen kann. Ich habe natürlich nicht den vollen Durchblick!

Und doch kann ich's mir ungefähr ausrechnen. Zuerst muss man allerdings multiplizieren oder so, und zu diesem Zweck öffne ich ein ...

Zweites Kapitel, in dem wir mehr von Anne und ihren Einfällen erfahren

Wir blicken zurück, denn ein paar Jährchen ist es her, dass Anne mit den Grundrechenarten zu tun bekam. Ich weiß nicht genau, wie viele. Lernt man zwei mal zwei im Kindergarten? Jedenfalls in erster Näherung. Später bekam sie nochmal damit zu tun, in der zweiten oder dritten Klasse, keine Ahnung. Für euch eine entsetzlich langweilige Sache, schon klar, aber wartet einen Moment. Es ist anders, als ihr denkt. Außerdem nur ein Rückblick. Und es wird keine Hausaufgaben geben, Leute, deren Bedeutung heute maßlos überschätzt wird. Je weniger die Lehrer taugen, desto mehr geben sie auf, wenn ich mich recht erinnere. Womit wir bei Thaler und seinem Unterricht wären.

»Wie viel ist sieben mal acht, hopp-hopp? Wie viel neun mal drei?«

Thalersepp auf der Lauer nach falschen Antworten, ihr habt es erfasst.

Bevor Tainie die Hand heben konnte, gab Anne die Antwort. Als sie dazu verdonnert wurde, ihre Hand gefälligst zu heben, war sie wieder schneller, kam aber nur selten zum Zug. Das Spiel wurde langweilig.

Wenn ihr Arm nicht oben war, wurde sie fast immer drangenommen, weil Thaler eine Chance sah, ins Geschäft zu kommen. Immer vergeblich! Ihre Antworten kamen wie aus der Pistole geschossen, es dauerte aber eine Weile, bis Thaler ihre Taktik durchschaute. Ab da penetrante Langeweile.

Anne schaute zum Fenster hinaus, weil sie sich langweilte, und dann geschah es, gütiger Himmel.

»Neun mal sieben, kleine Senft, wie viel?«

»Warte mal, wenn man das da sieht, ich denke dreizehn sollte passen. Neun mal sieben ungefähr dreizehn bei diesem Sauwetter.«

»Bitte was für ein Wetter?«

»Kein Badewetter eben. Ich will mit Lisa anbaden im See. Ansonsten hätte ich siebzig vorgeschlagen oder tausend, falls nämlich außerdem Sonntag wäre.«

»Bist du plötzlich verrückt geworden? Es kann sich doch nicht ändern