Der Ursprung des neuzeitlichen Zahlensystems: Entstehung und Verbreitung

Von Tapan Kumar Das Gupta

Nach heutigem Stand der Forschung ist das dezimale Zahlensystem mit dem Stellenwert und der Null zuerst in Indien belegt. Anhand der indischen Quellen zeigt der Verfasser, dass es sich bei diesem System nicht um eine einmalige Erfindung einer einzelnen Person bzw. einer Schule handelte. Es entstand allmählich in der Zeit zwischen dem 5. Jh. und dem 6. Jh. durch einen Prozess des Zusammenwirkens von drei unterschiedlichen Zahlensystemen. Das Zeichen des Kreises für die Null ist aus der graphischen Darstellung der Ziffer 10 eines älteren Zahlensystems hervorgegangen.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Books on Demand
• Erscheinungsdatum: 3. Okt. 2013
• ISBN: 9783732270408

Tapan Kumar Das Gupta

Der Verfasser ist Kulturwissenschaftler im Ruhestand, war unter anderem im Hamburgischen Museum für Völkerkunde beschäftigt und hat in diesem Verlag eine Monographie über den Ursprung des neuzeitlichen Zahlensystems veröffentlicht.

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Einleitung

1769 machte sich Gotthold Ephraim Lessing Gedanken über den Ursprung der Zahlen und vertrat die Ansicht, dass das Abendland die heutigen Ziffern von den Indern durch die Vermittlung der Sarazenen in Spanien erhalten hatte: „…die Ziffern, deren wir uns gegenwärtig mit großem Nutzen im gemeinen Leben bedienen, haben wir den Saracenen zu danken; ob sie schon selbst so ehrlich sind, und aufrichtig gestehen, daß deren Erfindung eigentlich den Indianern gehöret, und von diesen erst auf sie gebracht worden."¹ Lessing sprach auch darüber, dass nach allgemeiner Auffassung die arabischen Ziffern erst im 13. Jh. im Abendland bekannt geworden waren und hegte Zweifel an der im 1727 aufgestellten Hypothese von Johann F. Weidler, dass sich die Existenz der heutigen Ziffern bereits in dem fünften und sechsten Jahrhundert nachweisen ließ: „Der Mann - gemeint ist Weidler - „ist hinter einen alten Codicem Mscr. des Boethius gekommen, welcher unter dem Titel de Ratione Abaci, eine lateinische Uebersetzung des Euclides enthält. Nun hat es übrigens seine Richtigkeit, daß dieser Boethius im 524 Jahr, auf Befehl des ostrogothischen Königes Dieterich, zu Pavia enthauptet worden (ist). Es ist auch eben so gewiß, daß in ermeld(e)tem Codex, der zu Altdorf in der Bibliothek liegt, bereits dergleichen Ziffern in ihrer alten Gestalt zu finden sind. Aber wenn der Codex selbst geschrieben worden, und ob diese Ziffern nicht ein Werk des Copisten sind? ist eine andere Frage.² Es ist nicht weiter verwunderlich, dass der Name Boethius (480-524 n. Chr.) in einer so frühen Phase der Erforschung der heutigen Zahlen erscheint, dies liegt in der Sache selbst, wie in folgenden Betrachtungen anderer Verfasser gleich zu erkennen sein wird. Zugleich hatte Lessing die Problematik der Ziffern im Werk von Boethius richtig erkannt.

1817 leitete der Astronom Jean B. J. Delambre die Diskussion ein, nachdem er sich Einblick in astronomisch-mathematische Werke der Inder verschaffen konnte, die ihm seinerzeit in Übersetzungen zugänglich waren. Er äußerte sich verschiedentlich über das indische Wort śūnya und bemerkte dabei, dass das Wort die „Leere" bedeutet und mit einem Kreis wiedergegeben wird.³ Delambre machte zugleich darauf aufmerksam, dass das Zeichen der Null mit einem Kreis, über dem sich ein Strich befindet (ō), auch im sexagesimalen Zahlensystem der astronomischen Werke Almagest (Syntaxis) von Ptolemäus vorkommt. Er habe dies in den Schriften von Theon von Alexandria (4. Jh. n. Chr.) gefunden. Delambre ging davon aus, dass es sich um die griechische Bezeichnung ούδέν (nichts) handeln könnte, um einen leeren Platz auszufüllen. Denkbar wäre aber auch, dass das Nullzeichen in irgendeiner Beziehung zu O (Omikron) stünde, da dieser Buchstabe in einem sexagesimalen Zahlensystem keine Verwendung hätte.

Das Zeichen sei bei den Indern und den Griechen unabhängig voneinander aus derselben Idee hervorgegangen, zum selben Zweck verwendet worden und wiese ein etwas ähnliches Aussehen auf. Delambre befasste sich auch mit dem Zahlensystem in der Geometrie von Boethius. Dabei erwähnte er, dass Boethius sich auf Galileo Galilei berief, der glaubte, dass die Pythagoreer Kenntnisse von den Zahlen einschließlich der Null gehabt hatten, die sie aber wegen ihren mystischen Einstellungen geheim hielten. Dazu heißt es weiter: „Der Nachricht des Boethius (in seiner Geometrie am Ende) zufolge, haben die Pythagoräer eine Bezeichnung der Zahlen, wie die unsrige ist, gehabt, und mit diesen Zahlzeichen gerechnet. Er nennt ihre Zeichen Apices vel Characteres. Pythagoras oder einer seiner Nachfolger, muß die Bezeichnungsart von den Indiern bekommen haben, da es nicht möglich ist, daß die Indier sie von einer kleinen Anzahl geheimnisvoller Menschen sollten erhalten haben."⁴

1831 erschien das Werk „Grammaire Arabe" von Silvester de Sacy, in dem er von einem arabischen Manuskript berichtete, das er in der Bibliothek der alten Abtei Saint-Germain-des-Prés entdeckt hatte.⁵ Das Manuskript enthält charakteristische Zahlen, bezeichnet als die „Gobar/Ghubār-Zahlen (Staub-Zahlen)". Über den Zahlen werden Punkte angebracht (hier Tab.1), sie geben den jeweiligen Wert der Position an. So über Zehner ein Punkt, über Hunderter zwei Punkte über Tausender drei Punkte usw.⁶ Einen gewissen Zusammenhang zwischen den Ghubār-Zahlen und den indischen Zahlen konnte de Sacy zwar erkennen, glaubte aber nicht, dass darin auch die Null vorkommt. Alexander von Humboldt machte auf die Bemerkung von de Sacy aufmerksam, fügte aber dann hinzu: „Ich glaube, daß allerdings das Nullzeichen vorhanden sei… Man möchte glauben, daß dunkle Ideen von Bezeichnungen durch Puncte und Nullen sich durch Alexandriner aus dem Orient nach Europa verbreitet hatten. Das wirkliche Nullzeichen, und als etwas Fehlendes, wendet Ptolemäus in der abwärts steigenden Sexagesimal-Scale für fehlende Grade, Minuten oder Secunden an. Auch in Handschriften des Theon, im Commentar zur Syntaxis des Ptolemäus, will Delambre das Nullzeichen gefunden haben. Es ist daher im Occident weit älter, als der Einbruch der Araber."⁷

1839 befasste sich Michel Chasles mit dem Werk von Boethius. Tab.2 enthält jeweils neun Zeichen und deren Namen aus der Veröffentlichung von Chasles, die aus einem Manuskript (11. Jh. n. Chr.) der Geometrie von Boethius entnommen sind. Darin ist auch noch ein Kreis mit dem Buchstaben a in der Mitte zu sehen.⁸ Chasles bemühte sich, die Zeichen und die Namen zu deuten und kam zu dem Schluss, dass es sich bei diesen um ein neues Zahlensystem handelt. Der Kreis mit dem a soll höchst wahrscheinlich die Null bedeuten. Das a sei vielleicht der Endbuchsstabe des Wortes syphra, das im Text Sipos bezeichnet wird. Nach seiner Meinung war das Zeichen der Null aber nicht im ursprünglichen Werk von Boethius enthalten: „Wir nehmen nicht an, dass sich dieses zehnte Zeichen in der Autographie des Boëtius selbst finde; sie wird später hinzugefügt sein. Aber es ist gut, dieselbe in einem Manuscript des 11ten Jahrhunderts zu bemerken, weil es eine Meinung ist, die von sehr angesehenen Schriftstellern getheilt wird, dass die Null erst zu Anfang des 13ten Jahrhunderts von Fibonacci eingeführt wurde".⁹ So soll die Null im 11. Jh. bekannt gewesen sein, und es sei nicht Leonardo von Pisa (Fibonacci), der die Null zum ersten Mal in Abendland einführte. Chasles hielt es auch für unwahrscheinlich, dass Gerbert de Aurillac (940-1003 n. Chr., seit 999 Papst Silvester II.) das indische Zahlensystem gekannt hatte, folglich schloss er aus, dass Gerbert die Zahlen von den Sarazenen in Spanien empfangen haben konnte.

In einer eingehenden Untersuchung über den Inhalt des Werkes von Boethius gelangte Gottfried Friedlein 1861 zu einem Ergebnis, das den Ansichten von Chasles diametral entgegengesetzt war. Er hob zunächst hervor, dass die Bedeutung der Apices in der Geometrie von Boethius noch nicht vollständig geklärt sei. Friedlein referierte dann unterschiedliche Deutungen, die hierfür seinerzeit vorgeschlagen worden waren, und bemerkte anschließend: „Mag nun aber das Urtheil über diese Namen noch ausfallen, wie immer, so viel scheint mit Sicherheit anzunehmen, dass die Quelle davon das Arabische ist und dass, weil nach der Geschichte römischgermanische und arabische Cultur zuerst an den Gränzen Frankreichs und Spaniens zusammentrafen, dort der Uebergang derselben in das christliche Europa zu suchen ist. Als Vermittler desselben wurde Gerbert genannt und angenommen, bis Chasles dieses in Zweifel zog und auf Boethius aufmerksam machte."¹⁰ Friedlein zeigte nun, dass in dem Werk, das dem Boethius zugeschriebenen wird, Textpassagen erhalten sind, die aus Schriften anderer Verfasser entnommen worden sein müssen. Dies gilt nicht nur für die Geometrie allein, sondern auch für den arithmetischen Teil des Werkes: So bin ich nun mit der genauen Betrachtung des Textes im Einzelnen zu Ende gekommen und glaube auf Grund derselben jetzt auch von den arithmetischen Stücken als sicher aussprechen zu können, dass sie nicht von Boethius sein können.¹¹ Anders als Chasles hielt Friedlein es für sicher, dass Gerbert seine Kenntnisse über die neuen Zahlen in Spanien erworben hatte und vertrat die Ansicht, dass die Apices des Boethius und die Ghubār-Zahlen der Araber auf einen gemeinsamen Ursprung zurückgehen. Die Null war nicht im 6. Jahrhundert durch Boethius, sondern im 10. Jahrhundert durch Gerbert in Europa bekannt geworden. Ihre volle Bedeutung in einem Zahlensystem wurde jedoch noch nicht erkannt, dies geschah erst durch Leonardo von Pisa, also doch erst im 13. Jahrhundert.

1863 ging Franz Woepcke auf die Bedeutung des Zeichens ō bei Ptolemäus im sexagesimalen System ein, das von Delambre entweder als „leer (ούδέν), oder als „der Buchstabe O (Omikron) gedeutet wurde. Woepcke war der Ausfassung, dass die Deutung des Sachverhaltes weiter abgegrenzt werden kann.¹² Denn die Griechen benutzten den Buchstaben O (Omikron) für die Zahl 70, und es lässt sich leicht erkennen, dass es sich bei dem Zeichen für die Null nicht um diesen Buchstaben handeln kann. Die Meinung könne nicht stimmen, dass die Zahl 70 in einem sexagesimalen System überflüssig sei und deshalb sich das Zeichen O für die Null verwenden lasse. Im Almagesta komme der Buchstabe Omikron in der Bedeutung 70 vor, z.B. um die Breite von 70 Grad der Sterne zu verzeichnen. Gehe man davon aus, dass es sich bei dem Zeichen der Null um den Buchstaben Omikron handele, dann sei zwischen ihr und der Zahl 70 nicht mehr zu unterscheiden. Es sei offensichtlich, dass das Zeichen verwendet wurde, um einen leeren Platz zu kennzeichnen, und auch deshalb angemessen sei, es als „leer (ούδέν)" aufzufassen. Die Einführung des Zeichens könnte im Rahmen einer Verbesserung des sexagesimalen Systems zurzeit Theons von Alexandria stattgefunden haben, was später von den Araber übernommen worden wäre. Was die Ghubār-Zahlen anbelangt, sollen sie vor der Ankunft der Araber in Spanien bereits vorhanden gewesen sein. Die Spanier sollen sie ca. 450 n. Chr. aus Indien durch die Vermittlung der Neo-Pythagoreer aus Alexandria erhalten haben.¹³

Georg H. F. Nesselmann hatte jedoch zuvor im Jahre 1842 daran Zweifel, ob das Zeichen ō in den Schriften von Ptolemäus tatsächlich von ihm selbst stammte, so könne die Angelegenheit nur anhand der Belege aus älteren Manuskripten geklärt werden: „Zur Vermeidung von Irrthümern war es bei diesem System zwar nicht durchaus nothwendig, aber doch wünschenswerth, das Fehlen eines der Glieder in der geometrischen Progression durch ein eigenes Zeichen anzudeuten, und so erscheint auf einmal in der Sehnentafel bei Ptolemäus das Nullzeichen mit einem Horizontalstrich über sich, ō, wahrscheinlich als Abkürzung von ούδέν, obgleich weder Ptolemäus selbst, noch sein Commentator Theon auch nur ein Wort, über die Einführung und den Gebrauch dieses bis dahin ganz unbekannten Zeichens verlieren. Möchte es vielleicht erlaubt sein, aus diesem argumentum a silentio den Schluß zu ziehen, daß das Zeichen ō erst in spätere Manuscripte hineingetragen worden ist, nachdem man sich durch den Gebrauch der aus dem Arabischen gemachten Bearbeitungen an dasselbe gewöhnt hatte? Ich mag darüber nichts entscheiden; auch könnte nur das Vorhandensein oder das Fehlen des Zeichens in sehr alten Handschriften etwas für oder wider die Hypothese beweisen."¹⁴

únya‘, together with the ‚bindu‘ or point which, as has been said, die Indians appear to have used to fill up lacunae in MSS. The oldest figures directly derived from the Indian signs for ten, however, might well have been retained by the writers of Arabic versions of