Das Buch der Mathematik: Band 1

Von Simone Malacrida

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend von den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.
Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht als auch aus der Sicht der Sicht und Definitionen jedes bestimmten Typs und auf praktischer Ebene angenommen, um mehr als 1.000 Übungen zu lösen.
Der Ansatz zur Mathematik wird durch progressives Wissen vergeben und die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge aufgedeckt, damit der Leser einen kontinuierlichen Weg in der Untersuchung dieser Wissenschaft aufbauen kann.
Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analyse und Geometrie verabreichte fortgeschrittene Mathematik und schließlich den Teil der Statistiken, Algebra und Logik.
Das Schreiben steht als All-inclusive-Arbeit in Bezug auf die Mathematik und lässt keinen Aspekt der vielen Facetten aus, die es übernehmen kann.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Simone Malacrida
• Erscheinungsdatum: 12. Feb. 2023
• ISBN: 9798215505069

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Buchvorschau

„Das Buch der Mathematik: Band 1"

SIMONE MALACRIDA

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend mit den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.

Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht angegangen, indem Theoreme und Definitionen jedes einzelnen Typs erläutert werden, als auch auf praktischer Ebene, indem mehr als 1.000 Aufgaben gelöst werden.

Die Herangehensweise an die Mathematik ist durch progressives Wissen gegeben, wobei die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge dargestellt werden, so dass der Leser einen kontinuierlichen Pfad im Studium dieser Wissenschaft aufbauen kann.

Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analysis und Geometrie gegebene fortgeschrittene Mathematik und schließlich der Teil über Statistik, Algebra und Logik.

Die Schrift versteht sich als umfassendes mathematisches Werk, das keinen Aspekt der vielen Facetten auslässt, die es annehmen kann.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

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EINLEITUNG _ _ _

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ERSTER TEIL: ELEMENTARE MATHEMATIK

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1 – ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

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2 – ELEMENTARE ARITHMETISCHE OPERATIONEN

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3 – MENGENTHEORIE

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4 – Wörtliche Berechnung

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5 – EBENE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

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6 – FESTE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

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7 – ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN

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8 – ELEMENTARE ANALYTISCHE GEOMETRIE

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9 – GONIOMETRISCHE FUNKTIONEN UND TRIGONOMETRIE

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10 – EXPONENTIAL-, LOGARITHMUS- UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

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11 – FUNKTIONSTHEORIE

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12 – KOMPLEXE ZAHLEN

ZWEITER TEIL : MATHEMATISCHE ANALYSE, FUNKTIONSANALYSE UND FORTGESCHRITTENE GEOMETRIE

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13 – ALLGEMEINE TOPOLOGIE

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14 - LIM I T S

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15 – KONTINUIERLICHE FUNKTIONEN

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16 – DIFFERENTIALBERECHNUNG

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17- INTEGRALE BERECHNUNG

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18 – UNTERSUCHUNG VON FUNKTIONEN DER REALEN VARIABLEN

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19 – NACHFOLGE UND NUMMERNREIHE

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20 – NACHFOLGE UND FUNKTIONSERIEN

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21 – SERIE POWER, TAYLOR UND FOURIE R

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22 – V EKTOREN UND VEKTORMATHEMATIK

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23 – MATRIKEN UND MATRIXMATHEMATIK

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24 – FORTGESCHRITTENE ANALYTISCHE GEOMETRIE

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25 – NICHT- EUKLIDISCHE GEOMETRIE

EINFÜHRUNG

In der heutigen Gesellschaft ist Mathematik die Grundlage der meisten naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen wie Physik, Chemie, Ingenieurwissenschaften aller Bereiche, Astronomie, Wirtschaftswissenschaften, Medizin, Architektur.

Darüber hinaus bestimmen mathematische Modelle den Alltag, zum Beispiel im Transportwesen, in der Energiewirtschaft und -verteilung, in der Telefon- und Fernsehkommunikation, in der Wettervorhersage, in der Planung der landwirtschaftlichen Produktion und in der Abfallwirtschaft, in der Definition von Geldströmen, in der Kodifizierung von Industrieplänen und so weiter, da die praktischen Anwendungen nahezu unbegrenzt sind.

Daher ist Mathematik eine der grundlegenden Grundlagen für die Bildung einer zeitgemäßen Kultur jedes einzelnen Individuums, und dies wird sowohl aus den Schulprogrammen deutlich, die von den frühesten Jahren an den Mathematikunterricht einführen, als auch aus der engen Beziehung zwischen dem gewinnbringenden Lernen von Mathematik Mathematik und die soziale und wirtschaftliche Entwicklung einer Gesellschaft.

Dieser Trend ist nicht neu, da er eine direkte Folge jener Revolution ist, die zu Beginn des siebzehnten Jahrhunderts stattfand, die die wissenschaftliche Methode als das Hauptwerkzeug zur Beschreibung der Natur einführte und deren Ausgangspunkt gerade durch die Überlegung gegeben war, dass die Mathematik es könnte der Schlussstein sein, um zu verstehen, was uns umgibt.

Die große „Stärke" der Mathematik liegt in mindestens drei verschiedenen Punkten.

Erstens ist es dank ihr möglich, die Realität mit wissenschaftlichen Begriffen zu beschreiben, dh indem man einige Ergebnisse vorhersieht, noch bevor man die wirkliche Erfahrung gemacht hat.

Ergebnisse vorherzusagen bedeutet auch, die Unsicherheiten, Fehler und Statistiken vorherzusagen, die notwendigerweise entstehen, wenn das Ideal der Theorie in die extremste Praxis umgesetzt wird.

Zweitens ist Mathematik eine Sprache mit einzigartigen Eigenschaften.

Es ist künstlich, wie von Menschen gebaut.

Es gibt andere künstliche Sprachen, wie das Morsealphabet; Aber der große Unterschied zur Mathematik besteht darin, dass sie eine künstliche Sprache ist, die die Natur und ihre physikalischen, chemischen und biologischen Eigenschaften beschreibt.

Das macht sie jeder anderen möglichen Sprache überlegen, da wir dieselbe Sprache sprechen wie das Universum und seine Gesetze. An dieser Stelle kann jeder von uns seine eigenen Ideologien oder Überzeugungen einbringen, ob säkular oder religiös.

Viele Denker haben hervorgehoben, dass Gott ein großer Mathematiker ist und dass Mathematik die bevorzugte Sprache ist, um mit dieser überlegenen Entität zu kommunizieren.

Die letzte Eigenschaft der Mathematik ist, dass sie eine universelle Sprache ist. Mathematisch gesehen könnte der Turmbau zu Babel nicht existieren.

Jeder Mensch, der über einige mathematische Grundlagen verfügt, weiß sehr gut, was mit bestimmten Symbolen gemeint ist, während Übersetzer und Wörterbücher benötigt werden, um sich mit geschriebenen Wörtern oder mündlichen Reden zu verstehen.

Wir wissen sehr gut, dass Sprache die Grundlage allen Wissens ist.

Gerade durch die Sprache lernt der Mensch in den ersten Lebensjahren eine Reihe grundlegender Informationen für die Entwicklung der Intelligenz.

Das menschliche Gehirn zeichnet sich gerade durch diese spezifische Besonderheit aus, eine Reihe komplexer Sprachen zu artikulieren, und dies hat uns alle bekannten Vorteile gegenüber allen anderen Arten des Tierreichs verschafft.

Sprache ist auch eine der Voraussetzungen philosophischer, spekulativer und wissenschaftlicher Erkenntnis, und Gadamer hat dies unmissverständlich und endgültig hervorgehoben.

Aber es gibt noch eine dritte Eigenschaft der Mathematik, die viel wichtiger ist.

Mathematik ist nicht nur eine künstliche und universelle Sprache, die die Natur beschreibt, sondern auch Problemlösung , daher ist sie Konkretheit aus Wissenschaft, da der Mensch immer darauf abzielte, Probleme zu lösen, die ihn belasten.

Um die letzten Zweifel an der Sache auszuräumen, ist es ratsam, einige konkrete Beispiele zu nennen, die sich auf die Zeit vor Jahrtausenden beziehen.

Die Entdeckung irrationaler Zahlen durch Pythagoras, vor allem Pi und die Quadratwurzel, war keine bloße theoretische Spekulation.

Dieser mathematischen Symbolik lag die Lösung zweier sehr konkreter Probleme zugrunde.

Da die Häuser einen quadratischen Grundriss hatten, musste einerseits die innere Diagonale genau berechnet werden, um den Materialverlust beim Bau der Mauern zu minimieren, andererseits war Pi die mathematische Verbindung zwischen geraden und krummlinigen Strecken, wie der Radius eines Rades und sein Umfang.

Angesichts konkreter Probleme hat der menschliche Intellekt diese mathematische Sprache erfunden, deren Eigenschaft gerade darin besteht, Probleme durch Beschreibung der Natur zu lösen.

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Der erste Teil dieses Buches hat den ausdrücklichen Zweck, die Grundlagen der elementaren Mathematik zu vermitteln, das heißt des gesamten Teils der Mathematik vor der Einführung der mathematischen Analyse.

Die in diesem Teil dargelegten Begriffe und Konzepte waren zum Teil bereits in der Antike bekannt (z. B. zur Zeit der Griechen), insbesondere hinsichtlich des Teils der elementaren Logik, zusammen mit elementaren Operationen und geometrischen Beziehungen.

Die restlichen Kapitel des ersten Teils beschreiben das Wissen, das die Menschheit im Laufe der Jahrhunderte erworben hat, insbesondere nach der großen Explosion des Denkens in der Renaissance bis zum Ende des 17. Jahrhunderts.

Diese Grenze gilt als Abgrenzung zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik, gerade weil die Ende des 17. Jahrhunderts von Newton und Leibnitz eingeführte mathematische Analyse den qualitativen Sprung zu neuen Horizonten und zur wirklichen Beschreibung der Natur in mathematischen Begriffen ermöglichte.

Genau aus diesem Grund folgt die Darlegung der Themen einer logischen Reihenfolge, obwohl jeder Abschnitt für sich ein vollständiges Thema darstellt, was eine kontinuierliche Erweiterung des Wissens auf der Grundlage des zuvor Gelernten ermöglicht.

Der erste Teil des Buches deckt sich mehr oder weniger mit dem, was bis zum Ende des Gymnasiums gelehrt wurde (nur für naturwissenschaftliche Gymnasien, mit dem Ende des vierten und nicht des fünften Jahres).

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Der zweite Teil des Buches liefert alle Grundlagen der fortgeschrittenen Mathematik und umfasst darin sowohl die große Disziplin der mathematischen Analyse als auch alle unterschiedlichen Gebiete, die in den letzten zwei Jahrhunderten entstanden sind, darunter, um nur einige zu nennen, das Differential und fraktale Geometrie, nichteuklidische Geometrien, algebraische Topologie und Funktionsanalyse.

Fast alle diese Begriffe wurden nach der Einführung des Formalismus der mathematischen Analysis Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt, und seitdem hat sich der Weg der Mathematik immer parallel zwischen diesem Sektor und allen anderen möglichen Teildisziplinen so allmählich fortgesetzt Seite an Seite und haben eigenständige Wege eingeschlagen.

Es bleibt zu verstehen, warum die mathematische Analyse diese Wasserscheide zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik eingeführt hat.

Es gibt zwei Bereiche, die sich in diesem Diskurs ergänzen.

Einerseits war es erst mit der Einführung der mathematischen Analyse möglich, mit einem geeigneten Formalismus die Gleichungen zu beschreiben, die Naturphänomene physikalischer, chemischer oder anderer Herkunft, beispielsweise sozialer oder wirtschaftlicher Natur, beherrschen.

Mit anderen Worten, die mathematische Analyse ist das Hauptwerkzeug zum Aufbau jener Mechanismen, die es uns ermöglichen, Ergebnisse vorherzusagen, Technologien zu entwerfen und über neue Verbesserungen nachzudenken, die eingeführt werden können.

Andererseits besitzt die mathematische Analysis ihrem Wesen nach eine spezifische Eigentümlichkeit, die sie deutlich von der bisherigen Elementarmathematik unterscheidet.

Es sieht nach örtlichen Erwägungen vor, nicht ausschließlich pünktlich.

Allein der Übergang von der Pünktlichkeit zur Lokalität wird es ermöglichen, einen Diskurs der Globalität aufzubauen, der weit über das bisher Erkennbare hinausgeht.

Dieser Teil stellt Konzepte vor, die normalerweise auf Universitätsniveau in verschiedenen Analysis- und Geometriekursen behandelt werden.

Im dritten Teil des Buches werden Themen von allgemeinem Interesse behandelt, die von der mathematischen Analyse getrennt werden können, wie fortgeschrittene Algebra, Statistik und fortgeschrittene Logik.

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Jedes einzelne Kapitel des Buches kann als eigenständiges Gebiet der Mathematik betrachtet werden, aber nur durch die Analyse aller Themen wird es möglich sein, die Weite der Mathematik zu berühren, und aus diesem Grund spiegelt die Reihenfolge der Kapitel eine Kontinuität wider Abfolge von Wissen zum Fortschritt.

Tatsächlich hat die Mathematik eine nahezu unbegrenzte Breite an Sektoren und Anwendungen.

Es gibt keine Wissenschaft, die ohne mathematische Konzepte auskommt, und es gibt keine Anwendung, die nicht mathematische Begriffe entlehnt und sie mit bestimmten Sprachen entwickelt hat.

Auf diese Weise wurden viele Disziplinen und viele Theorien geboren, die in diesem Buch nicht vorgestellt werden. Um nur einige Beispiele zu nennen, können wir die Spieltheorie und die Finanzmathematik im Wirtschaftsbereich, die Anwendungen der Gruppentheorie und die fortgeschrittene Algebra für die theoretische Physik und die Elementarteilchen einschließen Evolution des Tensorkalküls für Probleme der Kosmologie und Astrophysik.

Aus diesem Grund ist dieses Buch, obwohl es sehr umfangreich ist, sicherlich nicht vollständig und allumfassend.

Es werden über 1.000 Übungen gemacht, aber die Anzahl der möglichen Probleme und Übungen ist nahezu unbegrenzt.

Außerdem gibt es im ganzen Buch keine Beweise von Sätzen, die die Sperrigkeit und das Verständnis weiter belastet hätten.

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Die auf einzelne Disziplinen und Technologien angewandte Evolution der Mathematik hat zu extremen Verzweigungen und einer kontinuierlichen Evolution geführt, die bis heute andauert.

Dies hat eine wichtige Konsequenz: Die Mathematik ist eine „lebende", zeitgenössische und zukünftige Wissenschaft und wird nicht auf eine historische Rolle reduziert.

Das Gesagte gilt nicht nur für die unzähligen Anwendungen, sondern auch für die reine Mathematik, dh für die in diesem Handbuch vorgestellten mathematischen Probleme.

Wenn man einen Historismus über die zum Ausdruck gebrachten Begriffe und Ergebnisse macht, kann man deutlich erkennen, dass einige Annahmen und einige Demonstrationen sehr neu sind (ein Beispiel ist vor allem die Demonstration der Poincaré-Vermutung), das heißt, sie fanden im 21. Jahrhundert statt.

Nicht umsonst gibt es Preise für noch offene Probleme, die sowohl historisch sind, wie Hilberts berühmte Fragen aus dem frühen 20. Jahrhundert, als auch sehr modern in Bezug auf Computerrechnen, Logik, Komplexitäts- und Chaostheorie als geometrische und algebraische Konzepte.

Als lebendige Wissenschaft, ebenso wie eine universelle Sprache, wird die Mathematik ständig mit neuen Wörtern und neuen Konstrukten bereichert, und deshalb ist das, was in diesem Buch präsentiert wird, nur ein Sprungbrett zu noch fortgeschrittenerem und spezifischerem Wissen.

Die Herausforderung anzunehmen, ein neues Kapitel oder ein einzelnes Kapitel in dieser fesselnden Geschichte der einzigen universellen künstlichen Sprache zu schreiben, die die Natur beschreibt, ist Teil der Evolution unserer Spezies und deshalb ist jeder von uns aufgerufen, daran teilzunehmen.

ERSTER TEIL: ELEMENTARE MATHEMATIK

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ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

Einführung

Die mathematische Logik befasst sich mit der mathematischen Kodierung intuitiver Konzepte im Zusammenhang mit dem menschlichen Denken.

Sie ist der Ausgangspunkt für jeden mathematischen Lernprozess und daher macht es durchaus Sinn, die elementaren Regeln dieser Logik am Anfang des gesamten Diskurses darzulegen.

Wir definieren ein Axiom als eine Aussage, die als wahr angenommen wird, weil sie als selbstverständlich angesehen wird oder weil sie der Ausgangspunkt einer Theorie ist.

Logische Axiome werden durch jede logische Struktur erfüllt und werden in Tautologien (per Definition wahre Aussagen ohne neue Aussagekraft) oder trotzdem als wahr geltende Axiome unterteilt, die ihre universelle Gültigkeit nicht beweisen können.

Nichtlogische Axiome sind niemals Tautologien und werden Postulate genannt.

Sowohl Axiome als auch Postulate sind unbeweisbar.

Im Allgemeinen werden die Axiome, die eine Theorie begründeten und begründeten, Prinzipien genannt.

Ein Theorem hingegen ist ein Satz, der ausgehend von Anfangsbedingungen (sog. Hypothesen) durch ein logisches Verfahren namens Demonstration zu Schlussfolgerungen (sog. Thesen) gelangt.

Sätze sind also per Definition beweisbar.

Andere beweisbare Aussagen sind die Lemmata, die normalerweise einem Theorem vorausgehen und ihm die Grundlage geben, und die Folgerungen, die stattdessen auf den Beweis eines gegebenen Theorems folgen.

Eine Vermutung hingegen ist eine Aussage, die aufgrund allgemeiner Überlegungen, Intuition und gesundem Menschenverstand für wahr gehalten, aber noch nicht in Form eines Theorems nachgewiesen wurde.

Symbologie

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Die mathematische Logik bewirkt, dass Symbole eingreifen, die dann in allen einzelnen Bereichen der Mathematik wiederkehren. Diese Symbole sind vielfältig und gehören zu verschiedenen Kategorien.

Die Gleichheit zwischen zwei mathematischen Elementen wird mit dem Symbol von angezeigt , wenn sich diese Elemente stattdessen voneinander unterscheiden, wird das Symbol der Ungleichheit durch angegeben .

Auf dem Gebiet der Geometrie ist es auch sinnvoll, den so bezeichneten Begriff der Kongruenz und der Ähnlichkeit einzuführen .

In der Mathematik kann auch Proportionalität definiert werden, bezeichnet mit .

In vielen Fällen müssen mathematische und geometrische Konzepte definiert werden, das Definitionssymbol ist dies .

Schließlich wird die Negation durch einen Balken über dem logischen Begriff angegeben.

Dann gibt es quantitative logische Symbole, die sprachlichen Begriffen entsprechen. Die Existenz eines Elements wird so angezeigt , die Eindeutigkeit des Elements so , während der Ausdruck „für jedes Element" so transkribiert wird .

Andere Symbole verweisen auf Ordnungslogiken, dh auf die Möglichkeit, die einzelnen Elemente nach quantitativen Kriterien aufzulisten, und bringen Informationen weit über den Begriff der Ungleichheit hinaus.

Wenn ein Element größer als ein anderes ist, wird es mit dem Größer-als-Symbol > gekennzeichnet, wenn es kleiner ist, mit dem von Kleiner <.

In ähnlicher Weise gilt für Mengen das Inklusionssymbol, um eine kleinere Menge zu bezeichnen .

Diese Symbole können mit Gleichheit kombiniert werden, um Erweiterungen zu generieren, einschließlich der Konzepte „größer als oder gleich und „kleiner als oder gleich .

Offensichtlich kann man auch die Negation der Inklusion durch gegeben haben .

Eine andere Kategorie logischer Symbole bringt das Konzept der Zugehörigkeit ins Spiel.

Wenn ein Element zu einer anderen logischen Struktur gehört, wird es mit angezeigt , wenn es nicht dazugehört, mit .

Einige logische Symbole transkribieren, was normalerweise in den logischen Prozessen der verbalen Konstruktion stattfindet.

Die Implikation eines hypothetischen Nebensatzes (das klassische „if...then) wird so kodiert , während die logische Co-Implikation („if and only if) so kodiert wird .

Das sprachliche Konstrukt „so dass" wird in der Verwendung des Doppelpunkts zusammengefasst:

Schließlich gibt es logische Symbole, die die Ausdrücke „und/oder (einschließlich Disjunktion), „und (logische Konjunktion), „oder" (exklusive Disjunktion) codieren.

In den ersten beiden Fällen kann ein Korrespondent in der Vereinigung zwischen mehreren Elementen gefunden werden, die mit gekennzeichnet ist , und in der Schnittmenge zwischen mehreren Elementen .

Alle diese Symbole werden als logische Konnektoren bezeichnet.

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Prinzipien

Es gibt vier logische Prinzipien, die im elementaren Logikschema absolut gültig sind (aber nicht in einigen fortgeschrittenen Logikschemata).

Diese Prinzipien sind Tautologien und waren bereits in der antiken griechischen Philosophie als Teil des logischen Systems von Aristoteles bekannt.

1) Identitätsprinzip: Jedes Element ist sich selbst gleich.

2) Prinzip der Bivalenz: Ein Satz ist entweder wahr oder falsch.

3) Grundsatz der Widerspruchsfreiheit: Wenn ein Element wahr ist, ist seine Negation falsch und umgekehrt. Daraus folgt notwendigerweise, dass dieser Satz nicht wahr sein kann

4) Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: Es ist nicht möglich, dass zwei widersprüchliche Aussagen beide falsch sind. Diese Eigenschaft verallgemeinert die vorherige, da die Widerspruchsfreiheit nicht ausschließt, dass beide Aussagen falsch sind.

Eigentum

Außerdem können für eine generische logische Operation die folgenden Eigenschaften in einer generischen logischen Struktur G definiert werden (es wird nicht gesagt, dass alle diese Eigenschaften für jede Operation und für jede logische Struktur gültig sind, es hängt von Fall zu Fall ab).

Reflexionseigenschaft :

Für jedes Element, das zur logischen Struktur gehört, bezieht sich die logische Operation, die an demselben Element ausgeführt wird, intern auf die logische Struktur.

Idempotenz-Eigenschaft :

Für jedes Element, das zu der logischen Struktur gehört, führt die an demselben Element durchgeführte logische Operation zu demselben Element.

Existenzeigenschaft des neutralen Elements :

Für jedes Element, das zu der logischen Struktur gehört, gibt es ein weiteres Element, so dass die darauf ausgeführte logische Operation immer das Startelement zurückgibt.

Existenzeigenschaft des inversen Elements :

Für jedes Element, das zu der logischen Struktur gehört, gibt es ein anderes Element, so dass die darauf ausgeführte logische Operation immer das neutrale Element zurückgibt.

Kommutativgesetz :

Bei zwei Elementen, die zu der logischen Struktur gehören, ändert sich das Ergebnis der an ihnen durchgeführten logischen Operation nicht, wenn die Reihenfolge der Elemente geändert wird.

transitive Eigenschaft :

Bei drei Elementen, die zu der logischen Struktur gehören, hängt die an der Kette von Elementen durchgeführte logische Operation nur vom ersten und letzten ab.

Assoziatives Eigentum :

Wenn drei Elemente gegeben sind, die zu der logischen Struktur gehören, ändert sich das Ergebnis der logischen Operation, die von ihnen durchgeführt wird, nicht gemäß der Reihenfolge, in der die Operationen durchgeführt werden.

Verteilungseigenschaft :

Bei drei Elementen, die zu der logischen Struktur gehören, ist die logische Operation, die an einer Gruppe von zwei von ihnen und an der anderen durchgeführt wird, äquivalent zu der logischen Operation, die an Gruppen von zwei durchgeführt wird.

Die Begriffe Gleichheit, Kongruenz, Ähnlichkeit, Proportionalität und Zugehörigkeit besitzen all diese eben aufgeführten Eigenschaften.

Ordnungssymbole erfüllen nur die transitiven und reflexiven Eigenschaften.

In diesem Fall wird die Idempotenzeigenschaft nur dadurch erfüllt, dass auch die Reihenfolge mit Gleichheit eingeschlossen wird, während die anderen Eigenschaften nicht gut definiert sind.

Die logische Implikation erfüllt die reflexiven, idempotenten und transitiven Eigenschaften, während sie die kommutativen, assoziativen und distributiven Eigenschaften nicht erfüllt.

Auf der anderen Seite befriedigt die Co-Implikation sie alle ebenso wie logische Konnektoren wie die logische Konjunktion und die inklusive Disjunktion.

Äquivalenzrelation genannt .

Im Allgemeinen gelten die beiden dualen Theoreme von De Morgan :

Diese Theoreme beinhalten die Definitionen von logischen Konnektoren und der Verteilungseigenschaft.

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Boolesche Logik

Für logische Konnektoren lassen sich mit dem Formalismus der sogenannten Booleschen Logik Wahrheitstabellen definieren, die auf den den einzelnen Aussagen zuzuordnenden wahren oder falschen Werten basieren.

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Die Negation ist wahr, wenn der Satz falsch ist und umgekehrt.

Die logische Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Die inklusive Disjunktion ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.

Exklusive Disjunktion ist falsch, wenn beide Aussagen falsch (oder wahr) sind.

Die logische Implikation ist nur dann falsch, wenn die Ursache wahr und die Konsequenz falsch ist.

Logische Co-Implikation ist wahr, wenn beide Aussagen wahr (oder falsch) sind.

Falls die logische Implikation wahr ist, wird A eine hinreichende Bedingung für B genannt, während B eine notwendige Bedingung für A genannt wird.

Die logische Implikation ist die Hauptmethode zum Beweis von Theoremen, wenn man bedenkt, dass A die Hypothesen darstellt, B die Thesen, während das Verfahren der logischen Implikation der Beweis des Theorems ist.

Die logische Co-Implikation ist eine Äquivalenzrelation.

In diesem Fall sind A und B logisch äquivalente Begriffe und sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingungen füreinander.

Unter Hinweis auf die exponierten Eigenschaften kann die logische Co-Implikation auch ausgedrückt werden als:

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Anwendungen der Logik: Beweis von Theoremen

Der mathematische Beweis eines Theorems kann auf zwei großen logischen Kategorien basieren.

Auf der einen Seite gibt es die Deduktion, die ausgehend von für wahr gehaltenen (oder bereits zuvor bewiesenen) Hypothesen die Gültigkeit einer These allein aufgrund der formalen und logischen Kohärenz der demonstrativen Argumentation bestimmt. Im Allgemeinen wird diesem Muster folgend ein Mechanismus angewendet, der vom Universellen zum Besonderen reicht.

Andererseits haben wir die Induktion, die von Einzelfällen ausgehend ein allgemeines Gesetz abstrahiert. Wie in der Geschichte der Logik immer wieder hervorgehoben wird, ist jede Induktion eigentlich eine Vermutung, und daher sind diese Sätze, wenn wir die induktive logische Methode anwenden wollen, als Axiome zu betrachten.

In der modernen Logik, auf die wir in diesem Abschnitt nicht eingehen werden, da sie sich mit fortgeschrittenen Konzepten befasst, die weit über den Rahmen dieser einfachen elementaren Grundlagen hinausgehen, wird die induktive Methode nicht als die richtige logische Argumentation akzeptiert, um Thesen mathematisch zu beweisen.

Die deduktive Methode ist daher die Hauptmethode des mathematischen Beweises.

Es wird unterschieden in die direkte Methode, bei der ausgehend von den Hypothesen die These tatsächlich nachgewiesen wird, und in die indirekte Methode, bei der die These als wahr angenommen wird und der logische Weg zu den Hypothesen rückwärts rekonstruiert wird.

Die indirekte Methode wiederum kann sich des Widerspruchsbeweises bedienen, der durch die Verneinung der These zu einem logischen Widerspruch führt und somit die These für das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten bewiesen bleibt.

Die Widerspruchsmethode besteht also nicht darin, zu beweisen, dass sie wahr ist, sondern dass sie falsch ist.

Manchmal kann man auf den Beweis des sogenannten Kontranominals zurückgreifen, um zum Beweis des Satzes zu gelangen.

Dies ergibt sich aus der folgenden logischen Beziehung.

Wenn es wahr ist , dann ist es zwangsläufig auch wahr .

In einigen bestimmten Bereichen der Mathematik, zum Beispiel in der Geometrie, können bestimmte demonstrative Konstrukte wie die der Ähnlichkeit und der Äquivalenz verwendet werden.

Logische Demonstrationsverfahren sind konstruktiv und iterativ in dem Sinne, dass frühere