Prüfungstrainer Technische Mechanik

Von Stefan Hartmann

Mit dem Prüfungstrainer zum Lehrbuch "Technische Mechanik" von Stefan Hartmann braucht man nicht mehr vor Klausuren und Prüfungen zittern.

Mehr als 250 Aufgaben mit ausführlich durchgerechneten Lösungen aus allen Themengebieten der Technischen Mechanik - Statik, Elastostatik, Kinematik und Dynamik - helfen beim Verstehen und Vertiefen der Lerninhalte.

Unerlässlich für Studierende in Ingenieurstudiengängen wie Maschinenbau, Verfahrenstechnik und Bauwesen: insbesondere zusammen mit dem Lehrbuch "Technische Mechanik" legt der Prüfungstrainer die Grundlagen fürs weiterführende Studium.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Wiley
• Erscheinungsdatum: 29. Juni 2016
• ISBN: 9783527681648

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Teil I

Statik starrer Körper

Ziele der Aufgaben zur Statik

Die Ziele von Vorlesungen der Statik ist die Wissensvermittlung des Zusammenwirkens von Körpern (Bauteile) unter äußeren Kräften und Momenten sowie die Berechnung von Gleichgewichtssystemen. Da sowohl Kräfte als auch Momente vektorielle Größen sind, muss zunächst ein Fokus auf der Vektorrechnung liegen. Danach stehen Kraftsysteme, insbesondere Gleichgewichtssysteme, im Vordergrund, zu deren Berechnung das Freischneiden von materiellen Körpern absolut essentiell ist, also dem Sichtbarmachen von Kräften und Momenten innerhalb der Bauteile. Dies dient nicht nur zur Berechnung von Lagerreaktionen, d. h. derjenigen Kräfte und Momente, die in einem Lager wirken und damit für die Auslegung von Anschlüssen, wie Schrauben- oder Schweißnahtverbindungen, bzw. des erforderlichen Untergrundes, notwendig sind, sondern auch der Schnittgrößenbestimmung. Da das häufigste Konstruktionselement der Balken ist, wird dies vorwiegend an diesem Strukturelement demonstriert.

Zur Berechnung von kontinuierlich verteilten Lasten, wie zum Beispiel das Eigengewicht, Verkehrs-, Schnee- oder Windlasten, ist der Schwerpunktsbegriff unbedingt erforderlich. Dieser steht im Zusammenhang mit der Flächen- und Volumenberechnung, d. h. der Integralrechnung, die zur Massenberechnung benötigt wird.

Zuletzt erfolgt zumeist die Berechnung der Haftreibung zwischen zwei Körpern, die je nach Konstruktion gewollt oder ungewollt ist. Die eigentliche Schwierigkeit ist hierbei das Verständnis von Ungleichungen und Fallunterscheidungen, welches wir uns aneignen müssen.

1

Einführung in die Vektorrechnung

Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in der Mechanik sehr viele gerichtete Größen wie Kräfte, Momente, Geschwindigkeiten, Verschiebungen, Ortsvektoren etc. auftreten. Die in den Boxen 1.1–1.4 aufgeführten Rechenregeln zur Beschreibung von geometrischen Vektoren sowie deren Komponentendarstellung, siehe Box 1.1, des Skalarproduktes in Box 1.2, des Vektorproduktes in Box 1.3 sowie des Spatproduktes aus Box 1.4 dienen zur Berechnung von Längen, Winkeln und Projektionen, Flächen und Normalenvektoren sowie Volumina und der linearen Abhängigkeit von Vektoren.

Box 1.1: Grundrechenregeln der Vektorrechnung

Grundrechenregeln

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Komponentendarstellung von Vektoren:

(1.6)

Vektoraddition:

(1.7)

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

(1.8)

Box 1.2: Skalarprodukt

Skalarprodukt:

(1.9)

Grundbeziehungen:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Kronecker-Symbol (Orthogonalität der Basisvektoren):

(1.13)

Komponentenberechnung eines Vektors:

(1.14)

Komponentendarstellung des Skalarproduktes:

(1.15)

Norm (Betrag) eines Vektors:

(1.16)

Winkel zwischen zwei Vektoren und

(1.17)

Einheitsvektor in Richtung des Vektors :

(1.18)

Box 1.3: Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Vektorprodukt ( , und stellen ein Rechtssystem dar ):

(1.19)

Grundbeziehungen:

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

Berechnungsmöglichkeit mit verallgemeinerter Determinante:

(1.24)

(1.25)

Box 1.4: Spatprodukt

Spatprodukt:

(1.26)

Zyklische Vertauschbarkeit des Spatproduktes:

(1.27)

Komponentendarstellung des Spatproduktes:

(1.28)

(1.29)

Lineare Abhängigkeit, Rechts- oder Linkssystem:

(1.30)

1.1 Beispiele zur Vektorrechnung

Beispiel 1.1 (Summe und Differenz zweier Vektoren)

Gegeben seien zwei in der Ebene aufgespannte Vektoren sowie .1) Der Vektor hat demnach einen Anteil mit dem Betrag 3 in x-Richtung und einen Anteil mit dem Betrag 1 in y-Richtung, siehe Abb. 1.1a. Der Vektor hingegen hat den Betrag 1 in x-Richtung. Aufgrund des negativen Vorzeichens zeigt er in negative x-Richtung. Zudem hat einen Anteil der Länge 2 in y-Richtung. Ausgehend von der Schulmathematik würde man die beiden Vektoren in Spaltenform darstellen

die wir uns gedanklich merken können, aber nicht weiter verwenden wollen, da damit keine Aussage vorliegt, auf welche Basis man sich bezieht (siehe Beispiel 1.5, wo der gleiche Vektor unterschiedliche Koeffizienten relativ zu unterschiedlichen Basissystemen hat).

Abb. 1.1 Vektoraddition, Vektorsubtraktion sowie Kommutativität. (a) Vektoraddition und Vektordifferenz , (b) Kommutativität der Vektoraddition.

Die Addition der Vektoren und bedeutet die Addition der Vektorkomponenten bzw. Vektorkoeffizienten, siehe Gl. (1.7),

Graphisch verschiebt man den Fußpunkt des Vektors in die Spitze von , und der resultierende Vektor, hier , bedeutet der Vektor mit dem Fußpunkt im Fußpunkt von und der Spitze in der Spitze von . Aufgrund der Kommutativität der Vektoraddition, siehe Gl. (1.2), könnte man auch den Fußpunkt von in die Spitze von legen, siehe Abb. 1.1b, um den resultierenden Vektor zu erhalten.

Analog lässt sich die Differenz mit

bestimmen

Der Vektor ist ebenfalls in Abb. 1.1a abgebildet. Das in diesem Beispiel behandelte ebene Problem lässt sich formal auf jeden dreidimensionalen Vektor übertragen. Die graphische Veranschaulichung ist jedoch schwieriger und daher nur zum Teil aufgeführt.

Beispiel 1.2 (Skalarprodukt)

Wir sind an der Charakterisierung einer Raumdiagonalen eines Würfels im Hinblick ihrer Winkel zu den einzelnen Achsen bzw. Ebenen interessiert. Die Raumdiagonale in Abb. 1.2 ist durch den Vektor charakterisiert, wobei a die Seitenlänge des Würfels ist. Zunächst berechnen wir den Einheitsvektor in Richtung der Diagonalen, siehe Gl. (1.18). Mit

siehe auch Gl. (1.16), folgt . Die Länge der Diagonalen ist demnach Der Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und der z-Achse lässt sich mithilfe von Gl. (1.17) bestimmen,

Abb. 1.2 Geometrie einer Raumdiagonalen

Daraus resultiert der Winkel Da die Projektion von auf die Diagonale in der x/y-Ebene, durch

gegeben ist, könnte der Winkel α auch durch das Skalarprodukt berechnet werden,

(Erinnerung

Beispiel 1.3 (Längenberechnung mit dem Skalarprodukt)

Für einen Transport benötigt man die Länge der Diagonalen eines Schrankes mit der Länge L = 240 cm, der Breite B = 90 cm und der Tiefe H = 30 cm. Der Vektor der Diagonalen ist [cm] und damit ist die Länge

Beispiel 1.4 (Skalarprodukt und Projektion)

Gegeben sei eine Gerade im Raum

mit und . Die Gerade liegt demnach parallel zur y/z-Ebene und der Vektor befindet sich in der x/z-Ebene, siehe Abb. 1.3a. Es liegt daher die Geradengleichung

d. h. die Komponentendarstellung

vor. Wir betrachten als Nächstes den Punkt und suchen den kürzesten Abstand des Punktes zur Geraden. Hierzu berechnen wir den Verbindungsvektor

Der Einheitsvektor in Richtung der Geraden lautet, siehe Gln. (1.16) und (1.18),

und wird für die rechtwinklige Projektion des Vektors auf die Gerade benötigt, siehe Abb. 1.3b,

Abb. 1.3 Projektion und kürzester Abstand zu einer Geraden. (a) Gerade im Raum, (b) Projektion und kürzester Abstand.

Der auf der Geraden senkrecht stehende Vektor berechnet sich aus der Differenz des Vektors und der Projektion

Der Betrag des Vektors gibt den kürzesten Abstand des Punktes C zur Geraden an,

Wir können noch den Abstand auf der Geraden ausrechnen, den der Punkt zum Punkt besitzt,

Da gilt, folgt

μ hat die Dimension einer Länge, da der Einheitsvekto dimensionsfrei ist, wäh renddessen keine Dimension hat und die Koeffizienten des Vektors die Dimension einer Länge haben.

Beispiel 1.5 (Skalarprodukt zur Komponentenberechnung)

Häufig tritt die Fragestellung der Darstellung von Vektoren in einem anderen Basissystem auf. In Abb. 1.4a ist der Vektor relativ zu dem Basissystem gegeben. Das neue Basissystem sei durch die Drehung φ = 30° um die z-Achse definiert,

(cos 30° = sin 30° = 1/2). Die Darstellung des Vektors in Bezug auf die neue Basis lautet

Abb. 1.4 Wechsel des Basissystems ist nur derjenige Anteil in der x/y-Ebene – Projektion von auf die x/y-Ebene). (a) Drehung des Basissystems (3D-Darstellung), (b) ebene Darstellung der Drehung.

und wir suchen die Koeffizienten und Durch das Skalarprodukt des Vektors mit den einzelnen Basisvektoren kann man sich diese Koeffizienten beschaffen,

In diesem Sinne entsprechen die Produkte der Projektion des Vektors auf die Richtung Wir erhalten hiermit den Vektor ausgedrückt in der Basis

In Abb. 1.4b ist dies graphisch in der ξ/η-Ebene dargestellt. Der Vektor ändert sich demnach nicht. Es ändern sich beim Wechsel des Basissystems die Vektorkoeffizienten, d. h. Richtung und Betrag bleiben konstant beim Wechsel des Basissystems.

Beispiel 1.6 (Vektorprodukt)

Wir betrachten eine Dreiecksfläche parallel zur x/z-Ebene. Die notwendigen Koordinaten der Ecken der Fläche, hier gegeben durch die Ortsvektoren, lauten sowie , siehe Abb. 1.5. Die Zahlenwerte der Vektorkoeffizienten seien in mm gegeben. Gesucht ist der Normalenvektor auf der Fläche, die Dreiecksfläche A selbst sowie die Länge der Verbindungslinie zwischen den Punkten 2 und 3. Wir berechnen zunächst die Vektoren und sowi , welche die Fläche aufspannen,

Der auf den beiden Vektoren und stehende (bei einem Rechtssystem) Vektor berechnet sich aus dem Kreuzprodukt (1.25)

Hieraus kann der Normaleneinheitsvektor bestimmt werden:

(die Koeffizienten des Vektors sind dimensions- bzw. einheitenfrei). Ein Ergebnis, welches zu erwarten war. Die Dreiecksfläche A ist halb so groß wie die Fläche des durch die Vektoren und aufgespannten Parallelogramms,

und die Länge der Dreieckseite zwischen den Punkten 2 und 3 berechnet sich aus dem Betrag

Beispiel 1.7 (Spatprodukt)

Mithilfe des Spatproduktes (1.29) können wir das Volumen einer Pyramide ausrechnen, siehe Abb. 1.6a. Wir wissen, dass der Tetraeder (Vierflächler) ein Sechstel des Volumens eines Parallelepideds hat (Hartmann, 2015), und somit die Pyramide, welche das zweifache Volumen eines Tetraeders besitzt, das Volumen

Abb. 1.5 Dreiecksfläche.

Abb. 1.6 Geometrie einer Pyramide. (a) Geometrie (Angaben in m), (b) aufspannende Vektoren.

aufweist. Die Vektoren und spannen die Grundseite auf und der Vektor zeigt in Richtung des Grates, siehe Abb. 1.6b. Durch Ablesen erhalten wir und (alle Koeffizienten haben die Einheit m). Wir berechnen zunächst das Kreuzprodukt über die verallgemeinerte Determinante (1.24)

Das noch fehlende Skalarprodukt gemäß Gl. (1.15) liefert

Das Volumen der Pyramide ist daher

und nebenbei erhalten wir die Aussage, siehe Gl. (1.30), dass die Vektoren und ein Rechtssystem aufbauen und linear unabhängig sind.

Beispiel 1.8 (Lineare Abhängigkeit)

Wir nehmen Bezug auf Beispiel 1.7. Die Vektoren und sind gemäß Gl. (1.30) linear unabhängig und bilden ein Rechtssystem. Es sei der Vektor gegeben. Wir überprüfen anhand des Spatproduktes (1.29) die Eigenschaften der Vektoren und zueinander,

Die Vektoren sind demnach linear abhängig. Da der Vektor in der von und aufgespannten Ebene liegt, wird kein Parallelepiped (Spat) aufgespannt und das „Volumen" ist null. Der Vektor lässt sich demnach durch die Vektoren und ausdrücken, .

1.2 Aufgaben zur Vektorrechnung

Aufgabe 1.1 (Summen und Differenzen von Vektoren)

1. Addieren Sie graphisch und rechnerisch die Vektoren und .

2. Führen Sie sowohl graphisch als auch rechnerisch die Rechenoperation ) aus.

3. Bestimmen Sie rechnerisch den Vektor aus der Gleichung

Gegeben:

Aufgabe 1.2 (Summe und Skalarprodukt)

1. Bestimmen Sie den Vektor aus der Summe .

2. Bestimmen Sie aus der Gleichung .

3. Bestimmen Sie mit dem Skalarprodukt die Längen von und sowie den Winkel α, den diese Vektoren einschließen.

Gegeben:

Aufgabe 1.3 (Skalarprodukt)

Ein Dreieck sei gegeben durch die Vektoren und Fertigen Sie hierzu eine Skizze an.

1. Wie groß ist der Winkel zwischen und

2. Berechnen Sie den Betrag von .

3. Welche Beziehung besteht zwischen den Beträgen und , wenn gilt?

Gegeben:

Aufgabe 1.4 (Skalarprodukt)

Eine Eben im Raum sei gegeben durch die Gleichung . Jeder Punkt der Ebene kann auf diese Weise durch eine geeignete Wahl der Parameter α1 und α2 dargestellt werden.

1. Zeigen Sie, dass der Punkt , der durch den Vektor gegeben ist, in der Ebene liegt. Dies trifft für den Punkt , dargestellt durch den Vektor , nicht zu.

2. Wie groß ist der Abstand d des Punktes von der Ebene?

Gegeben:

Normaleneinheitsvektor der Ebene =

Aufgabe 1.5 (Skalarprodukt)

Gegeben seien die vier Punkte , , und .

1. Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte und geht.

2. Bestimmen Sie den Punkt auf der Geraden durch und , der von und von gleich weit entfernt ist.

Gegeben: Die Ortsvektoren der zugehörigen Punkte werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet, d. h. zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt

Aufgabe 1.6 (Skalarprodukt)

In einem kartesischen Koordinatensystem ist der Vekto durch seine Koeffizienten ax, ay und az gegeben.

1. Bestimmen Sie die drei Winkel α, β und γ, die den Vektor mit den Koordinatenrichtungen x, y und z einschließen.

2. Bestimmen Sie die Projizierte des Vektors die in der x/y-Ebene liegt, und leiten Sie den zugehörigen Einheitsvektor her.

3. Wie groß ist der Winkel φ, den die Projizierte mit der x-Richtung einschließt, und wie groß ist der Anstellwinkel ϑ des Vektors gegenüber der x/y-Ebene?

4. An welche Stelle des Koordinatensystems zeigt der Vektor , wenn man seine Länge verdoppelt und die Winkel φ und ϑ halbiert?

Gegeben: ax = 3, ay = 4, az = 5

Aufgabe 1.7 (Wechsel des Basissystems)

Gegeben sei der Vektor im kartesischen Basissystem . Die Basisvektoren

bilden ein weiteres Basissystem. Stellen Sie den Vektor im neuen Basissystem gemäß dar, und geben Sie die Komponenten Y1, Y2 und Y3 an.

Gegeben:

Aufgabe 1.8 (Wechsel des Basissystems)

1. Gegeben seien die Vektoren

Überzeugen Sie sich davon, dass und orthogonal sind, und ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die Komponentendarstellung des Vektors in Bezug auf die Basisvektoren und .

2. Bestimmen Sie die Koeffizienten b1, b2 und b3 des Vektors in Bezug auf die orthogonalen Basisvektoren

Aufgabe 1.9 (Wechsel des Basissystems)

Gegeben sind ein kartesisches (x, y) und ein schiefwinkliges Koordinatensystem (ξ, η) mit gleichem Ursprung (siehe Abbildung). Der Vektor hat in dem kartesischen Koordinatensystem die Koeffizi enten ax und .

1. Berechnen Sie die Projektionen und von auf die Achsen ξ und η.

2. Berechnen Sie die Komponenten aξ und aη von bezüglich des schiefwinkligen Koordinatensystems.

Gegeben:

Aufgabe 1.10 (Skalar- und Kreuzprodukt)

Gegeben sind die Punkte und durch ihre Ortsvektoren und .

1. Geben Sie den Einheitsvektor der Richtung an.

2. Wie lautet die Gerade durch die Punkte und in Vektor-D arstellung?

3. Berechnen Sie den Abstand eines weiteren Punktes C am Ort zu der Geraden durch die Punkte und .

4. Berechnen Sie das Vektorproduk zwischen dem Differenzvektor und dem Vektor , der entlang der Geraden wirkt.

5. Stellen Sie die Vektoren graphisch dar.

Gegeben:

Aufgabe 1.11 (Kreuzprodukt)

Gegeben sei eine Gerade und ein weiterer Punkt beschrieben durch den Ortsvektor .

Berechnen Sie den Abstand d des Punktes von der Geraden aus dem durch und aufgespannten Parallelogramm.

Gegeben:

Aufgabe 1.12 (Kreuzprodukt)

1. Berechnen Sie die Vektoren und .

2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks .

3. Wie lautet der Normaleneinheitsvektor der Ebene, die durch die Vektoren und aufgespannt wird?

Gegeben:

Aufgabe 1.13 (Spatprodukt und lineare Unabhängigkeit)

1. Prüfen Sie, ob die Vektoren und linear unabhängig sind und ob sie in der Reihenfolg ein Rechts- oder Linkssystem bilden.

2. Bestimmen Sie die Zahlenwerte für λ, μ und ν aus der Gleichung

Gegeben:

Aufgabe 1.14 (Spatprodukt und lineare Unabhängigkeit)

1. Zeigen Sie, dass die Vektoren und linear unabhängig sind und überprüfen Sie, ob ein Rechts- oder Linkssystem vorliegt.

2. Berechnen Sie λ, μ und ν aus der Gleichung

3. Berechnen Sie λ, μ und ν aus der Gleichung

Gegeben:

Aufgabe 1.15 (Spatprodukt und Kreuzprodukt)

Durch die Vektoren und wird ein Spat (Parallelepiped) beschrieben.

1. Berechnen Sie die Flächeninhalte der Parallelogramme, die die Oberfläche des Spats bilden.

2. Berechnen Sie das Volumen des aus den Vektoren und gebildeten Tetraeders.

3. Bilden die Vektoren und ein Rechtssystem?

Gegeben:

1.3 Ergebnisse der Aufgaben zu Abschn. 1.2

Lösung 1.1

1.

2.

3.

Lösung 1.2

1.

2.

3.

Lösung 1.3

1. Winkel zwischen

2.

3.

Lösung 1.4

1. Bestimme den Abstand von zur Ebene, siehe Beispiel 1.4. Hier ist der Abstand 0. Für den Punkt ist der Abstand verschieden von Null, d. h. liegt außerhalb der Ebene.

2.

Lösung 1.5

1.

2.

Lösung 1.6

1.

2.

3.

4.

Lösung 1.7

Lösung 1.8

1.

2.

Lösung 1.9

1.

2.

Lösung 1.10

1.

2.

3.

4.

Lösung 1.11

d = 2,15

Lösung 1.12

1.

2.

3.

Lösung 1.13

1. Bilde das Spatprodukt gemäß Gl. (1.29), . Die Vektoren sind damit linear unabhängig und es liegt ein Linkssystem vor.

2.

Lösung 1.14

1. Bilde Spatprodukt gemäß Gl. (1.29), . Die Vektoren sind damit linear unabhängig und es liegt ein Rechtssystem vor.

2.

3.

Lösung 1.15

1.

2.

3. Rechtssystem

1) Steht nur ein Basisvektor, z. B. , als Vektorkomponente, wie im Vektor , so steht als Koeffizient (Vorfaktor) der Wert 1.

2

Kraftsysteme

Kräfte repräsentieren Vektoren, die eine Intensität (Betrag) und eine Richtung haben. Ihre Dimension ist Kraft bzw. Masse × Beschleunigung und ihre Einheit wird je nach Anwendung definiert. Im Bauingenieurwesen und im Maschinenbau ist dies häufig der Kilo-Newton (kN). In idealisierender Weise nehmen wir an, dass auf materielle Körper Kräfte wirken, die den Körper in Bewegung versetzen wollen. Ist die Bewegung durch geometrische Zwänge derart behindert, dass sich der Körper nicht bewegt, so liegt ein Gleichgewichtssystem vor,¹) d. h. die Summe aller Kräfte verschwindet. Eine weitere idealisierende Größe stellt das Moment dar, welches die Dimension Kraft × Länge besitzt (was man im üblichen Sprachgebrauch als Kraft × Hebelarm bezeichnet). Erforderlich ist hierbei eine Kraft (Vektor), ein Kraftangriffspunkt und ein Punkt, auf den wir das Moment beziehen. Für allgemein dreidimensionale Zustände ist damit das Moment auch eine vektorielle Größe und der Sprachgebrauch Kraft × Hebelarm leicht irreführend. In einem Gleichgewichtssystem verschwindet auch die Summe der Momente in Bezug auf einen beliebigen Punkt. In Box 2.1 sind diese Definitionen nochmals zusammengefasst.

Box 2.1: Kraftsysteme

Kraft (Dimension: Masse × Länge/Zeit²; Einheit: 1 N = 1 kg m/s²)

(2.1)

Kraftangriffspunkt: ( ), Kraft und Ortsvekto zum Kraftangriffspunkt Moment um den Punkt (Dimension: Kraft × Länge = Masse × Länge²/Zeit²; Einheit )

(2.2)

( ist der Kraftangriffspunkt)

Kraftsystem:

Resultierende Kraft und Moment (bzgl. Punkt C):

(2.3)

Gleichgewichtssystem:

(2.4)

Komponentenschreibweise eines Gleichgewichtssystems:

(2.5)

(2.6)

Bei der Einführung von Kraftsystemen beginnt es zunächst mit der Berechnung der resultierenden Kraft, der Formulierung von Gleichgewichtsbedingungen und zum Teil schon mit dem Freischneiden von Seilen oder reinen Zug-Druckstäben, bei denen nur in Richtung des Seiles oder des Stabes Zug- bzw. bei Stäben auch Druckkräfte auftreten können. Resultierende Kräfte und Momente können auch von Lasten, die linien-, flächen- oder volumenverteilt an einem Körper angreifen, berechnet werden. Hierzu müssen entsprechende Linien-, Flächen- und Volumenintegrale berechnet werden, siehe Box 2.2.

Box 2.2: Kraftdichten

Linien, Flächen- und Volumenkraftdichten: (Dimensionen: Kraft/Länge, Kraft/Fläche, Kraft/Volumen)

Resultierende Kräfte und Momente von Kraftdichten:

2.1 Beispiele zu Kraftsystemen

Beispiel 2.1 (Resultierende Kraft und Moment)

Wir betrachten den Quader aus Abb. 2.1, an dem drei Kräfte angreifen. Es liege das Kraftsystem ( ) mit

vor. Wir berechnen hierzu zunächst die resultierende Kraft gemäß Gl. (2.3)1

Da sich ein Moment, siehe Gl. (2.2), bzw. das resultierende Moment (2.3)2, auf einen Bezugspunkt bezieht, berechnen wir das Moment relativ zu den Punkten

d. h. bzgl. des Koordinatenursprungs (und damit körperfremden Punktes) und eines körperfesten Punktes. Mithilfe des Kreuzproduktes (1.25) resultiert für den

Abb. 2.1 Kräfte an einem Hexaeder (Zahlen in mm).

Punkt

Für den Punk berechnet sich das Moment analog. Wir bestimmen zunächst die Differenzvektoren

und berechnen

Offensichtlich wird, dass ein Moment je nach Bezugspunkt unterschiedlich ist. Des Weiteren erkennen wir, dass im dreidimensionalen Fall die Auswertung der resultierenden Kraft und insbesondere des resultierenden Momentes bezogen auf einen Punkt am einfachsten mit Anwendung der Vektorrechnung erfolgt.

Beispiel 2.2 (Zentrales Kraftsystem)

Wir betrachten einen Ring, an dem mehrere Seile angreifen. In jedem Seil wirke eine Zugkraft. Solche Konstruktionen werden zum Teil bei Zelten verwendet, um die Lasten in den Seilen auf ein einziges Tragseil, hier mit der resultierenden Kraft gekennzeichnet, zu übertragen, siehe Abb. 2.2a. Diese Systeme werden als zentrale Kraftsysteme bezeichnet. Bei zentralen Kraftsystemen ist das Momentengleichgewicht (2.4)2 immer erfüllt. Daher muss lediglich das Kräftegleichgewicht (2.4)1 behandelt werden.

Wir gehen davon aus, dass die einwirkenden Kräfte bekannt sind und wir die Kraft im Tragseil ausrechnen müssen. Falls die Orientierungen der Kräfte und deren Beträge bekannt sind, so kann man die Kraftberechnung graphisch durchführen, indem die einzelnen Kraftvektoren gemäß der Vektoraddition aneinandergelegt werden. Da das System im Gleichgewicht sein soll, d. h.

Abb. 2.2 Zentrales Kraftsystem und graphische Ermittlung einer Kraft. (a) Zentrales Kraftsystem, (b) Winkel und Kräfte, (c) graphische Vektoraddition.

die Summe aller Kräfte verschwinden muss, entspricht der Verbindungsvektor von der Spitze des letzten Vektors zum Fußpunkt des ersten Vektors der gesuchten Kraft, siehe Abb. 2.2c.

Alternativ gibt es zwei weitere rechnerische Möglichkeiten. Entweder sind die Beträge der Kräfte und die Winkel in der Ebene (zwischen der Horizontalen und dem Vektor) gegeben, d. h. und (Angaben in kN), siehe Abb. 2.2b,

Wir berechnen mithilfe der komponentenweisen Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen (2.5) die Kräfte in x- und y-Richtung ( )

Dies sind die Horizontal- bzw. Vertikalanteile der Kräfte, die über trigonometrische Funktionen sofort erhältlich sind. Der Betrag der Kraft lautet

Den Winkel α der Kraft relativ zur Horizontalen berechnen wir aus

Hätten wir die einzelnen Kraftvektoren in Komponentenschreibweise

formuliert, so bildet sich das Gleichgewicht mithilfe von Gl. (2.4)1

d. h.

Je nachdem welche Informationen gegeben sind, bietet sich die eine oder andere Vorgehensweise an.

Beispiel 2.3 (Seil und Freischneiden)

Seile können nur Zugkräfte übertragen. Auf Druck weichen sie seitlich aus. Die Seilkraft wirkt in Richtung des Seils. Schneidet man (fiktiv) das Seil durch, so legt man die in dem Seil vorhandene Seilkraft frei. In Abb. 2.3a ist ein Seil dargestellt, an welchem eine schwere Lampe der Masse m = 100 kg hängt (a = 5 m, b = 1 m, h = 0,5 m). Durch Freischneiden erhalten wir ein zentrales Kraftsystem gemäß Abb. 2.3b. Bildet