Quantenmechanik aus elementarer Sicht Buch 2

Von Karl Fischer

Das Buch bringt die Euler-Lagrange-Gleichungen klassisch und für die QM, das Schrödinger-Näherungs-Verfahren z.B. für den anharmonischen Oszillator, QM-typische komplizierte Integrationsmethoden, die Streuung ohne und mit Feldoperatoren, nicht-euklidische Geometrie im Hinblick auf die Gravitationstheorie, Young-Diagramme, indefinite Metrik dazu die regularisierte Zweipunktfunktion, Primzahlsätze und vieles mehr und zu allem viele Beispiele.

• Sprache: Deutsch
• Herausgeber: Books on Demand
• Erscheinungsdatum: 7. Juni 2013
• ISBN: 9783732209408

Karl Fischer

Geboren 1942 im Kr.Dingolfing. Gymnasium, Studium Mathematik,Physik, Spezialgebiet Quantenmechanik, Lehramtstätigkeit, EDV-Entwickler, nach Pensionierung verstärkt Zuwendung zur Quantenmechanik und ähnlichen Themen.

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1.0 Variationsrechnung, Eulergleichungen, Lagrangefunktionen

1.1 Allgemeines, die Brachistochrone

Die Variationsrechnung sei gleich an einem Beispiel illustriert.

Ein Körper soll in einer senkrecht gedachten Ebene von der Stelle x=0, y=0 ausgehend zur Stelle x=h, y=a reibungsfrei gleiten. Gefragt ist nach dem Kurvenverlauf y(x), bei dem er am schnellsten zum Ziel kommt.

(griech. brachistos chronos kürzeste Zeit)

Das (x,y)-Koordinatensystem ist gegenüber dem gewöhnlichen Zeichnen um 90Grad im Uhrzeigersinn gedreht. Die Schwere zeigt so nach unten.

Wäre es in Normalanordnung, also zurückgedreht, so würde die Kurve einem Parabelzweig ähneln und die Schwerkraft würde nach rechts ziehen, was die Anschauung strapaziert, aber äquivalent ist.

Für ein kleines Wegstück ds auf der Bahn braucht der Körper die Zeit

dt = ds/v, wenn v die aktuelle Geschwindigkeit ist.

Nun ist ds² = dx² + dy² = [1 + (dy/dx)²]*dx², also ds = (1+y´²)¹/² * dx

Dabei ist y´ = dy/dx der Differentialquotient von y

Die aktuelle Geschwindigkeit v ergibt sich aus dem Energiesatz:

mv²/2 = mg*x Kinetische Energie = aufgebrauchte potentielle Energie. Daraus folgt unmittelbar v = [2gx]¹/²

Wir haben also

Mit diesem Integral kann man die Laufzeit berechnen, wenn der Kurvenverlauf y(x) bzw y´(x) bekannt ist. Das gilt also allgemein.

Wir gehen einen Schritt weiter. Wir wollen durch Variation des Integrals den Kurvenverlauf mit der Minmaleigenschaft, im Beispiel die Zeit, erst ermitteln.

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Variation: Um nun den Bahnverlauf y(x) zu finden, wird der Integrand, nennen wir ihn allgemein A(y, y´,x) variiert:

Angenommen der Kurvenverlauf wäre etwas anders, also y(x) => y(x) + δy(x), wobei die kleine Funktion δy(x) die Abweichung von y(x) ausdrückt, dann ist die Ableitung der geänderten Funktion gleich (y(x)+ δy(x))´ = y´(x)+δy´(x).

Es ist erlaubt, nach solchen Komplexen wie y und y´partiell zu differentieren.

Das ist analog zur Kettenregel.

Für die Änderung von A, als Funktion von y, y´und x, gilt dann analog zur Taylorreihe, in erster Ordnung:

δy´(x) ist also nicht unabhängig, sondern ist die Ableitung von δ(x), also δy´(x) = dδy(x)/dx.

Die Änderung von A, namentlich δA, kommt also nicht dadurch zu Stande, dass sich x ändert, sondern, dass bei gleichem x die Funktion A

hinsichtlich ihrer Argumente y bzw y´ um einen Betrag δy bzw δy´ verändert, variiert wird. Deswegen tritt auch ∂A/∂x bei δA nicht auf.

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Die Änderung des Integrals ist also

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Es ist nun weiterführend, wenn man im zweiten Term partiell die Kleinfunktion δy´ integriert

Da die Funktion y(x) gewissermaßen an den Enden festgezurrt ist, siehe Bild, ist an diesen Stellen δy(h) = δy(0) = 0, somit ist der erste Teil = 0.

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Und es verbleibt

Wenn nun y(x) so ist, dass das Gesamtintegral T minimal (oder maximal) ist, so muss δT =0 sein. Da δy klein, aber beliebig ist, hat das zur Folge, dass der {…}-Ausdruck gleich 0 sein muss, also

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In unserem Beispiel ist

Da y in A explizit nicht vorkommt, ist ∂A/∂y = 0

Es ist ∂A/∂y´ = ½*(1+y´²)-1/2 *2y´ * [2gx]-1/2

Die verbleibende Variations-Gleichung ist also d/dx[∂A/∂y´] = 0, man kann [2g]-1/2 wegkürzen, sie kann fürs erste bezüglich x sofort integriert werden. Man erhält [∂A/∂y´] = C eine Konstante, konkret hier

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Zu ihrer Lösung, zur Bestimmung von y, substituiert man nun y´ = tanα α ist also jeweils der Steigungswinkel der Kurventangente zur x-Achse Nun ist tanα = sinα/cosα,

deshalb ist (1+y´²)¹/² = 1/cosα und y´/(1+y´²)¹/² = sinα

Einsetzen in die Gleichung und Auflösen nach x ergibt x =1/C² * sin²α

Daraus folgt dx = 1/C² * 2sinα*cosα *dα

und dy = sinα/cosα * dx = sinα/cosα * 1/C² * 2sinα*cosα*dα

Somit dy = 2/C²*sin²α *dα, was nun beidseitig integriert werden kann:

Es ist gemäß Formelsammlung ∫sin²α *dα = ½*α – ¼*sin(2α)

Somit y = 1/C² *[α – ½*sin(2α)] + D eine weitere Integrationskonstante

Es ist cos2α = cos²α - sin²α = (1−sin²α) − sin²α

Also ist sin²α = ½*(1−cos2α).

Wir erhalten als Lösung somit

x = 1/(2C²) *(1−cos2α) und y = 1/(2C²) *[(2α) – sin(2α)] + D

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Das ist die Formel für eine Zykloide. Eine Zykloide beschreibt die ebene Raumkurve, die ein fixer Punkt auf einem Kreisrand bei linearem Rollen erzeugt. Man denke an die Raumbewegung (genähert) eines Ventils bei einem Fahrrad, genähert, da es sich nicht ganz am Reifenrand befindet, bei Geradeausfahrt.

Gemäß Figur ist in unserem Fall, es sei beim Start x=y=α=0, die Konstante D=0. An dieser Stelle ist die Steigung dy/dx = 0.

Um im Bild der Figur zu bleiben, entspricht das dem Rollen eines Kreises, startend mit seinem Mittelpunkt auf der x-Achse, hängend, entlang der y-Achse. Der Winkel 2α ist der Rollwinkel. Er ist doppelt so groß wie der Kurvensteigungswinkel α, einsehbar, bei einer Drehung des Kreises um 180 Grad geht die Steigung von 0 bis 90 Grad.

Das Problem der Brachistochrone wurde erstmalig gelöst von Johann Bernoulli und nach Ausschreibung von ihm auch von Leibniz und Newton, mit elementareren Mitteln, da die Variationsrechnung damals noch nicht bekannt war.

Anmerkungen:

Gottfried Wilhelm Leibniz, deutscher Philosoph, Mathematiker, Physiker, Diplomat (1646-1716)

Johann Bernoulli, schweiz. Mathematiker, Arzt (1667 - 1748)

Isaac Newton, engl. Physiker, Mathematiker, Astronom (1642-1727)

Die Variationdrechnung wurde erfunden von Euler. Soweit es die Physik betrifft, ist sie mit dem Namen Lagrange verbunden.

Anmerkung: Leonhard Euler: schweiz. Mathematiker (1707-1783)

Anmerkung: Joseph Louis Lagrange, frz.Mathematiker und Physiker, ital.Herkunft (1736-1813)

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Nun möchte man die Kurve bei Vorgabe von h und a einpassen. Das entspricht der Auflösung der beiden Gleichung, indem man links diese Werte einsetzt. Wie man sieht, ist dies im allgemeinen schwierig, nur näherungsweise lösbar. Einfach ist es hingegen, wenn man a freigibt, nur h vorgibt, so, dass die Kurve waagrecht im Niveau h endet, wie in der Figur angedeutet.

Der Kreisradius ist dann R = 1/(2C²) = h/2,der Rollwinkel ist 2α = π.

Die Fortbewegung entlang der y-Achse ist gemäß Formel R*π, entspricht einer halben Kreisumdrehung. cosπ = -1, somit x = 2R = h

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Nun wollen wir die tatsächliche Zeit TB für die Abwärtsbewegung des Körpers bei waagrechtem Auslauf ausrechnen im Vergleich zur senkrechten Fallbewegung TF und im Vergleich dazu, wenn die Kurve eine Gerade TE oder ein Kreisbogen TK wäre. Es ist

Es war (1+y´²)¹/² = 1/cosα mit y´ =tanα

x = 1/C² * sin²α = h*sin²α dx = h*2sinα*cosα *dα mit 1/C²=2R=h

Somit ist die Laufzeit,

Bem.: Es ist dt = 2(h/2g)¹/² *dα So folgt α(t) = ½*(h/2g)−1/2*t = (g/4R)¹/²*t d.h. wir haben konstante Kreis-Rollgeschwindigkeit

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Bei der Fallbewegung ist h = ½*g*t²,

somit TF = (2h/g)¹/², also ist TB = TF * π/2 = TF*1.57

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Bei der Bewegung auf der Geraden (schiefe Ebene) bei gleichem Anfangs- und Endpunkt (gleiches h und a) ist:

Wir benutzen obige Formel. Die Geradengleichung ist y(x) = a/h * x,

somit y´ = a/h, (1+y´²)¹/² = (1+a²/h²)¹/² a = R*π = ½*h*π

Somit

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Nun die Bewegung entlang eines Kreisbogens:

Sein Mittelpunkt sei (x,y) = (0,r), β ist der Winkel des Radius r zur y-Achse, Startwert β =0, Endwert β =π/2. Es ist hier h = r.

Seine Parameterdarstellung ist x = r*sinβ, y = r - r*cosβ

Es ist dann dx = r*cosβ*dβ, dy = r*sinβ*dβ, y´ = dy/dx = sinβ/cosβ

(1+y´²) = 1 + sin²β/cos²β = (cos²β+sin²β)/cos²β = 1/cos²β

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Hier soll sein 2a-1 = -1/2, also a = ¼ sowie 2b-1 = 0, also b = ½

Somit ist

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Es ist Γ(1/4) = 3.6256, Γ(1/2) = π¹/² = 1.77245

Γ(3/4) = 1.225413333, somit Γ(1/4)/ Γ(3/4) = 2.958675169

Bezüglich der Werte und der Definition der Gamma-Funktion wie auch der Beta-Funktion siehe Kapitel 2.4

B(1/4, 1/2) = Γ(1/4)*Γ(1/2) / Γ(3/4) = 2.9586*π¹/²

(h/2g)¹/² * ½*B = (2h/g)¹/² *½*½*B = (2h/g)¹/² *1.31

Also TK = TF*1.31

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Es ist nicht verwunderlich, dass freier Fall und die Bewegung auf dem Kreisbogen schneller sind, sie verbinden nur die Niveaus x=0 und x=h, sie enden nicht im Punkt (h,a), sondern zuvor.

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Wenn wir uns für die Weglängen W interessieren, bei gleichen Verhältnissen h und (a = ½*h*π), so sind sie

beim freiem Fall gleich WF =h,

beim Kreisbogen gleich WK =h*π/2

bei der schiefen Ebene gleich WE = (h²+a²)¹/² = h * (1+ ¼*π²)¹/²

und bei der Brachistochrone mit waagrechtem Auslauf gleich WB, was wir hier berechnen:

Wir entnehmen hierfür von obiger Substitution

y´ = tanα, (1+y´²)¹/² = 1/cosα und dx = h* 2sinα*cosα *dα und erhalten so

Ein erstaunlich einfaches Ergebnis.

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Liegt ein System mit mehr als nur einer Funktion vor, also statt A(y,y´,x) liegt nun vor A(y1,y1´, y2,y2´,…,x), so ist pro yi bzw yi´ zu variieren und das führt pro i zu einer dem Obigen analogen Gleichung, nämlich

Sie heißen die Eulerschen Gleichungen.

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Begründung:

Der Einfachheit halber seien es nur zwei Funktionen.

Es liege also vor A(y1,y1´, y2,y2´,x)

Dann ist die Variation

δA = A(y1+δy1,y1´+δy1´, y2+δy2, y2´+δy2´, x) − A(y1,y1´, y2,y2´,x)

Dabei ist δy1´ = dδy1/dx und δy2´ = dδy2/dx

Die Änderung des Integrals ist also

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Partielle Integration nach x für δy1´und δy2´ ergibt wie oben, wir haben feste Enden, jeweils im ersten Term 0 und ansonsten nach Umordnung

Soll nun δT = 0 sein, weil das Integral einen extremen Wert annehmen soll, so folgt wiederum, weil δy1 und δy2 zwar klein, aber beliebig sind,

dass die Eck-Klammern-Ausdrücke gleich 0 sein müssen, was zu zwei Gleichungen führt. Damit bewiesen.

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Es liege nun ein System vor, zwar mit nur einer Funktion vor, die aber mehrere Argumente hat,also statt A(y(x), y´(x), x) liegt nun vor

A(y(x1,x2), ∂y/∂x1,∂y/∂x2, x1,x2), der Einfachheit halber nur zwei Argumente. Dann ist die Variation δA =

A(y+δy, ∂y/∂x1+(∂δy/∂x1), ∂y/∂x2+(∂δy/∂x2), x) − A(y1,∂y/∂x1,∂y/∂x2,x)

Dabei ist z.B. (∂δy/∂x1), analog zu δy´(x) = ∂δy(x)/dx, ist die zu (∂y/∂x1) gehörende Variation,also Kleinfunktion, die aus δy durch partielle Ableitung hervorgeht.

Wir haben dann für die Variation ein Doppelintegral δT =

Es ergibt sich dabei jeweils δy. Im Eindimensionalen hatten wir, dass y(x) wie immer auch gestaltet, an den Enden fixiert ist, also form-unabhängig da die gleichen Werte hat. Somit musste da sein δy = 0. Hier im Mehrdimensionalen (Zweidimensionalen) muß analog sein, dass alle Vergleichsflächen, jegliches y(x1,x2), am Rand gleich ist. Der x1-x2- Rand ist hier ein Rechteck mit den Seiten a bis b und c bis d. Die Funktion y(x1,x2) kann man sich also als Fläche vorstellen, im z-Bereich, die sich über diesen Bereich wölbt. Am Rand ist die Variation = 0.

Es muss also da für die Delta-Fläche δy(x1,x2) gelten

δy(a,x2) = δy(b,x2) = δy(x1,c) = δy(x1,d) = 0.

Die integrierten Terme fallen also weg.

Zusammengefasst haben wir also

Damit δT = 0 ist, muß der{..}-Ausdruck gleich 0 sein.

Das ist also die zu A(y(x1,x2), ∂y/∂x1,∂y/∂x2, x1,x2) gehörende Eulergleichung.

Zusammengefasst haben wir also, wenn wir auf beliebig viele Argumente (Zähler j) aufweiten

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Kombiniert man nun beides, also mehrere y-Funktionen, sagen wir y1 und y2, je mit mehreren Argumenten, sie seien x1 und x2,

die zugehörige A-Funktion ist dann

A(y1(x1,x2), ∂y1/∂x1,∂y1/∂x2, y2(x1,x2), ∂y2/∂x1,∂y2/∂x2,x1,x2),

so führen analoge Überlegungen zu den Eulergleichungen

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Also pro yi entsteht eine Gleichung, in der jeweils pro xj ein Differentialterm dieser Art mit negativem Vorzeichen auftritt. Zusammengefasst

Die Gleichungen sind im allgemeinen nicht unabhängig voneinander auf Grund der gemeinsamen A-Funktion.

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1.2 Beispiele aus der klassischen Physik

Beispiel: Die eindimensonale Bewegung eins Körpers unter Einwirkung einer Kraft, das Newton-Gesetz.

Hier entspricht dem Parameter x die Zeit t und dem Funktionswert y die Funktion x(t). Die allgemeine Lagrangefunktion L, entspricht der A-Funktion von zuvor, lautet dann, hier ohne Begründung

L(x, x.,t) = ½*m* x.² - U(x) Bewegungsenergie minus Lageenergie

Dabei ist x. = dx/dt Die Anwendung der Eulergleichung

∂L/∂x − d/dt(∂L/∂x.) = 0 ergibt

∂L/∂x = − dU/dx sowie ∂L/∂x. = m* x., somit d/dt(m*x.) = m*x.., also insgesamt m*x.. = - dU/dx

Das ist das Newton-Gesetz: Masse mal Beschleunigung ist gleich Kraft.

Das Integral ∫L*dt hat die Dimension einer Wirkung, Energie mal Zeit.

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Beispiel: Die dreidimensonale Bewegung eins Körpers

unter Einwirkumg einer Kraft, das Newton-Gesetz.

Die Lagrangefunktion ist dann, analog,

Die Anwendungen der Eulergleichungen

also drei analog aufgebaute Gleichungen

Man kann formal abkürzen, indem man schreibt ∂L/∂x − d/dt(∂L/∂x.) = 0

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Beispiel: Die Bewegung eins Körpers bei einer Zentralkraft

Nach der allgemeinen Formel für die Lagrangefunktion der Mechanik

L = T – U lautet sie hier

Dabei ist r der Abstand des Massenpunktes vom Zentrum,

r. = dr/dt die Geschwindigkeit in Radialrichtung,

φ . = dφ/dt die Winkelgeschwindigkeit

U(r) ist die Lageenergie, nur von r abhängig

Im obigen Sinne entspricht r(t) der Funktion y1(x)

und es entspricht φ(t) der Funktion y2(x).

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Das gibt Anlass zu zwei Eulergleichungen. Deren Elemente sind

∂L/∂r = m* r*φ..² - ∂U/∂r, ∂L/∂r. = m* r. sowie ∂L/∂φ. = m*r²*φ .

Die Euler-Gleichungen sind somit

0 = ∂L/∂r – d/dt[∂L/∂r.] = m* r*φ . ² - ∂U/∂r - m* r.. und

0 = - d/dt[∂L/∂φ.] = - m*r²*φ ..

Der Term m* r*φ .² ist die Fliehkraft, m*r.. ist die Beschleunigung in positiver Radialrichtung, - ∂U/∂r ist die Radialkraft

Bem.: Der Radius r kann nur wachsend positiv sein, beginnend bei r=0 im Zentrum. Ist z.B. U(r) = 1/r, also positiv, so ist ∂U/∂r = -1/r² negativ und K(r) = - ∂U/∂r = 1/r² positiv, vom Zentrum weggerichtet, wirkt also abstoßend. Für Anziehung ist also z.B. U(r)= -1/r,also U(r) <0 nötig und in Folge K(r)<0.

Der Term m*r²*φ.. ist die Änderung des Drehimpulses; gleich 0 besagt, der Drehimpuls m*r²*φ. ist konstant.

Wie man sieht, können für die Lagrange-Funktion und die daraus folgenden Eulergleichungen nicht nur kartesische, sondern auch andere Koordinaten verwendet werden.

Es ist erstaunlich, dass aus der einen Lagrange-Funktion all diese Gesetze hervorgehen, sie ist so eine Art Konzentrat von Bewegungsgesetzen.

Der Lagrangefunktion fehlt eigentlich eine anschauliche Bedeutung. Bei der Eulerfunktion, oben mit A(y,y´,..) bezeichnet, ist es im Beispiel ein allgemeiner Ausdruck für die Laufzeit auf einer Abwärts-Bahn. In ähnlichem Fällen ist es ein allgemeiner Ausdruck für die Länge einer Kurve, für die Größe einer Fläche, usw.

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1.3 Beispiele aus der QM

Die y-Funktion(en) sind hier die Wellenfunktionen, meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet, also z.B.statt y(x) schreiben wir nun ϕ(x).

Die A-Funktion wird hier wie im Klassischen Lagrangefunktion, genauer als Lagrangedichte L, genannt, das Integral ist vierdimensional.

Die fixen Enden der Funktion liegen im Unendlichen, der Integrationsbereich geht von - ∞ bis +∞, also hier, am Rand, muß dann für die Kleinfunktion gelten δϕ = 0 und zwar für alle Stellen auf der „Hyperfläche", der Randzone, analog zu obigem Zweidimensionalen.

Es liegen im Allgemeinen vier Variable vor, nämlich x, y, z, t.

Die Existenz einer Lagrangefunktion ist auch hier einfach eine Unterstellung.

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Beispiel: Die eindimensionale Schrödingergleichung ohne Zeitanteil

Sie lautet [P²/2m + V(x)] ϕ(x) = E*ϕ(x)

Mit Pi = h/2πi*∂/∂xi und der Setzung h/2π = 1 wird für nur eine Dimension

(-1/2m)*ϕ´´(x) + [V(x) –E] *ϕ(x) = 0

Wir suchen nun, umgekehrt, die Lagrangefunktion L(ϕ, ϕ´, x)die Schrödingergleichung produziert.

Dazu betrachten wir einzelne Ableitungs-Elemente, dabei ist ϕ´ = ∂ϕ/∂x

Es ist ∂(ϕ²) /∂ϕ = 2ϕ, -d/dx [∂ϕ´²/∂ϕ´] = -d/dx (2ϕ´) = -2ϕ´´

Setzen wir sie zusammen so, dass sich die Schrödingergleichung über Eulergleichung ergibt, so haben wir

L = (1/2m)*½*ϕ´²+½*[V(x)–E]*ϕ² = ½*{(1/2m)*ϕ´² + [V(x)–E]*ϕ²}

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Ein andere Form ist, ϕ und ϕ+ werden als unabhängige Felder, wie oben mit y1 und y2 benannt, aufgefasst. Jedes für sich ergibt eine Eulergleichung.

L(ϕ+, dϕ+ /dx) = ϕ+ *(-1/2m)*ϕ´´(x) + [V(x) –E] * ϕ+*ϕ(x)

Bereits der Teil ∂L/∂ϕ+ ergibt die Gleichung.

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Beispiel: Die eindimensionale Schrödingergleichung mit Zeitanteil

Sie lautet (-1/2m)*ϕ´´(x) + V(x)*ϕ(x) –i*ϕ. = 0

Dabei ist ϕ = ϕ(x,t), ϕ´´ = ∂²ϕ/∂x² und ϕ. = ∂ϕ/∂t

Um den Zeitanteil zu reproduzieren setzen wir ZT= −i/2*[ϕ+*ϕ. − ϕ*ϕ+.]

Denn umgekehrt ergibt sich für diesen Anteil

∂L/∂ϕ+ − ∂/∂t (∂L/∂ϕ+ .) = … −i/2*[ϕ. − ∂/∂t(−ϕ)] = −i*ϕ.

Also insgesamt L = ϕ+ *{(-1/2m)*ϕ´´(x) + [V(x) –E]*ϕ(x)} −i/2*[ϕ+ *ϕ. − ϕ*ϕ+.]

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Beispiel: Die dreidimensionale Schrödingergleichung mit Zeitanteil lautet analog L = ϕ+ *{(-1/2m)*Δϕ(x) + [V(x) –E]*ϕ(x)} −i/2*[ϕ+ *ϕ. − ϕ*ϕ+.]

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Flussdiagramm für das Umfeld der Euler- und Lagrangefunktion

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Dass die Natur einem Minimalprinzip folgt, war schon Maupertuis bekannt:

Ein mechanischer Vorgang zwischen Angangs und Endzustand läuft so ab, dass die Wirkung = Energie mal Zeit in der Summe minimal ist, Prinzip der kleinsten Wirkung. Dazu gehört auch das Fermat-Prinzip: Das Licht zwischen zwei Punkten wählt stets den Weg so, wo es die kürzeste Zeit braucht, Prinzip der kleinsten Lichtzeit. Man denke z.B. an den Übergang Luft-Wasser an das sich den verschiedenen Lichtgeschwindigkeiten anpassende Brechungsgesetz.

Anmerkung: Pierre Louis Moreau de Maupertuis, frz.Mathematiker, Astronom, Physiker (1698-1759)

Anmerkung: Pierre de Fermat, frz.Mathematiker, Jurist, (1607/8 - 1659)

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Beispiel: Die Klein-Gordon-Gleichung

Klassisch induziert lautet sie im SI-System

[(cP – eA)² + m²c⁴ − (P0 −eϕ)²]ψ = 0, A Vektorpotential, ϕ skalares Potential Bringen wir den WW-Teil auf die rechte Seite, so haben wir mit A0 = -A0 = -ϕ, [c²P² + m²c⁴ − P0 ²]ϕ = [– e²A² + ec(PA+AP) + e²A0 ²+ e(P0A0 +A0P0)]ϕ

Mit P i = h/2πi*∂/∂xi und P 0 = −h/2πi *∂/∂t lautet sie ohne WW, ohne (A,A0)

Nach Setzung der Einfachheit halber h/(2π) = 1 und c=1, wird daraus

− Δϕ + m²*ϕ + ∂²ϕ/∂t² = 0 mit Δϕ = ∂²ϕ/∂x1² + ∂²ϕ/∂x2² + ∂²ϕ/∂x3²

Wir verwenden nun die Muster

∂ϕ²/∂ϕ = 2ϕ, -∂/∂x1[∂/(∂ϕ/∂x1) (∂ϕ/∂x1)²] = -∂/∂x1[2*∂ϕ/∂x1] = -2*∂ϕ²/∂x1²

Nun eine übliche einfachere Schreibweise ∂1 = ∂/∂x1, analog 2,3,0,

also z.B. ∂ϕ/∂x1 = ∂1ϕ, ∂ϕ/∂t = ∂0ϕ

Die letzte Zeile schreibt sich dann -∂1[∂/(∂1ϕ) (∂1ϕ)²]= -∂1[2*∂1ϕ] = -2*∂1²ϕ

Die Lagrangefunktion, die Stück für Stück die Terme der Gleichung mittels der Eulergleichung hervorbringt, lautet also

L(ϕ, ∂iϕ) = ½*[(∂1ϕ)² + (∂2ϕ)² + (∂3ϕ)² + m²*ϕ² −(∂0ϕ)²]

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Für die rechte Seite, für den WW-Teil, können wir bei Nutzung der vierdimensionaler Schreibweise, es ist (A, ϕ)= (Ai,A⁰) = (Ai, −A0),also

AμAμ =AiAi +A0A⁰ = AiAi−A0A0 sowie ∂μAμ = ∂iAi +∂0A⁰ = ∂iAi − ∂0A0, schreiben

WW = – e²AμAμ + e/i[∂μAμ + Aμ ∂μ]ϕ = – e²AμAμ + e/i[∂μ(Aμ ϕ) + Aμ(∂μ ϕ)]

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Bei Verwendung dieser Kurzschreibweise schreiben sich die allgemeinen Euler-Lagrange-Gleichungen für die allgemeine Lagrange-Funktion, wie sie in der QM im Allgemeinen vorkommt,

L(ϕν, ∂μϕν) mit maximal 4 Funktionen ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ0, also ν=1,2,3,0

pro Funktion maximal 4 Ableitungen ∂1ϕν, ∂2ϕν, ∂3ϕν, ∂0ϕν also μ=1,2,3,0

Ausführlich

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Nun in Kurzschrift betreffend L(ϕνν , ∂μϕνν) eine Formel zum Merken

Diese Formel fasst alle bisherigen Fälle betreffend die QM zusammen.

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Angewendet auf die obige K-G-Funktion haben wir also, es ist ϕν = ϕ1 = ϕ

0 = ∂L/∂ϕ − ∂μ (∂L/(∂μϕ)) = m²*ϕ − ∂ μ(∂L/(∂μϕ)) = m²*ϕ − ½*∂ μ(∂μϕ)² =

= −∂ μ∂μϕ + m²*ϕ     Es ist ∂ μ∂μϕ = ∂i²ϕ - ∂0²ϕ summiert über i

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Man kann diese L-Funktion auf eine andere Form bringen,

Es ist (∂ μϕ+)(∂μϕ) = ∂ μ(ϕ+∂μϕ) − ϕ+(∂ μ∂μϕ) Der rechts erste Term in der L-Funktion kann integriert werden, ∂ μ geht weg, und ergibt beim Grenzen-einsetzen, am Rand, im Unendlichen den Wert 0, weil da ϕ=0 ist, also kein Beitag. So kommen wir zu L = − ϕ+(∂ μ∂μϕ) + m²*ϕ+ϕ = ϕ+[−∂ μ∂μϕ + m²*ϕ]

Umgekehrt folgt dann sofort

0 = ∂L/∂ϕ+ − ∂μ (∂L/(∂μϕ+)) = − ∂ μ∂μϕ + m²*ϕ also die K-G-Gleichung

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Im gleichen Sinn können wir für den WW-Term der K-G-Gleichung als Lagrangefunktionsteil Lww = – e²AμAμ *ϕ+ϕ + e/i[ϕ+(∂μϕ) − (∂μϕ+)ϕ]Aμ ansetzen, denn er reproduziert wieder den WW-Teil in der K-G-Gleichung 0 = ∂Lww /∂ϕ+ −Σμ ∂μ(∂L ww /(∂μϕ+)) = – e²AμAμ *ϕ +e/i*[(∂μϕ)Aμ + ∂μ(ϕAμ)] Ein Vergleich mit [1, 17.10] zeigt,betreffend den rechten Zweitteil, dass ist Lww = jμAμ, also K-G-Strom mal elektrischem Potential.

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Beispiel: Die Dirac-Gleichung

Die Diracgleichung mit elektrischen magnetischen Potentialen lautet

[α(c P–e A) + βmc² − α0(P0 −eϕ)]ψ = 0     mit (A, ϕ)= (Ai,A⁰) = (Ai,−A0)

Die Lagrangefunktion ist L(ψ+,∂μψ+) = ψ+*[α(c P–e A) + βmc² − α0(P0 −eϕ)]ψ

Denn 0 = ∂L/∂ψ+ − ∂μ(∂L/(∂μψ+)) ergibt unmittelbar die Diracgleichung

Bringen wir den WW-Teil auf die rechte Seite, so haben wir mit A0 = −ϕ

[αc P + βmc² − α0P0]ψ = e[αA + α0A0]ψ bzw eψ+ [αA + α0A0]ψ

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Es ist (γi, γ⁰) = (βα, β) bzw (α, β) = (γ⁰γi, γ⁰), weil γ⁰² = β² = 1 ist

So kann man durch Austauschen der Matrizen die L-Funktion umschreiben auf

L(ψ+γ⁰,∂μψ+γ⁰) = ψ+γ⁰*[γ(cP –eA) + mc² − γ⁰(P0 + α0A0)]ψ

Mit Pi = ∂i/i und P0 = +i*∂0 = −1/i*∂0 wird daraus

L(ψ+γ⁰,∂μψ+ γ⁰) = ψ+γ⁰*[[γi (1/i*∂i -eA i) + mc² + γ⁰(1/i*∂0-eA0)]ψ

Der rechte Teil ist identisch mit der kovarianten Diracgleichung.

Der WW-Teil für sich ist dann, es ist jμ der Strom des Diracfeldes

LWW = eψ+[αA +α0A0]ψ = eψ+γ⁰[γiA i+γ⁰A0]ψ = eψ+γ⁰γμψ*Aμ = jμ *Aμ

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Auch eine kompacktere Schreibweise ist üblich. Es ist mit μ=1,2,3,0

1/i*∂μ - eAμ = 1/i*(∂μ−ieAμ) = = 1/i*Dμ

Somit hat man kurz [Σμ γμ*1/i*Dμ + mc²]ψ = 0

Man gelangt also von der Diracgleichung ohne Potentiale zu der mit Potentialen, indem man in ihr ∂μ gegen Dμ = (∂μ−ieAμ) austauscht.

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Eine Erläuterung an der freien Diracgleichung, Potential gleich 0

Die Lagrangefunktion lautet da, es ist γμ∂μψ = [γi ∂i + γ⁰ ∂0] ψ

L(ψ+γ⁰, ψ) = ψ+γ⁰*[1/i*γi∂iψ + mψ +1/i*γ⁰∂0ψ] = ψ+γ⁰ *[1/i*γμ∂μ +m]ψ

Begründung: Man fasst ψ und ψ+γ0 als zwei unabhängige Felder auf,

im obigen Sinn wie y1 und y2. ψ+ seinerseits ist ein Zeilenvektor mit 4 Komponenten, den […]-Ausdruck kann man als Spaltenvektor mit 4 Komponenten sehen, beides zusammen als Skalarprodukt. Nun müßte man pro Komponente(ψ+γ⁰)1, (ψ+γ⁰)2, usw die Variation ansetzen, eine Eulergleichung hinschreiben. Weil die nun analog sind, bedient man sich einer zusammenfassenden Schreibweise und behandet ψ+γ⁰ und ψ so, als wären sie je nur eine Funktion analog zu y1 und y2, also hat man L(ψ+γ⁰; ∂μψ+).

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Man hat zunächst bezüglich ψ+γ⁰ nur

0 = ∂L/∂(ψ+γ⁰) = [1/i*γi∂iψ + mψ +1/i*γ⁰∂0ψ] kurz [1/i*γμ∂μψ + mψ] = 0

und erhält so unmittelbar die Diracgleichung als erste Eulergleichung.

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Sodann hat man bezüglich ψ: 0 = ∂L/∂ψ − ∂μ(∂L/(∂μψ))

∂L/∂(∂μψ) = 1/i*ψ+γ⁰γμ und ∂L/∂ψ = + m*ψ+γ⁰ Das ergibt die konjugierte

Diracgleichung 1/i*∂μ(ψ+γ⁰γμ) − m*ψ+γ⁰ = 0 als zweite Eulergleichung

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Beispiel: Maxwell-Gleichungen

Sie lauten Σμ ∂μ Fμν = 0       mit Fμν = ∂μAν − ∂ννAμ μ,ν =1,2,3,0

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Es entspricht Aν einem obigen ϕν und ∂μAν entspricht einem obigen ∂μϕνν Pro Aν gibt es eine Eulergleichung. Der Ansatz für die L-Funktion soll sein:

L(∂μAν) ~ Σμν (Fμν * Fμν) Summation über μ,ν

In Fμν haben die Ei gegenüber Fμν umgekehrtes Vorzeichen., so dass ist

Σμν (Fμν*Fμν) = 2(B² - E²). Formal Fμν = gμαFαβ*gβν mit gμν = (1,1,1,-1) Für das Folgende scheint es einfacher zu sein, wie es früher üblich war, zu tauschen A0 => iA0 somit Ei => iEi. in der Folge wird Fμν*Fμν => Fμν*Fμν So können wir für Fμν*Fμν das Quadrat von Fμν ansetzen:

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Da über μ,ν summiert wird, haben wir (∂νAμ)² durch (∂μAν)² ersetzt.

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So haben wir bezüglich der obigen Eulergleichung(en) die Terme

Es mag von Vorteil sein ∂μAν*∂νAμ indexmäßig auszubreiten: je μν∗νμ

12*21+13*31+10*01 + 21*12+23*32+20*02 +

31*13+32*23+30*03 + 01*10+02*20*03*30

Terme, die als Beispiel zu A1 gehören, sind rot markiert

Nun ist z.B.: 12*21+21*12 = 2 * 21*12, sie treten also immer paarig auf So haben wir bezüglich der Eulergleichung(en) die Terme

Die Terme einer Eulergleichung sind also, ν ist festgehalten z.B. ν=1, über μ wird summiert

- 4*∂μ(∂μAν) + 4*∂μ(∂νAμ) = - 4*∂μ[∂μAν - ∂νAμ] = −4*∂μ Fμν = 0

Das sind 4 Gleichungen, je Zeilenvektor (∂μ) mal Spaltenvektor Fμν, ν fix

Und in der Tat sind es die Maxwellgleichungen

Um die Maxwell-Ausgangsgleichungen zu reproduzieren, muss also die Lagrangefunktion lauten L(∂μAν) = - 1/4* Σμν (Fμν*Fμν)

Umgeschrieben also L(∂μAν) = - 1/4*Σμν (Fμν*Fμν) Summation über μ,ν Bem.: Für Anhänger der alten Schreibweise sei u.a. auf [8, Band2] sowie auf [9] verwiesen.

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Beispiel: Dirac-Gleichung und Maxwell-Gleichungen zusammen

Zunächst denkt man an die Summe der L-Funktionen, also L = LDirac + LMaxwell Die daraus folgenden Eulergleichungen reproduzieren die bereits bekannten Gleichungen, also kein Gewinn. Nun wissen wir von der WW von Elektron und Photon. Dieses nun in eine gemeinsameLagrangefunktion verpackt ergibt L(ψ+γ⁰, ψ, ∂μψ, Aμ, ∂μAν) = ψ+γ⁰ *[1/i*γμ(∂μ−ieAμ )+m]ψ - 1/4*Σμν(Fμν*Fμν) Daraus können nun die gewünschten Gleichungen produziert werden.

Man hat bezüglich ψ+γ⁰ nur 0 = ∂L/∂(ψ+γ⁰) = [1/i*γμ(∂μ−ieAμ )+m]ψ . Das ist die Diracgleichung samt minimaler Substitution als erste Euler-Gleichung.

Sodann bezüglich L(Aμ, ∂μAν) hat man 0 = ∂L/∂Aμ = - e ψ+γ⁰ γμψ

sowie bezüglich des Fμν*Fμν - Terms hat man Σμ ∂μ Fμν wie zuvor zusammengesetzt hat man Σμ ∂μ Fμν =