Das Anisotropic Reverberation Model (ARM): ein neues effizientes Rechenverfahren zur vereinfachten Raumakustiksimulation

Von Stefan Drechsler

Die Planung der Raumakustik von Innenräumen wie Büros, Seminarräumen, Foyers und ähnlichen Innenräumen wird häufig vernachlässigt. Anders als bei Konzertsälen wird hier oft die Notwendigkeit einer Akustiksimulation in der Planungsphase verneint, auch um Kosten einzusparen. Es ist daher das Ziel von Forschungen, für solche einfacheren Fälle der Akustikplanung Methoden und Verfahren der Raumakustiksimulation als Software zu implementieren, die einem akustischen Laien bei der akustisch sinnvollen Innenraumplanung helfen.

Im Rahmen solcher Forschung wird mit dieser Dissertationsschrift ein Verfahren vorgeschlagen und diskutiert, das das Schallfeld als homogen und anisotrop annimmt. Damit liegt es zwischen einfachen Nachhallzeitformeln mit der Annahme von homogenem und isotropem Schallfeld und aufwendigeren Simulationsverfahren der geometrischen Raumakustik, die ein sowohl inhomogenes als auch anisotropes Schallfeld zu modellieren erlauben.

Dieses Anisotropic Reverberation Model (ARM) verwendet als Unbekannte eines linearen Differentialgleichungssystems die Schallenergien von homogenen Schallenergieflüssen unterschiedlicher Ausbreitungsrichtungen. Die Koeffizienten der Systemgleichung beschreiben die Interaktion des Schalls an den Wänden des zu untersuchenden Raumes hinsichtlich Absorption und mehr oder weniger streuender Reflexion des Schalles. Damit lässt sich der energetische Verlauf des Nachhalles berechnen und damit auch die Nachhallzeit.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: tredition
• Erscheinungsdatum: 25. Okt. 2016
• ISBN: 9783734550478

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Abbildungsverzeichnis

2.1 Schematische Darstellung des Spiegelschallquellenverfahrens

2.2 Schematische Darstellung der Schallteilchenmethode

2.3 Schematische Darstellung der Radiosity-Methode

2.4 Das Spiegelstreumodell

2.5 Das Lambert’sche Streumodell

2.6 Das Spiegel-Lambert-Streumodell

2.7 Das Vektormixing-Streumodell

3.1 Regressionsebene in der Doppelschicht

3.2 Kantenrekonstruktion bei der Geometrievereinfachung

3.3 Priorisierung großer Polygone

3.4 Ambivalente Polygonzuordnung zu Regressionsebenen

3.5 Nicht einfach zusammenhängende Polygone

3.6 Rekonstruktion von Polygoneckpunkten

3.7 Vereinfachte Säulen

3.8 Parallele Regressionsebenen

3.9 Kugel mit vereinfachter Geometrie

3.10 Zu vereinfachende Geometrie der RWTH-Aula

3.11 Regressionsebenen zur RWTH-Aula

3.12 Vereinfachte Geometrie der RWTH-Aula

5.1 Abtasttheorem auf der Kugeloberfläche

5.2 Schema zur Umverteilung der Schallenergie

5.3 Das Vektormixing Streumodell VM

5.4 Abhängigkeit des Diffusitätskoeffizienten vom Streugrad

5.5 Das Kegel-Streumodell

5.6 Zur Herleitung der Kantenbeugung

5.7 Näherung bei Kantenbeugung

5.8 Streudiagramme bei schrägem Einfall

5.9 Kantenbeugung an einem sternförmigen Polygon

5.10 Die ARM-Systemmatrix als Adjazenzmatrix

5.11 Die stärksten Kanten im ARM-Systemgaphen

5.12 Geschlossene Wege im ARM-Systemgraph

5.13 Rekonstruktion des Echokorridors

6.1 Nachhall im weißen Würfel

6.2 Nachhall im spiegelnden Würfel

6.3 Nachhall im mattgrauen Würfel

6.4 Nachhall im glänzendgrauen Würfel

6.5 Darstellung der Schallrichtungsverteilung durch Eigenvektoren

6.6 Isotropiemaß im Würfel beim SL-Streumodell

6.7 Isotropiemaß im Würfel beim VM-Streumodell

6.8 Isotropiemaß im Würfel beim KE-Streumodell

6.9 Nachhallzeiten beim SL-Streumodell nach Diskretisierungen

6.10 Abweichungen beim SL-Streumodell nach Diskretisierungen

6.11 Nachhallzeiten beim VM-Streumodell nach Diskretisierungen

6.12 Abweichungen beim VM-Streumodell nach Diskretisierungen

6.13 Nachhallzeiten beim KE-Streumodell nach Diskretisierungen

6.14 Abweichungen beim KE-Streumodell nach Diskretisierungen

6.15 Nachhallkurve im leeren Hallraum

6.16 Nachhallkurve im Hallraum mit absorbierendem Boden

6.17 Nachhallkurve im Hallraum mit einer absorbierenden Wand

6.18 Nachhallkurve im Hallraum mit zwei absorbierenden Wänden

6.19 Flatterechopfade im Rechteckraum

6.20 Flatterechopfade im Dreiecksprisma

6.21 Flatterechos im Achteckprisma

6.22 Flatterechos im Siebeneckprisma

6.23 Ein nicht ebener Flatterechopfad

6.24 Flatterechos im Hallraum ohne parallele Wände

6.25 Verlängerter Nachhall durch Flatterechos

6.26 Bekämpfung von Flatterechos durch Absorption

6.27 Bekämpfung von Flatterechos durch Streuung

6.28 Bekämpfung von Flatterechos durch Wandneigung

6.29 Materialverteilungsvarianten mit gleicher ARM-Systemmatrix

6.30 Unterschiedliche Anordnung von spiegelndem Material

6.31 Unterschiedliche Anordnung von absorbierendem Material

6.32 Unterschiedliche Anordnung von streuendem Material

6.33 Unterschiede in den Nachhallkurven nach Streumodellen

6.34 Raumgeometrievarianten mit identischer ARM-Systemmatrix

6.35 Nachhallzeiten für Raumgeometrievarianten

6.36 Nachhallzeiten in Rechteckräumen unterschiedlicher Gestalt

6.37 Gemessene Nachhallzeiten der RWTH-Aula

6.38 Abgleich der Luftabsorption in der RWTH-Aula

6.39 Nachhallkurven der RWTH-Aula

6.40 Nachhallzeitenvergleich zur RWTH-Aula mit dem SL-Streumodell

6.41 Nachhallzeitenvergleich zur RWTH-Aula mit dem VM-Streumodell

6.42 Nachhallzeitenvergleich zur RWTH-Aula mit dem KE-Streumodell

6.43 Vergleich der Streumodelle bei der Simulation der RWTH-Aula

A.1 Netzabwicklung eines Ikosaeders

A.2 Design der Richtungsdiskretisierung

A.3 Eine Richtungsdiskretisierung mit Dreiecken

A.4 Die gnomonische Projektion

A.5 Zur Herleitung der Snyder-Projektion

A.6 Zur baryzentrischen Projektion

A.7 Der Satz von Lexell

A.8 Diskretisierungen mit gleicher Anzahl an Richtungsbereichen

B.1 Grundriss der RWTH-Aula

B.2 Querschnitt der RWTH-Aula

B.3 Materialverteilung in der RWTH-Aula I

B.4 Materialverteilung in der RWTH-Aula II

Tabellenverzeichnis

3.1 Algorithmus zum Ermitteln von Regressionsebenen

3.2 Die Rechenzeiten der Geometrievereinfachung

6.1 Nachhallzeiten im Würfelraum

6.2 Zusammenhang von Standardabweichung und Diskretisierung

6.3 Koordinaten des Hallraums nach[106]

6.4 Simulationsergebnisse zur RWTH-Aula

A.1 Daten ausgewählter Richtungsdiskretisierungen

A.2 Richtungsdiskretisierungen mit Dreiecken

A.3 Richtungsdiskretisierungen mit Sechsecken

B.1 Absorptionsgrade in der RWTH-Aula

B.2 Streugrade in der RWTH-Aula

Symbole und Formelzeichen

𝐀\mathbf{A} Momentenmatrix A2A^2 Isotropiemaß a⃗i\vec{a}_i Polygoneckpunkt aija_{ij} Element der ARM-Systemmatrix α\alpha Schallabsorptionsgrad ARD Adaptive Rectangular Decomposition ARM Anisotropic Reverberation Model ART Acoustic Radiance Transfer AWP Acoustical Wave Propagator B baryzentrische Projektion BDTF Bi-Directional Transfer Function BEM Boundary Element Methode cc Phasengeschwindigkeit der Wellenausbreitung C80C_{80} Klarheitsmaß CAD Computer Aided Design CARAO Computer Aided Room Acoustics Optimisation, Name eines Forschungsprojektes DD optionaler Längenparameter dd Diffusitätskoeffizient dd Schichtdicke als Filterparameter d-MCSSP multi-dimensional Multiple Choice Subset Sum Problem D50D_{50} Deutlichkeitsmaß dB Dezibel, logarithmisches Verhältnismaß Δ\Delta Der Laplacoperator, also für dreidimensionale kartesische Koordinaten ∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} djkid_{jki} diskretisiertes Streumodell dkd_k kantenbedingter Diffusitätskoeffizient drd_r rauigkeitsbedingter Diffusitätskoeffizient EE Empfängerposition EE Liste von Regressionsebenen EDT Early Decay Time ff Frequenz FDM Finite Differenzen Methode FEM Finite Elemente Methode fnm(p)f_n^m(p) Kugeloberflächenfunktionen fSf_S Schroeder-Frequenz G gnomonische Projektion GG Green’sche Funktion GG Stärkemaß gg Polygongröße γmn\gamma_{mn} Koeffizienten der Kugeloberflächenfunktionen γ2\gamma^2 Varianz der mittleren freien Weglänge HRT Heat Radiance Transfer i,j,ki, j, k Zählindex KE Kegelstreumodell λ\lambda Eigenwert Λ\Lambda Mittlere freie Weglänge MM Anzahl der Wände eines akustisch zu untersuchenden Raumes MLS Maximum Length Sequenz μ\mu arithmetischer Mittelwert MxM_x, MyM_y, MzM_z erste Momente MxxM_{xx}, MxyM_{xy} …\dots zweite Momente NN Anzahl der Richtungsbereiche einer Richtungsdiskretisierung nn Anzahl n⃗\vec{n} Einheitsnormalenvektor (n1,n2)(n_1, n_2) Designparameter für Richtungsdiskretisierungen 𝒪\mathcal{O} Big-O-Notation für Komplexität von Algorithmen ODEON kommerzielles Softwaresystem zur Raumakustiksimulation Ω\Omega Raumwinkel ω\omega Kreisfrequenz p(x⃗,t)p(\vec{x}, t) Schalldruck als Amplitude der Schallwelle P,QP, Q Polyeder P,QP, Q Polygon R̲\underline{R} komplexer Reflexionsfaktor RR Ort einer Reflexion R⃗\vec{R} Ortskoordinate RAY Schallteilchenalgorithmus mit der in dieser Arbeit verwendeten Implementierung r⃗i\vec{r}_i,r⃗j\vec{r}_j Richtungsvektoren, vor allem für Einfalls- und Ausgangsrichtung RWTH Aula Aula der Rheinisch Westfälischen Technischen Hochschule in Aachen SS Fläche, Flächeninhalt SS Source, Schallquellenposition S Projektion nach Snyder S⃗\vec{S} Ortskoordinate des Schwerpunkts ss Streugrad, Gesamtstreugrad S2S^2 Oberfläche der Einheitskugel σ\sigma statistische Streuung sjks_{jk} Anteil der projizierten Fläche der Wand kk in Richtung jj sks_k kantenbedingter Streugrad SL Streumodell, das Spiegelung und Lambert’sche Streuung kombiniert srs_r rauigkeitsbedingter Streugrad STI Speech Transmission Index SVD Singular Value Decomposition τ\tau Zeitschritt im Euler-Verfahren T,T20,T30T, T_{20}, T_{30} Nachhallzeit T Projektion nach Tegmark tt Zeitvariable θ\theta Einfalls-, Ausgangswinkel VV Raumvolumen v⃗\vec{v} Eigenvektor VM Streumodel Vektormixing x⃗\vec{x} Vektoren für dreidimensionale Geometrie werden mit einem Pfeil gekennzeichnet 𝐱\mathbf{x} Vektoren mit mehr als drei Komponenten werden durch Fettschrift gekennzeichnet

1 Einleitung

Mit dem Thema Raumakustik kommt ein interessierter Laie oft nur dann bewusst in Berührung, wenn es um Konzertsäle oder Opernhäuser geht. Weitaus häufiger ist man im Alltag von Raumakustik betroffen, ohne dass dies einem bewusst wird: Unangenehm laute Umgebung in Räumen der Gastronomie, Museen mit schwer zu verstehenden Führungen oder vom Lärm im Klassenzimmer gestresste Lehrer sind nur wenige Beispiele für Situationen, in denen eine Planung der Raumakustik hätte Abhilfe schaffen können.

Auch in der Fachliteratur ist die Königsdisziplin die akustische Behandlung von Konzertsälen unter verschiedenen Aspekten wie praktische Fragestellungen für das Orchester [103], [201], Gestaltungsprinzipien [343] oder der sensorischen Erfassung und Bewertung des Hörerlebnisses [320], [187]. Neben diesem prestigeträchtigen Bereich lebt die Branche der Raumakustik-Beratung aber in erster Linie von eher alltäglichen Problemsituationen, etwa bei den besonderen Anforderungen, wenn in Klassenzimmern [251], [329] nicht nur Frontalunterricht stattfinden soll [11], bis hin zu Räumen zur Religionsausübung [234], [230]. Fälle mit problematischen akustischen Verhältnissen, die auch einer breiteren Öffentlichkeit auffallen, wie etwa der Plenarsaal in Bonn [93], liegen schon etwas länger zurück.

Räume, die im Gegensatz zu Konzertsälen geringere akustische Anforderungen stellen, sind dabei keineswegs einfacher zu simulieren [45], gerade weil außergewöhnliche Situationen im Rechenmodell nachgestellt werden müssen, die man im Konzertsaal vermeidet. In einigen Fällen versagen daher auch einfache Formeln zur Berechnung der Nachhallzeit.

Von den Proportionen eher flache (zum Beispiel Großraumbüros [334]) oder längliche Räume, oder ungleichmäßige Verteilung von akustischen Materialeigenschaften führen zur ungleichmäßigen Verteilung der Eigenschaften der Schallfelder im Raum, auch hinsichtlich der unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen des Schalls. Man ist daher bestrebt, Formeln wie die von Sabine oder Eyring zu erweitern, um zum Beispiel auch schallstreuende Materialeigenschaften berücksichtigen [87] oder die Gestalt des Raumes in eine Simulation mit einfließen lassen zu können [98], [219], [220].

Den Architekten, die in solchen Fällen eine akustische Planung unterlassen haben, ist auch keine Absicht vorzuwerfen, sondern oft lediglich die Unkenntnis der Möglichkeiten der raumakustischen Gestaltung. Das Anliegen, mehr akustische Themen in der Ausbildung an Architekten zu vermitteln [16], [238], ist daher zu unterstützen.

Einen Architekten, der im Bereich der Raumakustik als Laie gilt, mögen auch die Kosten abschrecken, die er von der Planung der Raumakustik von Konzertsälen aus der Tagespresse kennt. Dazu kommt das Problem, das eigentliche Ziel der Raumakustikplanung genau zu definieren: Was ist gute Akustik? Hier hilft die reine Naturwissenschaft nicht weiter; man muss die Wissenschaft der Hörpsychologie mit ins Boot nehmen. Neben allgemeinen Werken der Psychoakustik [96], [349] wird insbesondere in [187] für Konzertsäle eine sensorische Bewertung ihrer Raumakustik angestrebt, ein Forschungsgebiet, auf dem sich noch längst nicht allgemein anerkannte Bewertungskriterien herauskristallisiert haben. Auch zur Bewertung der Klangqualität von Räumen zum Zwecke der Kommunikation wird die Psychoakustik als Werkzeug benutzt [27].

Aus diesem Grund verfolgt man oft eine andere Strategie bei der Akustikplanung. Der Entscheider, also der Bauherr, entscheidet nach persönlichem Geschmack aufgrund eines Hörerlebnisses, das dazu in der Planungsphase simuliert wird. Diese Auralisierung der Raumakustik ist ebenfalls seit Langem Gegenstand der Forschung [28]. Ein Überblick über diese Technologie ist in [335] zu finden. Die Ergebnisse von Simulationstechniken, die später noch genauer beschrieben werden, werden dabei weiteren Rechenschritten unterzogen, um hörbare Ergebnisse zu erzeugen. In [170] und [168] wurde zu diesem Zweck ein Zufallsprozess vorgeschlagen, der mit [78] auch implementiert wurde, um die spezifische Akustik eines Raumes in Audiosignale umzusetzen. Die der Auralisierung zugrundeliegende Kunstkopfstereophonie wird mit ihren theoretischen Grundlagen in [60] beleuchtet. Die Verwendung in einem hybriden Modell wird in [168] erläutert. In einem ähnlichen hybriden Modell verwenden [196] und [332] weißes Gauß’sches Rauschen statt eines Poisson-Prozesses.

Für die Anwendung der Auralisierung steht auch Software frei zur Verfügung [222], mit der in der Planungsphase ein Höreindruck der projektierten Räume erlebt werden kann. Auch wenn die Auralisierung es dem Entscheider erlaubt, die Planung subjektiv und ohne Fachkenntnisse zu beurteilen, erfordert die Auralisierung doch viele Fachkenntnisse beim Planer, so dass es nicht verwunderlich ist, dass Architekten auch hier den Aufwand für das vermeintlich geringe Problem der Raumakustik scheuen.

Im Gegensatz zu Konzertsälen, wo es um die Optimierung der letzten akustischen Nuance für das Musikerlebnis geht, gilt es in alltäglicheren Situationen oft nur, grobe akustische Fehler zu vermeiden.

Dies war eine der Motivationen für ein Drittmittelprojekt an der HafenCity-Universität Hamburg. Bei CARAO (Computer Aided Room Acoustics Optimisation) ging es darum, Algorithmen zu entwickeln und zu implementieren, die Architekten bei der raumakustischen Planung von Innenräumen unterstützen. Dabei standen folgende Teilaspekte im Fokus:

Zum einen sollten Architekten als Nutzer einer Planungssoftware bei der Materialauswahl für Wände, Decken und Böden eines Raumes unterstützt werden, damit die Nachhallzeit – einer der wichtigsten raumakustischen Parameter – innerhalb der empfohlenen Grenzen bleibt.

Zum anderen sollte ein Algorithmus entwickelt werden, der die Lücke schließt zwischen den simplen, nicht immer gültigen Formeln für die Nachhallzeit – am bekanntesten sind hier die Formeln von Sabine und Eyring – und den aufwendigen und Expertenwissen erfordernden Rechenverfahren, die auf Strahlverfolgung und Spiegelschallquellen basieren.

Das dritte Ziel war, typische Fehler der Akustik, wie etwa Flatterechos bereits in der Planung erkennen zu können.

Schließlich sollte, um bereits vorhandene CAD-Daten aus der Planung von Innenräumen nutzen zu können, ein Algorithmus entwickelt werden, der diese Daten für raumakustische Analyseverfahren aufbereitet. Dazu ist insbesondere eine Vereinfachung der Raumgeometrie notwendig.

Die erste Anforderung zielt auf die Optimierung ab, also auf die algorithmische Unterstützung der Raumplanung zum Erreichen gewisser akustischer Kriterien. Es handelt sich also konkret um ein inverses Problem: Vorgegeben ist eine anzustrebende akustische Eigenschaft, zum Beispiel die Nachhallzeit, gesucht ist eine Materialauswahl für die einzelnen Wände des Raumes, mit der die gewünschten Nachhallzeiten erreicht werden. Mitunter sind bei der akustischen Optimierung auch weitere, zum Beispiel finanzielle, Nebenbedingungen zu berücksichtigen [290].

Eine allgemeinere Formulierung des inversen Problems gibt eine gemessene oder angestrebte Raumimpulsantwort vor, aus der die Raumform rekonstruiert werden soll [73]. Abgesehen von der praktischen Herausforderung hat es auch bei der theoretischen Behandlung nach der Veröffentlichung der Fragestellung [148] 26{}{26} Jahre bis zur Antwort [113] gedauert, die zudem nur das zweidimensionale Problem behandelte und außerdem aufzeigte, dass die Ergebnisse – für die Verteilung der Resonanzfrequenzen – nicht eindeutig sind.

Im Rahmen von CARAO wurde das einfachere inverse Problem der vorgegebenen Nachhallzeiten und der gesuchten Materialverteilung als ein multidimensional multiple choice subset sum problem (d-MCSSP) beschrieben, die frühe Version einer Lösung veröffentlicht [75] und eine ausgereiftere Version an den Drittmittelpartner zur Implementierung übergeben. Dieses Verfahren verwendet die Sabine’sche Nachhallformel in einer speziellen Form eines Knapsack-Problems zusammen mit einem heuristischen und interaktiven Lösungsverfahren. Dieser Zweig des CARAO-Projektes ist jedoch nicht Gegenstand dieser Arbeit. Auch eine notwendige Sammlung von Materialdaten, insbesondere von Schallabsorptionsgraden und Streugraden war Aufgabe eines weiteren CARAO-Partners und ist ebenfalls nicht Gegenstand dieser Arbeit.

Das Thema dieser Dissertationsschrift ist im Wesentlichen aus der Anforderung entstanden, ein Rechenmodell zur Behandlung der Raumakustik zu entwickeln, das einfacher gestaltet ist als die etablierten Simulationsverfahren und insbesondere auch weniger akustische Fachkenntnisse vom Benutzer zur Bedienung einer Softwareimplementation desselben verlangt. In diesem Rahmen wird auch eine aus Optik und Radartechnik entlehnte Methode zur Berechnung der Wellenbeugung in der Akustik angewandt. Aufgrund der Eigenschaften des vereinfachten physikalischen Modells erhielt dieses Verfahren die Bezeichnung Anisotropic Reverberation Modell (ARM).

Dieses Modell ist der zentrale Gegenstand dieser Arbeit.

Die Eigenschaften von ARM erlauben auch in einem weiteren Schritt die Erkennung von Flatterechos und erfüllen somit eine weitere Anforderung des CARAO-Projektes. Ein weiterer akustischer Fehler, der Fokussierungseffekt, der auftritt, wenn gewölbte Wand- oder Deckenteile wie ein Hohlspiegel für Schall wirken, kann mit ARM allerdings nicht behandelt werden.

Die vierte Anforderung, die Geometrievereinfachung, war ursprünglich eine Aufgabe des Drittmittelpartners von CARAO. Im Lauf des Projektes fiel diese Aufgabe dann auch dem Autor zu. Da die Geometrievereinfachung ein wesentlicher Bestandteil in der Automatisierung des akustischen Modellierungs- und Berechnungsprozesses ist, wird sie hier ausführlich vorgestellt.

Auch wenn sich die Themenbereiche dieser Arbeit zum großen Teil mit den den Zielen von CARAO decken, soll die Darstellung hier auch ohne nähere Kenntnisse des Drittmittelprojektes verstanden werden können, so dass sich die Hinweise auf CARAO im Wesentlichen auf diese Einleitung beschränken.

Die Hauptthemen dieser Arbeit sind wie folgt in die vorliegende Arbeit eingegliedert. Zu Beginn wird mit Kapitel 2 über den Stand der Technik der Kontext beschrieben, das Thema der Raumakustiksimulation und der Stand der Forschungen auf diesem Gebiet, auf die diese Arbeit Bezug nimmt. Dann wird Kapitel 3 eingeschoben, das das Problem der Geometrievereinfachung behandelt. Auch wenn hier akustische Kriterien einige Vorgaben an den Algorithmus stellen, handelt sich es vorrangig um eine rein geometrische Aufgabenstellung, die den Zusammenhang der folgenden Kapitel nicht unterbrechen soll. Die folgenden Kapitel zum Kernthema, dem Anisotropic Reverberation Model (ARM), beginnen mit einer Motivation (Kapitel 4), in der die Ideen von ARM im Kontext zu anderen Simulationstechniken dargestellt werden, bevor in Kapitel 5 die theoretischen Grundlagen behandelt werden. Die Anwendung des ARM schließt sich in Kapitel 6 an zunächst mit einigen Rechenbeispielen, die die Grenzen des Verfahrens ausloten und dann mit einigen Fällen, die den praktischen Umgang mit ARM aufzeigen. Zum Schluss werden die Ergebnisse zusammengefasst und die verbleibenden und neu aufgeworfenen Fragen in einem Ausblick (Kapitel 7) diskutiert.

Die Durchführung der Arbeit baut unter anderem auf allgemeinen Wissensgrundlagen auf, für die zahlreiche Quellen zur Verfügung stehen. Statt jeweils die Originalquellen anzugeben, wird aus Gründen des Umfanges an dieser Stelle pauschal auf Nachschlagewerke verwiesen, in denen Grundlagen nachzulesen sind. Für die Mathematik sind dies im Wesentlichen [33] und [297]. Algorithmen und Datenstrukturen, wie sie in der dreidimensionalen Computergrafik Verwendung finden, sind in [108], [8], [155] und [126] nachzulesen. Für die Grundlagen der Akustik wurde [166], [199], [213], [333] und [29] verwendet. Die Verwendung der akustischen Fachbegriffe orientiert sich an [64].

Weitere Darstellungen unter verschiedenen Aspekten findet man zum Beispiel in [95] mit praktischen Planungshinweisen, in [212] mit dem Schwerpunkt Messtechnik, in [198] als Formelsammlung zur Akustik, in [214] geht es eher um den Aspekt der Lärmbekämpfung, und [240] bietet eine eher populärwissenschaftliche Einführung.

2 Etablierte Verfahren der Raumakustiksimulation

Die Simulation von physikalischen Phänomenen in der Raumakustik beinhaltet viele unterschiedliche Aspekte. Einerseits muss ein Rechenmodell gefunden werden, das die physikalischen Gesetze korrekt berücksichtigt, andererseits ist man für die praktische Anwendung nicht an jedem Detail des Simulationsergebnisses interessiert, und als weiteren Aspekt gilt es, den Rechenaufwand je nach zur Verfügung stehender Computer-Hardware zu begrenzen. Mit der Entwicklung der Hardware über etliche Jahrzehnte wurden auch unterschiedliche Simulationsmethoden für Raumakustik bevorzugt [262], [259], [265]. Heute haben sich in der Raumakustik unterschiedliche Simulationsmodelle etabliert, die sich nach den oben genannten Aspekten vergleichen lassen.

Bei der Vermeidung von Rechenaufwand steht die Sabine’sche Nachhalltheorie an der Spitze, die sogar per Papier und Bleistift durchführbar ist. Aufwendiger sind Schallteilchenverfahren und Radiosity-Methoden, über die Berechnung von Spiegelschallquellen steigt der Rechenaufwand dann weiter bis zu den wellenbasierten Methoden.

Bei der Unterscheidung nach den berechenbaren Zielgrößen steht die Sabine’sche Nachhalltheorie dagegen am unteren Ende der Skala: Hier ist die Nachhallzeit nur recht undifferenziert berechenbar, also die Zeit, innerhalb der die Schallenergie im Raum auf den millionsten Teil des ursprünglichen Wertes abfällt. Mit den Methoden der geometrischen Raumakustik lässt sich auch der zeitliche Verlauf des Nachhalls ermitteln. Das Schallteilchenverfahren liefert den Energieverlauf, während die Spiegelschallquellenmethode ein Drucksignal errechnet, aus dem raumakustische Einzahlparameter abgeleitet werden können, wie etwa das Klarheitsmaß oder der Seitenschallgrad. Eine Weiterverarbeitung erlaubt hier auch eine Auralisierung der simulierten Raumakustik. Auch mit wellenbasierten Methoden ist dies möglich.

Neben den genannten wellenbasierten, geometrischen und statistischen Berechnungsmodellen gibt es auch einige Ansätze, die ein Modell basierend auf der Diffusionsgleichung ansetzen [143] und damit eher das Verhalten von Lärmausbreitung über viele Reflexionen beschreiben statt über Direktschall, etwa für akustisch gekoppelte Räume [23], [144] oder für einen langen Raum [100], [328]. Auch mehrere gekoppelte Räumen [296] lassen sich so als diskreter Zwischenschritt hin zum Diffusionsmodell beschreiben. Aufgrund dieser speziellen Einsatzmöglichkeiten bleiben die diffusionsbasierten Verfahren in dieser Arbeit unberücksichtigt.

Bei der Betrachtung der unterschiedlichen Simulationsansätze werden zunächst Dämpfungsverluste durch Luftabsorption nicht berücksichtigt, auch zumal sie eher bei großen Räumen eine nennenswerte Rolle spielt. Diese können aber verhältnismäßig einfach nachträglich in die Ergebnisse von Simulationen eingearbeitet werden. Für Dämpfungskonstanten zur Luftabsorption wird auf eine ausführliche Herleitung in [15] verwiesen.

Genauer beschrieben werden sollen diese etablierten Methoden im weiteren Verlauf dieses Kapitels aber anhand der physikalischen Phänomene, die mit den unterschiedlich stark vereinfachten Modellen nachgebildet werden können. Diese Beschreibung folgt der Komplexität der Modelle von der exaktesten Nachbildung der zugrundeliegenden Physik hin zu den einfacheren Modellen, da die Zusammenhänge zwischen physikalischem Modell und den Simulationsmodellen mit zunehmender Vereinfachung deutlicher benannt werden können. Es werden also die wellenbasierten numerischen Methoden, dann die Simulationsmodelle der geometrischen Raumakustik und schließlich die statistischen Methoden behandelt.

2.1 Wellenbasierte Simulationsmodelle

Die erste umfassende Abhandlung über Akustik [253], die heute noch als nicht überholt gilt, beschreibt Schallphänomene korrekterweise als Wellenphänomene, vor allem für ein- und zweidimensionalen Strukturen. Die Raumakustik als Spezialfall im Dreidimensionalen wird nicht gesondert erwähnt.

Nicht nur in der Raumakustik wird das Schallfeld beschrieben durch die örtliche und zeitliche Verteilung des Schalldrucks p(x⃗,t)p(\vec{x}, t). Dieser unterliegt der Wellengleichung [167, Gleichung (1.5)], [18, Gleichung (2.20)], [29, Gleichung (7.32)]:

(2.1) c2Δp=∂2p∂t2c^2 \Delta p = \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}

Für diese zunächst unbekannte Feldgröße pp der partiellen Differentialgleichung werden Lösungen im Zeitbereich beschrieben. Im Frequenzbereich, also bei Betrachtung einer einzigen, sinusförmigen Kreisfrequenz ω\omega, erhält man dafür die Helmholtz-Gleichung:

(2.2) Δp+(ωc)2p=0 \Delta p + \left( \frac{\omega}{c} \right) ^2 p = 0

Nur in Fällen mit einfacher Raumgeometrie können Lösungen dieser Wellengleichung analytisch ermittelt werden [211], [210]. Diese einfachen Geometrien sind für die Praxis aber kaum relevant.

Es haben sich für die Praxis daher diverse numerische Verfahren durchgesetzt. Durch den direkten Bezug zur Wellengleichung lassen sich damit auch automatisch die Wellenphänomene wie Spiegelung, Streuung und Beugung im Modell nachbilden. Die Modellierung der Brechung von Wellen ist ebenfalls möglich. Dieses Phänomen spielt aber in der Raumakustik keine Rolle, da hier nur ein Ausbreitungsmedium, die Luft, vorkommt.

Bei der Finiten Differenzen Methode (FDM) wird der Raum mittels eines rechtwinkligen Gitters diskretisiert und somit der Laplaceoperator in der Wellengleichung (2.1) ersetzt durch einen entsprechenden Differenzenoperator. Wird dieser auf alle Rechenpunkte des diskretisierten Gitters angewandt, entsteht ein lineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen, das durch eine dünn besetzte Matrix charakterisiert ist. Die Lösung dieser Matrixgleichung mit einer gängigen numerischen Methode gibt den Schalldruck an den Gitterpunkten an. Durch die Technik eines Acoustical Wave Propagators (AWP) kann die Zeitschrittweite deutlich vergrößert werden [232],